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1 Übungen zu Experimentalphysik 4 - Lösungsvorschläge Prof. S. Paul Sommersemester 005 Dr. Jan Friedrich Nr Jan.Friedrich@ph.tum.de Telefon 089/ Physik Department E18, Raum Aufgabe 9 : Drehimpuls und magnetisches Moment a. Betrachten Sie ein Elektron, das sich klassisch auf einer Kreisbahn mit dem Bahndrehimpuls l bewegt. Welches magnetische Moment wird dadurch erzeugt? Wie groß ist das magnetische Moment für ein Elektron auf der ersten Bohrschen Bahn? ( Punkte) Ein Elektron mit der Ladung = e, das sich auf einer Kreisbahn mit einer Umlaufzeit T = πr/v bewegt, erzeugt einen Kreisstrom Das magnetische Moment ist I = T = ev πr µ = IA = ev evr πr πr ˆ n = ˆ n () wobei ˆ n die Normale auf die von der Bahn umschlossene Fläche A ist. Mit dem Drehimpuls l = r p = m r v = mrvˆ n folgt µ = e m l (3) Der Drehimpuls auf der ersten Bohrschen Bahn ist l =. Damit ist das magnetische Moment (Bohrsches Magneton): µ = e m = 5, ev/t = µ B (4) (1) b. Welches Drehmoment wirkt auf das magnetische Moment in einem externen Magnetfeld und was bewirkt es? (1 Punkt) Das Drehmoment ist M = µ B = e m l B = e m l B sin α (5) Es bewirkt eine Drehimpulsänderung, die analog zum Kreisel zu einer Präzessionsbewegung mit der Freuenz ω p = M l sin α = e m B = ω L (6) führt (Larmorfreuenz). 1

2 c. Berechnen Sie das magnetische Moment µ = 1 d 3 r r j einer mit konstanter Geschwindigkeit ω rotierenden geladenen Kugel in Abhängigkeit von ihrem Drehimpuls l. Hinweis: Nehmen Sie an, dass Ladung und Masse der Kugel gleich verteilt sind: ρ( r) = ρ m( r) m Vergleichen Sie das Ergebnis für l = / mit dem gemessenen magnetischen Moment, das durch den Spin des Elektrons verursacht wird. Wie wird in einer uantenmechanischen Betrachtung der Unterschied berücksichtigt? ( Punkte) µ = 1 d 3 r r ρ v (7) Da v immer senkrecht zu r steht, folgt µ = 1 d 3 r ρ m rv = m m d 3 r ρ m r ω = m Θω = m l (8) wobei Θ das Trägheitsmoment der Kugel ist. Für l = / ist µ = = µ m B/. Gemessen wird µ e µ B. In der Quantenmechanik wird dieser Unterschied berücksichtigt durch den gyromagnetischen Faktor: µ S = g S µ B S, g S (9) Aufgabe 10 : Stern-Gerlach-Experiment a. Skizzieren Sie den Aufbau eines Stern-Gerlach-Experiments, bei dem die Quantisierung der z-komponente des magnetischen Momentes von neutralen Silberatomen demonstriert wird. ( Punkte) Mittels eines Atomstrahlofens erzeugt man einen Strahl von neutralen Silberatomen. Silberatome deshalb, da hier die Bahndrehimpulse sich alle zu Null aufheben, so dass nur noch die Spinkomponente des äußersten ungepaarten Elektrons (3s) zum Drehimpuls beiträgt. Der Strahl wird durch Blenden kollimiert und läuft anschließend durch ein inhomogenes Magnetfeld. Die Flugrichtung steht dabei senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zum Magnetfeldgradienten. Ohne B-Feld orientieren sich die Spins frei im Raum. Im homogenen Magnetfeld dagegen präzedieren sie um die Magnetfeldlinien. Im inhomogenen Magnetfeld erhält man eine zusätzliche Kraft auf die magnetischen Momente µ s. Die Größe dieser Kraft ist dabei eine Funktion der Orientierung des Dipols im Magnetfeld. Aus der potentiellen Energie im Magnetfeld V mag = µ B (10)

3 folgt die ablenkende Kraft: F z = V mag z = µ z B z z = µ cos α dz (11) Dipol parallel zum Feldgradienten Ablenkung nach oben Dipol antiparallel zum Feldgradienten Ablenkung nach unten Ergebnis: Klassisch sind alle Einstellungen von α zum Feld erlaubt, was zu einer kontinuierlichen Lösung und somit einer gleichmäßig getroffenen Fläche auf dem Detektor führen sollte. Beobachtet werden zwei scharfe Ablenkungslinien, die wie folgt interpretiert werden: Richtungsuantelung, nur zwei diskrete Einstellungsmöglichkeiten parallel und antiparalel sind möglich. Quantitative Auswertung liefert µ z = ±µ B Alle Atome mit einem ungepaarten s-elektron liefern die gleichen Ergebnisse. Das s-elektron hat Bahndrehimpuls l = 0, so dass nur der Spinmagnetismus gemessen wurde. b. Der Magnet erzeuge ein starkes Feld auf einer Länge von l 1 = 80 mm mit einem Gradienten /dz = 400 T/m. In l = 1.5 cm Entfernung vom Magneten betrage die 3

4 Aufspaltung der beiden Atomteilstrahlen z =. mm. Wie groß ist die z-komponente des magnetischen Moments, wenn die Silberatome (M = kg) eine Geschwindigkeit von v = 500 m/s haben? ( Punkte) Im inhomogenen Magnetfeld wirkt eine Kraft F z = µ z auf das Atom, was zu einer dz Beschleunigung a = F z /M führt. Es durchläuft das Feld in der Zeit t = l 1 /v x (Annahme: kleine Ablenkung) und wird dadurch in z-richtung auf die Geschwindigkeit v z = at beschleunigt und um z 1 = 1 at abgelenkt. Es tritt unter dem Winkel ϑ aus mit tan ϑ = v z /v x. Auf dem Weg zum Detektor legt es in z-richtung die Strecke z = l tan ϑ zurück. Die gesamte Ablenkung ist somit Daraus ergibt sich z = (z 1 + z ) = µ z l dz 1 Mvx (l 1 + l ) (1) µ z = z Mv x dz l 1(l 1 + l ) = J/T µ B (13) Aufgabe 11 : Normaler Zeeman-Effekt a. Wie kann man klassisch die Aufspaltung der Energieniveaus im Magnetfeld verstehen für ein Elektron, das mit dem Bahndrehimpuls l um den Atomkern umläuft (der Spin des Elektrons soll nicht berücksichtigt werden)? Wie kommt die Polarisation des bei Übergängen emittierten Lichts zustande? (3 Punkte) Das Elektron laufe in einem beliebigen Winkel zum Magnetfeld um den Kern. Man betrachtet eine Projektion der Bewegung, also eine Oszillation. Diese Oszillation wird in Komponenten parallel und senkrecht zum Magnetfeld zerlegt. Auf die parallele Komponente (1) wird keine Kraft ausgeübt, die senkrechte zerlegt man wiederum in zwei entgegengesetzte Zirkularbewegungen ( und 3). Diese werden beim Einschalten 4

5 des Feldes beschleunigt bzw. verzögert. Ihre Freuenz ändert sich dabei gerade um die Larmorfreuenz (vgl. Aufgabe 9): ω = e m B = µ B B (14) Bei Emission oder Absorption von Strahlung durch das Elektron spaltet eine Linie somit in folgender Weise auf: Senkrecht zum Magnetfeld werden drei Linien beobachtet: eine mit der ursprünglichen Freuenz (1) und zwei ( und 3) um ± ω verschobene. Die Strahlung ist linear polarisiert. Parallel zum Magnetfeld beobachtet man nur die um ± ω verschobenen Linien. Das Licht ist zirkular polarisiert. b. Wie spaltet uantenmechanisch ein Energieniveau eines Elektrons mit der Drehimpulsuantenzahl l im Magnetfeld auf? (1 Punkt) Es spaltet in l + 1 Niveaus auf, die einen Abstand von E = µ B B haben, d. h. E = E n + mµ B B (15) Dabei läuft m von l bis +l. 5