Skript zur 19. Vorlesung Quantenmechanik, Freitag den 24. Juni, 2011.

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Nicolas Friedrich
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1 Skript ur 19. Vorlesung Quantenmechanik, Freitag den 4. Juni, Weitere Eigenschaften des Spin 1/ 1. Die Zustände und sind war Eigenustände der -Komponente ŝ des Spin- Operators s, sie stellen aber keine Zustände dar, in der der Drehimpuls nur in die -Richtung eigt. Denn: ŝ x und ŝ y = 1 4 in den Zuständen, (so wie in jedem Zustand). Man kann das graphisch so darstellen: s y x. Der Operator s e stellt die Komponente des Spin s in der Richtung eines beliebigen Einheitsvektors e dar. Wenn wir schreiben cosφsinθ e = sinφsinθ, cosθ dann findet man, dass der Operator ŝ e in Spinor-Notation durch die Matrix ( ) cosθ sinθe iφ s e = sinθe iφ cosθ dargestellt wird. Die Eigenwerte dieser Matrien sind ± / und die Eigenustände sind (bis auf einen beliebigen Phasenfaktor): cos(θ/) +sin(θ/)e iφ sin(θ/)e iφ cos(θ/) um Eigenwert /, um Eigenwert /. 10

2 Insbesondere sind die Eigenustände u ŝ x und ŝ y : ŝ x : ŝ y : { 1 { 1 1 ( + ) um Eigenwert /, 1 ( ) um Eigenwert /, ( +i ) um Eigenwert /, (i + ) um Eigenwert / Anwendung: Sequentielles Durchlaufen eines Stern-Gerlach-Apparates Wir betrachten nun einen Atomstrahl, der mehrere Stern-Gerlach Magneten sequentiell durchläuft. Durch rotieren des Apparats, kann nicht nur die -Komponente des Spins s gemessen werden, sondern auch s x. (Da ŝ x und ŝ nicht vertauschbar sind, ist es nicht möglich, beide Komponente gleicheitig, d.h. im gleichen Magnet, u messen.) Der erste Stern-Gerlach Apparat ist so ausgerichtet, dass eine Messung von s stattfindet. (Magnetfeld B in der -Richtung im Zentrum des Magnets und Gradient B / 0.) Der eintretende Atomstrahl wird dann in wei Strahlen mit gleicher Intensität aufgespaltet. Der Atomstrahl mit Atomen mit s = / wird absorbiert, der Atomstrahl mit Atomen mit s = / wird in ein weites Stern-Gerlach weitergeleitet. x Strahl wird absorbiert Strahl wird absorbiert Wir vergleichen nun den Fall, in dem der weite Apparat ebenso eine Messung von s ausführt, und den Fall, in dem der weite Apparat eine Messung von s x ausführt. (Im letten Fall: Magnetfeld B im weiten Apparat in der x-richtung im Zentrum des Magnets und Gradient B x / x 0.) 1. Nach dem Durchlaufen des 1. Stern-Gerlach Apparates gibt es nur H-Atome im s - Eigenustand mit Eigenwert 1. Deshalb erfolgt keine weitere Aufspaltung des Atomstrahls wenn das weite Stern-Gerlach Apparat wiederholt s misst.. Im Fall, dass der. Stern-Gerlach Apparat die x-komponente s x misst, ist es hilfreich, die Spin-Zustände der Elektronen, die sich nach dem Durchlaufen des 1. Stern- Gerlach Magnets im oberen, durchgelassenen Strahl befinden, in der Basis von ŝ x - Eigenspinoren ± x u schreiben. Die ŝ x -Eigenustände ± x sind ± x = 1 ( ± ), u dem Eigenwert ± /, 11

3 wobei der ŝ -Eigenspinor um Eigenwert / ist. Hieraus folgt, dass = 1 ( + x + x ). Die Wahrscheinlichkeit, dass eine s x -Messung in diesem Zustand das Ergebnis ± / gibt ist je 1/. Deshalb wird der Atomstrahl beim Durchlaufen in wei Atomstrahlen mit gleicher Intensität aufgespaltet. Strahl wird absorbiert x Strahl wird absorbiert 3. Wenn einer von diesen Atomstrahlen nun in einen dritten Stern-Gerlach Apparat, der wieder s misst, geführt wird, so wird der Atomstrahl wieder in wei Strahlen mit gleicher Intensität aufgespaltet. Der Grund ist, dass die Atome in einem der beiden ŝ x Eigenustände ± x sind nach der Messung von s x im. Stern-Gerlach Apparat. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung von s das Ergebnis ± / gibt ist je 1/ (für beide Strahlen separat) Anwendung: Larmor Präession Betrachte ein Spin 1/ in einem (homogenen) Magnetischen Feld B 0 = B 0 e. Die klassische Bewegungsgleichung ist: ds dt = µ B 0, wobei µ = eg mc s mit g = das klassiche magnetische Moment ist. Hieraus folgt, dass dµ dt = eg mc µ B 0 = ω L µ e. Diese Gleichung beschreibt eine Präession mit Larmor Frequen ω L = egb 0 /mc = γb 0. (γ = eg/mc: gyromagnetisches Verhältnis.) 1

4 µ B Quantenmechanisch, wird dieser Spin durch den Hamilton-Operator Ĥ = ˆµ B = egb 0 mc ŝ = 1 ω Lσ beschrieben, wobei ˆµ = γŝ der quantenmechanische Operator um magnetischen Moment ist und ω L = egb 0 /mc die Larmor Frequen. Die Energie-Eigenustände sind dieŝ -Eigenustände und unddieugehörigenenergie-eigenwertesind ω L / bw. ω L /ω, mit ω L = egb 0 /mc. Die Zeitabhängigkeit der Energie-Eigenustände und wird dann durch gegeben. (t) = e iω L t, (t) = e i ω L t Wenn wir um Zeitpunkt t = 0 den Spin-Zustand als Eigenustand von ŝ e, mit e ein beliebiger Einheitsvektor, wählen, d.h. ψ(t = 0) = cos θ +sin θ eiφ, wobei θ und φ die Polarwinkel u e sind, dann finden wir ( ψ(t) = cos θ +sin θ ) ei(φ ω Lt) e iω L t. Dieser Zustand beschreibt eine Präession des Spins um die -Achse mit Frequen ω L. Bemerkung: Der oben herausgeogene Phasenfaktor e iω L t ist ohne physikalische Bedeutung. 13

5 Anwendung: Magnetische Resonan Zum eitunabhängigen Feld B 0 in -Richtung, addieren wir nun ein schwaches, irkular polarisiertes Magnetfeld B 1 (t) senkrecht u B 0 : B 1 (t) = B 1 [cos(ω 1 t)e x sin(ω 1 t)e y ]. Klassisch gilt wieder die Bewegungsgleichung dµ dt = eg mc µ B(t). Diese Gleichung lässt sich am Besten im Referensystem lösen, in dem B 1 eitunabhängig ist. Dieses Referensystem rotiert mit einer Winkel-Geschwindigkeit ω 1 um die Achse. Das magnetische Moment im mit-rotierenden Referensystem wird mit µ beeichnet und genügt der Bewegungsgleichung d µ dt [ dµ dt +ω 1e µ(t) ] = im mit-rotierenden Referensysstem = µ(t) (Ωe x ωe ). Hier ist Ω = egb 1 /mc die Rabi Frequen und ω = ω 1 ω L. Diese Gleichung beschreibteinepräessionumein effektivesmagnetfeld B eff = (Ωe x ωe )/(eg/mc) mit Frequen Ω = ( ω)+ω. Resonan tritt auf, wenn ω = 0. In diesem Fall findet die Präession (im mit-rotierenden Referensystem) um die x Achse statt, und rotiert ein urprunglich in der positiven -Richtung ausgerichtetes magnetisches Moment gan bis ur negativen Richtung und urück. Diese Rotation findet für beliebig schwache Felder B 1 (t) statt. Experimentell wird Resonan dadurch festgestellt, dass die Energie des eit-abhängigen Magnetfeldes B 1 bei der Frequen ω 1 = ω L am stärksten absorbiert wird. ~ B eff ω eg mc x ~ µ B ~ = Ω 1 eg mc y 14

6 Erläuterung: Die Rotation des mit-rotierenden Referensystems wird durch die Rotationsmatrix R η(t) beschrieben, wobei R η = cosη sinη 0 sinη cosη und η(t) = ω 1 t. Man überprüft, dass B 1 (t) = B 1 R ω1 te x, so dass B 1 = R ω1 tb 1 (t) = B 1 e x eitunabhängig ist. Dann gilt µ(t) = R ω1 tµ(t), und damit auch: d µ dt = d dt R ω 1 tµ(t) dµ(t) µ(t)+r ω1 t dt = dr ω 1 t dt sin(ω 1 t) cos(ω 1 t) 0 = ω 1 cos(ω 1 t) sin(ω 1 t) = ω 1 e R ω1 tµ(t)+ eg mc (R ω 1 tµ(t)) (R ω1 tb(t)) = ω 1 e µ+ mc µ(t) eg B = µ(t) (ω L e +Ωe x ω 1 e ). µ(t)+ eg mc R ω 1 t(µ(t) B(t)) In der quantenmechanische Beschreibung eines Spin 1/ ändert sich durch das Zufügen des eit-abhängigen Magnetfeldes B 1 (t) der Hamilton-Operator des Spins um Ĥ 1 = ˆµ B 1 (t) = egb ( ) 1 0 e iω 1 t mc e iω 1t = 1 ( ) 0 e 0 Ω iω 1 t e iω 1t, 0 wobei Ω = egb 1 /mc die Rabi Frequen ist. Wir schreiben nun die Lösung der Schrödinger-Gleichung als ψ(t) = a (t) +a (t) Dann finden wir aus der Schrödinger Gleichung i d ψ(t) /dt = Ĥ ψ(t), dass: i d dt a (t) = ω L a (t) Ω eiω 1t a (t), i d dt a (t) = Ω e iω 1t a (t)+ ω L a (t). 15

7 Um diese Gleichungen u lösen, seten wir b (t) = a (t)e iω 1t/, b (t) = a (t)e iω 1t/. Bemerkung: Diese Transformation gleicht einer Transformation in das Ruhesystem des Feldes B 1 (t). Die Bewegungsgleichung für die Amplituden b (t) and b (t) wird dann: i d dt b (t) = ω b (t) Ω b (t), i d dt b (t) = Ω b (t) ω b (t), mit ω = ω 1 ω L. Wir lösen diese Gleichungen nun mit ψ(t = 0) =, d.h. Die Lösung ist: wobei Ω = ( ω) +Ω. b (0) = 1, b (0) = 0. b (t) = cos Ω t i( ω) sin Ω t Ω, b (t) = iω Ω sin Ω t, Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung des Spins um Zeitpunkt t den Wert / gibt, ist dann P (t) = Ω Ω t Ω +( ω) sin t Wenn ω = 0, d.h. wenn die Frequen ω 1 des eit-abhängigen Magnetfeldes B 1 und die Larmorfrequen des Feldes B 0 gleich sind, kann sogar P = 1 auftreten, auch für beliebig schwache Felder B 1 (t)! Bemerkung: Der Fall eines schwachen eitabhängigen Feldes B 1 (t) mit linearer Polarisierung, P B 1 (t) = B 1 cos(ω 1 t)e x, 16

8 lässt sich dadurch lösen, dass man ein solches Feld als Linearkombination weier Felder mit irkularer Polarisierung, d.h. mit Frequenen ω 1 und ω 1, betrachtet. Die Resonanbedingung ω = 0 kann nur für eine Frequen erfüllt werden, und die Komponente des eitabhängigen Feldes mit der entgegengestellten Frequen kann vernachlässigt werden. Diese Annäherung wird die rotierende- Welle Annäherung genannt ( rotating wave approximation ). 17

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