Angewandte Strömungssimulation

Transkript

1 Angewandte Strömungssimulation 7. Vorlesung Stefan Hickel

2 Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung Mathematische Modellierung Numerische Modellierung Lösung Auswertung Parameter und Kennzahlen Gleichungssystem Turbulenzmodell Randbedingungen Diskrete Operatoren Lösungsalgorithmen Rechengitter Programmierung Berechnung Visualisierung Validierung CFX Pre -> Parameterdatei ICEM CFD -> Gitter CFX Solver -> Ergebnisdatei CFX Post -> Bilder und Erkenntnis Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 2

3 Druck-Geschwindigkeits- Kopplung

4 Kompressible Navier-Stokes Gleichung Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung KGL) ρ t + (ρu) = 0 Impulserhaltung (Impulsgleichung - IGL) ρu t + (ρuu) = p + τ Energieerhaltung E t + (ue) = (up) + (u τ ) (q) Der Druck folgt aus der thermodynamischen Zustandsgleichung Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 4

5 Inkompressible Navier-Stokes Gleichung Massenerhaltung (KGL) u = 0 Impulserhaltung (IGL) u t + (uu) = 1 ρ p + 1 Re u Der Druck p ist keine unabhängige Variable, sondern folgt bei konstante Dichte aus der Poissongleichung 2 p = f (u) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 5

6 Inkompressible Navier-Stokes Gleichung Tafelanschrieb: u j t + u i u j x i = 1 p + 1 ρ x j Re 2 u j x i 2 2 p = f (u) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 6

7 Diskretisierung der Druck-Poissongleichung Druck Term S in x-impulsgleichung (IGL) S pnds pe 1 ds = p e A e + p w A w W w nw sw N n P s S ne se e E zentralen Differenzen (CDS) auf Rechteckgitter p w p e = p W + p P 2 p P + p E 2 = p W p E 2 Druck wird effektiv auf einem gröberen Gitter berechnet Am Punkt P wird die Geschwindigkeit und der zugehörige Druck entkoppelt Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 7

8 Diskretisierung der Druck-Poissongleichung Druck-Poissongleichung mit zentralen Differenzen (CDS) 2 p = f (u) p EE 2 p P + p WW 4Δx 2 + p NN 2 p P + p SS 4Δy 2 = f (u) Kopplung evtl. aus der Kontinuitätsgleichung (KGL, Bsp. 1-D)? W w nw sw N n s P S ne se e E u x = 0 u u = 0 = u + u P E e w 2 u W + u P 2 = u E u W 2 Massenbilanz ist unabhängig von der Geschwindigkeit u P Weder aus der IGL noch aus der KGL kann eine Kopplung von Geschwindigkeit und Druck im Punkt P erzielt werden! Oszillierendes Druckfeld kann in der Simulation entstehen! Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 8

9 Lösung der Druck-Poissongleichung Schachbrettoszillationen des Druckfeldes stellen eine Lösung der diskreten Gleichungen dar Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 9

10 Rhie & Chow Interpolation Problem: Werden Druck- und Geschwindigkeitsfelder auf einem gemeinsamen Gitter durch zentrale Interpolation (CDS) berechnet, so werden unphysikalisch oszillierende Druckfelder weder in der IGL noch in der KGL detektiert. Lösung: Die Druck-Geschwindigkeitskopplung kann durch die Rhie & Chow Interpolation wiederhergestellt werden Rhie & Chow (1983) - Spezielle Interpolationsvorschrift für die Diskretisierung der Kontinuitätsgleichung. - Einbeziehung des Druckgradienten in die Berechnung der Geschwindigkeiten an den finite-volumen Oberflächen (u e,u w,v n,v s ) bei der Auswertung des Quellterms der Druck-Poisson-Gleichung. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 10

11 Rhie & Chow Interpolation Beispiel 1-D Kontinuitätsgleichung wird diskretisiert als u x = 0 u E u W 2Δx und damit effektiv modifiziert zu +C RC p EE 4 p E + 6 p P 4 p W + p WW Δx 4 = 0 Der zusätzliche Term detektiert Oszillationen. Man kann zeigen dass er dissipativ ist und glättend wirkt. Nachteil: die Ordnung des Verfahrens sinkt. u x +C RC " 4 p % $ ' = 0 # x 4 & Rhie & Chow-Interpolation wird in CFX verwendet Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 11

12 Linearisierung

13 Linearisierung Die Navier Stokes Gleichungen sind ein System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen u t + (uu)+ 1 ρ p 1 Re u = 0 u = 0 Viele wichtige Phänomene, wie beispielsweise die Interaktion von Wirbeln und die Entstehung von Turbulenz, beruhen auf der quadratischen Nichtlinearität des Impulstransports. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 13

14 Linearisierung Bei impliziten Zeitintegrationsschemata wird meist eine linearisierte Form der Navier-Stokes-Gleichungen gelöst i A P ϕ n+1 n+1 P + A i ϕ i = Q P Möglichkeiten der Linearisierung der quadratischen Nichtlinearität: (1) u n+1 u n+1 u n u n+1 -> Fehler (u n+1 - u n ) u n+1 = O(Δt) (2) u n+1 u n+1 2 u n u n+1 - u n u n -> Fehler (u n+1 - u n ) 2 = O(Δt 2 ) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 14

15 Randbedingungen

16 Randbedingungen Durch diskrete Operatoren gegebene Entwicklung der Strömung beinhaltet Abhängigkeit von Nachbarzellen, zum Beispiel: $ n+1 ΔtU 2Δx Δt Γ ' & % Δx 2 ( ϕ i 1 )+ϕ i n+1 # 1+ 2Δt Γ & % $ Δx 2 ' n+1 ΔtU (+ϕ i+1 & $ 2Δx Δt Γ ' n ) = ϕ % Δx 2 i ( i A P ϕ n+1 n+1 P + A i ϕ i = Q P Was an Gebietsrändern, wo keine Nachbarzellen existieren? Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 16

17 Randbedingungen Einströmrand Ausströmrand P Wand Navier-Stokes-Gleichungen stellen ein Anfangs- und Randwertproblem dar Nur bei Vorgabe der erforderlichen AB und RB kann die Lösung eindeutig sein Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 17

18 Randbedingungen 1. Dirichlet Randbedingung: abhängige Variable (Ψ) auf dem Rand vorgeben z.b. Randtemperatur 2. Neumann Randbedingung: Gradient (dψ/dn) der abhängigen Variable vorgeben z.b. Wärmestromdichte 3. Robbin Randbedingung (gemischte RB): Wärmestromdichte mittels Wärmeübergangskoeffizienten a und Umgebungstemperatur T angeben 4. Periodische Randbedingung: Berandung so wählen, dass die abhängige Variable an den Rechenfeldgrenzen periodisch wiederkehrt (Turbinengitter, periodischer Hügel) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 18

19 Feste Wand Haftbedingung - Wert der Geschwindigkeit festgeschrieben, also Dirichlet Randbedingung für u u Fluid = u wand Advektion/Konvektion durch die Wand ist NULL u i u j Wand = 0 Druckgradient senkrecht zur Wand ist NULL also Neumann Randbedingung für den Druck Viskose Spannungen τ ij ui = µ x j u + x - Haftbedingung plus Inkompressibilität (Konti-Gleichung) u x Wand = 0 KGL : Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 19 i j p y Wand = 0 u x + v y = 0 v = 0 y Wand

20 Feste Wand Viskose Normalspannungen werden NULL τ yy = 2µ v y Wand = 0 Tangentialspannungen verbleiben τ xy = µ u y Wand =? Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 20

21 Feste Wand Schubspannung durch einseitige Differenz annähern: F s d = τ xy ds = µ u y S s S s ds µs s u P u S y P y S Alternative: Diffusive Flussterme werden mit Wandmodell als Quellterm vorgegeben. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 21

22 Symmetrie Wir denken uns eine spiegelsymmetrische Fortsetzung der Lösung Keine Durchströmung der Symmetrieebene p y sym = 0 u y sym = 0 v sym = 0 v y sym 0 Diffusiver Fluss parallel zur Symmetrieebene (u 1 Komponente) ist NULL Diffusiver Fluss senkrecht zur Symmetrieebene (u 2 Komponente) wird approximiert durch: F S d = τ yy ds = 2µ v y S s S s ds µs s v P v S y P y S Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 22

23 Einströmrand Überschall Für die Navier-Stokes-Gleichungen müssen genau 5 voneinander unabhängige Größen als Dirichlet- Randbedingung vorgeschrieben werden, z.b.: - Dichte, 3 x Impuls und Energie, oder - Totaldruck, Totaltemperatur und Richtungsvektor Kompressibel Unterschall / Inkompressibel Für die Navier-Stokes-Gleichungen müssen genau 4 voneinander unabhängige Größen vorgeschrieben werden, z.b.: - Dichte und 3 x Geschwindigkeit - Für nichtfestgelegt Größen wird Neumann Randbedingung angenommen Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 23

24 Ausströmrand Überschall Es dürfen keine Dirichlet-Randbedingungen vorgeschrieben werden. - Neumann Randbedingung für alle Größen. Kompressibel Unterschall / Inkompressibel Für die Navier-Stokes-Gleichungen muss genau eine Größe vorgeschrieben werden. - Meist wird der statische Druck gesetzt. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 24

25 Randbedingungen Beispiel Einlass: Dirichlet Randbedingung -> Ψ ist gegeben Auslass: Neumann Randbedingung -> dψ/dn=0 Wand: Konvektive Flussterme werden zu NULL Diffusive Flussterme werden durch Wandmodell als Quellterm vorgegeben. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 25