Übung 5 - SIMPLE-Verfahren (Teil 2)

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Hella Kästner
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1 Übung 5 - SIMLE-Verfahren (Teil ) Musterlösung C. Baur, M. Schäfer Fachgebiet für Numerische Berechnungsverfahren im Maschinenbau TU Darmstadt FNB /6

2 Aufg. 1 - Druckkorrekturgleichung Linearisierte Impulsbilanz[ Gleichung (a = a (l) und a nb = a nb (l)) u l = 1 b + a nb u l ( nb y p l a e p l ) ] w [ nb u l+1 = 1 b + a nb u l+1 nb a y ( pe l+1 p l+1 ) ] w ( ) nb ue l u l w y = b m es muss gelten ( ) ue l+1 uw l+1 y = 0 mit u = u l+1 u l und p = p l+1 p l ( ) [ ue u w y = b m und u = 1 ( )] a nb a nbunb y pe p w SIMLE: u 1 [ ( )] = y p e p a w TU Darmstadt FNB /6

3 Aufg. 1 - Lösen der Impulserhaltung - KV 1 Massenflüsse berechnen aus den Werten der vorangegangenen Iteration/Startwerte, linearisieren! ṁ 0 w = ρ yu0 w ; u0 w = u max; (RB) ṁ 0 w = ρu max y ṁe 0 = ρ yue 0 ρ y u0 E + u0 ; ue 0 = u0 = 1; ṁ0 e = ρ y Konvektive Terme, UDS Verfahren: F K w = ṁ w u w = ρu max yu 0 w F K e = ṁ eu UDS e = u max [ṁ e, 0] + u E min [ṁ e, 0] = ρ yu 0 TU Darmstadt FNB /6

4 Aufg. 1 - Lösen der Impulserhaltung - KV 1 Diffusive Terme: Fw D = µ y ( u x Fe D = µ y ( u ( x Fs D u = µ x ( Fn D = µ x y u y Druckterm, Extrapolation: ) µ y u u w w x = µ y ( x u 0 u 0 ) w VD ) µ y u E u e x = µ y ( x u 0 E u 0 ) CD ) µ x u u s y = µ x ( y u 0 u 0 ) s VD ) s µ x un u y = µ x ( y u 0 n u 0 ) RD n [ (p e p w ) y p +p E 3p p E ] y = ( p 0 E p0 ) y TU Darmstadt FNB /6

5 Aufg. 1 - Allgemeine Gleichung KV1 Berechnung a u 0 a W u 0 w a E u 0 E a S u 0 s a N u 0 n = A Druck Fw K = ρu max y uw 0 Fe K = ρ y u 0 Fw D = µ y ( x u 0 uw 0 ) Fe D = µ y ( x u 0 E u 0 ) Fs D = µ x ( y u 0 us 0 ) Fn D = µ x ( y u 0 n u 0 ) a a W a E a S a N = ρ y + 3µ y x x + 4µ y = ρu max y + µ y x = µ y x = µ x y = µ x y A Druck = ( p 0 E ) p0 y TU Darmstadt FNB /6

6 Aufg. 1 - Einsetzen der RB KV1 u w = u max (Einstrom RB Dirichlet) u n = 0 und u s = 0 (Dirichlet RB) a a E a u 0 ae u 0 E = aw u max ( p 0 p0 1) y mit x =, y = 1, µ =, ρ = 14, u max = 3 a W u max = u max ( = ρ y + 3µ y x x + 4µ y = = 161 = µ y x = 1 = 1 ) ρu max y+µ y x = 3 (14 ) = 184 mit u = u 1 ; u E = u ; p 0 E = p0 = 0; p0 = p0 1 = 0 (SB!) KV1 161u 0 1 u 0 = 184 TU Darmstadt FNB /6

7 Aufg. 1 - Lösen der Impulserhaltung - KV Massenflüsse berechnen aus den Werten der vorangegangenen Iteration/Startwerte, linearisieren! ṁ w = ρ yuw 0 ρ y u0 W + u0 ; ṁ w = ρ y ṁ e = ρ yue; 0 u e = u } {{ ; ṁ } e = ρ y ( u x ) =0 RB e Konvektive Terme, UDS Verfahren: Fw K = ṁ w uw UDS = ρ yuw 0 = ( Fe K ) KV 1 F K e = ṁ eu e = ρ yu 0 e TU Darmstadt FNB /6

8 Aufg. 1 - Lösen der Impulserhaltung - KV Diffusive Terme: Fw D = µ y ( ) u x µ y u u W w x = µ y ( x u 0 uw 0 ) CD Fe D = µ y ( ) u ( x) = 0 RB e Fs D u = µ x y µ x u u s y = µ x ( y u 0 u 0 ) s VD ( ) s Fn D u = µ x y µ x un u y = µ x ( y u 0 n u 0 ) RD Druckterm, Extrapolation: n [ (p e p w ) y 3p p W p +p W ] y = ( p 0 p0 W) y TU Darmstadt FNB /6

9 Aufg. 1 - Allgemeine Gleichung KV Berechnung a u 0 a W u 0 W a E u 0 e a S u 0 s a N u 0 n = A Druck Fw K = ρ yuw 0 Fe K = ρ yu 0 Fw D = µ y ( x u 0 uw 0 ) Fe D = 0 Fs D = µ x ( y u 0 us 0 ) Fn D = µ x ( y u 0 n u 0 ) a W = ρ y + µ y x x + 4µ y = ρ y + µ y x a E = 0 a S = µ x y a N = µ x y A Druck = ( p 0 W) p0 y TU Darmstadt FNB /6

10 Aufg. 1 - Einsetzen der RB KV ( u x ) e = 0 u e = u (Neumann RB) u n = 0; u s = 0 (Dirichlet RB) mit x =, y = 1, µ =, ρ = 14 a = ρ y + µ y x a u 0 aw u 0 W = ( p 0 p 0 1) y + 4µ x y = = 159 a W = ρ y + µ y x = = 143 mit u = u ; u W = u 1 ; p 0 W = p0 1 = 0; p0 = p0 = 0 (SB!) KV 143u u0 = 0 TU Darmstadt FNB /6

11 Aufg. 1 - Unterrelaxation α = 1 [ ã = a α = a ][ u 0 ] [ ] u 0 = 0 } {{ } b } {{ } u 1 b = b + 1 α α a u 0 = b + a u 0 mit u 0 1 = u0 = 1 [ ][ u 0 1 u 0 ] = [ ] Lösung u 0 1 = u 0 =.515 TU Darmstadt FNB /6

12 Aufg. 1 - Ausstromrandbedingung, Massenflusskorrektur aus ( ) u x e = 0 folgt: u aus = u 0 =.515 aus u aus folgt: ṁ aus = ρ yu aus ṁ aus ṁ ein! Druckkorrekturgleichung nicht lösbar! globale Massenerhaltung nicht erfüllt! Ausweg: Geschwindigkeiten am Ausstrom skalieren mit f = ṁein ṁ aus für jeden unkt auf dem Ausstromrand u aus = u aus f hier: u aus = u max (trivial für 1 KV am Ein-/Ausstrom) TU Darmstadt FNB /6

13 Aufg. 1 - Selektive Interpolation Mit Druck Extrapolation Es folgt ( ) u ( = y ( )) p e p KV 1 a w KV 1 ( ) u ( = y ( )) p e p KV a w KV KV1 KV ( ) pe p ( w ) KV 1 pe p w KV ( ) ue = 1 (( ) ( ) ) u KV 1 + u = 1 KV 1 KV = = ( ) p p ( 1 ) p p 1 ( y a KV1 + y a KV ) ( ) p p 1 } {{ } selektive Int. TU Darmstadt FNB /6

14 Aufg. 1 - SIMLE Schritt virtuelle Massenquellen/-senken, Korrekturen ( ) ue l u l w y = b m, u l+1 = u l + u, p l+1 = p l + p Korrekturgleichungen ( ) ue l u w y = b m SIMLE: u 1 [ ( )] = y p e p a w Berechnung der virtuellen Massenquellen/-senken, l = 0 ( ) ( ) ue 0 = u 0 w = 1 (( ) ( ) ) u 0 KV 1 KV + u 0 KV 1 KV Berechnung mittels selektiver Interpolation und Impulserhaltungsgleichungen TU Darmstadt FNB /6

15 Aufg. 1 - Virtuelle Massenquellen/-senken ( ) [ ( u l 1 = b + a nb u l ( nb y p l KV 1 a e p l ) )] w nb KV 1 ( ) [ ( u l 1 = b + a nb u l ( nb y p l KV a e p l ) )] w nb ( ) ( ) KV ue 0 = u 0 w = 1 (( ) ( ) ) u 0 KV 1 KV + u 0 = KV 1 KV = 1 ( b + ) ( nb a nbunb l b + ) nb + a nbu l ( nb y + y ) (p l a a a KV1 1 a KV ) pl 1 } {{ } = 1 ( bm (u ) ( 1 = e 0 u 0 w y = u max ue 0 ( ) ( ) bm = ue 0 u 0 w y = uw 0 uaus TU Darmstadt FNB /6 selektive Int. ) 0 = , l = 0 ) KV 1 KV = =

16 Aufg. 1 - Druckkorrekturgleichungen Mit RB u Rand = 0 keine Korrektur! ( ) ue l u w y = b m SIMLE: u 1 [ ( )] = y p e p a w Selektive Interpolation Kanalproblem ( ) ( ) ue = uw = 1 ( y + y ) ( ) p KV1 KV a KV1 a KV p 1 Druckkorrekturgleichungen ( KV1: ue 0 ( ) KV: 0 uw 0 y = bm 1 ) 0 y = bm 1 ( ) ( ) p 0 p 0 1 ) = p 0 1 = ( ) ( p 0 TU Darmstadt FNB /6

17 Aufg. 1 - Druckkorrektur beide Gleichungen linear abhängig, wegen Unbestimmtheit des Druckes (Frei C!) Festhalten eines Druckes z.b. in KV1 mit p 0 1 = 0 ( ) p 0 = p Unterrelaxation für Druckkorrektur p l+1 = p l + α p mit α = 1 Korrektur p l+1 = p l + 1 p l = 0 TU Darmstadt FNB /6

18 Aufg. 1 - Geschwindigkeitskorrektur u 1 ( ) = y p e p a w mit Extrapolation von pw l (siehe Impulsgleichungen) u1 0 y ( ) = p 0 p mit Extrapolation von pe l (siehe Impulsgleichungen) u 0 y ( ) = p 0 p u 1 1 = u0 1 + u 0 1 = = u 1 = u0 + u 0 = = TU Darmstadt FNB /6

19 Aufg. 1 - Algorithmus Überprüfung 10 1 Relativer Fehler: uex u u 10 0 u_1 u_ p_ 10 1 Relativer Fehler TU Darmstadt FNB / Anzahl der SIMLE Iterationen

20 Aufgabe - Zylinder im Kessel ω roblem und Gitterkonfiguration. roblem: Zeitabhängiges Gitter! Lösung: Berechnung der Strömung im rotierenden Bezugssystem! TU Darmstadt FNB /6

21 Aufg. - Zylinder im Kessel Randbedingungen: Zylinder dreht sich Kesselwand - radial Geschw. v = ω r kessel Zylinder steht Zylinder dreht sich nicht Kesselwand - radial Geschw. v = ω r kessel Zylinder dreht mit Geschw. v = r zyl ω Kein Ein-/Ausstrom! TU Darmstadt FNB /6

22 Aufg. - Rührer Randbedingungen: roblem: Freie Oberfläche Lösung: Symmetrie! Annahme: Keine Kegelbildung durch Zentrifugelkraft! TU Darmstadt FNB /6

23 Aufg. - Auto roblem: Auto bewegt sich von rechts nach links bewegtes Gitter Lösung: Auto wird durch Wind umströmt z.b. wie im Windkanal roblem: Auto steht relativ zur Fahrbahn, entspricht nicht der Realität Lösung: Fahrbahn bekommt eine Wandgeschwindigkeit Turbulente Umströmung: Turbulenzmodell? als Bsp. k ε, RSM, (LES) Effizienz: Mehrgitter-Algorithmen! Überprüfung: Vergleich der Ergebnisse mit Experimenten TU Darmstadt FNB /6

24 Aufg. - Auto - Randbedingungen Rechts: Ausstrom Links: Einstrom Obere Begrenzung: Symmetrie Fahrbahn: Wandgeschwindigkeit Auto: Keine Geschwindigkeit TU Darmstadt FNB /6

25 Aufg. - Auto - Stromlinien Windkanal Rechnung TU Darmstadt FNB /6

26 Aufg. - Auto - Kontrolle der Ergebnisse Widerstand/Wandabstand Druckkoeffizient Geschwindigkeitsprofile TU Darmstadt FNB /6

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