F-Praktikum B. WS 2005/2006 RWTH Aachen Versuch XIV - Stern-Gerlach Experiment

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1 F-Praktikum B WS 2005/2006 RWTH Aachen Versuch XIV - Stern-Gerlach Experiment

2 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation, Prinzip und Ziele 3 2 Aufbau und Durchführung des Experiments 4 3 Auswertung Ziele Bestimmung der zur Rechnung benötigten Parameter p und D Bestimmung der Strahlablenkung u im Magnetfeld Auftragen der Messwerte und Bestimmung des Bohrschen Magnetons µ B

3 Versuch 14: Stern-Gerlach Experiment 3 Das Stern-Gerlach Experiment 1 Motivation, Prinzip und Ziele Das Stern-Gerlach Experiment war historisch ein wichtiger Beweis für die Tatsache, dass der Elektronenspin nur gewisse quantisierte Richtungen annehmen kann. Zur Untersuchung verwendet man neutrale Kaliumatome, deren eines Außenelektron sich im Grundzustand befindet, so dass der Bahndrehimpuls gleich Null ist. Das gesamte magnetische Moment der Kaliumatome ist also gleich dem magnetischen Moment eines freien Elektrons µ s. Die Kaliumatome werden dann durch ein inhomogenes Magnetfeld geschickt, dort erfahren sie eine ablenkende Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung, in z-richtung: F z = ( µ s ) z B z Nach klassischer Erwartung sollten die magnetischen Momente zufällig orientiert sein, der experimentelle Befund ziegt jedoch, dass die magnetischen Momente im Magnetfeld zwei mögliche Richtungen annehmen können, und deswegen eine Aufspaltung des Strahls in zwei diskrete Linien erfolgt, vgl. Abbildung (1). Dies bestätigt die vermutete Richtungsquantelung des Elektronenspins. In der Praxis sieht man keine zwei klaren Linien, sondern nur Maxima der Teilchenstromdichte, dies liegt daran, dass die Kaliumatome mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in das Magnetfeld eintreten. Abbildung 1: Prinzipieller Aufbau des Stern-Gerlach Experiments. Ziel des Praktikumsversuch ist es, dieses Ergebnis zu bestätigen und damit das Bohrsche Magneton µ B aus dem folgenden Zusammenhang zu berechnen: Die Vorgehensweise dabei wird sein: F z = m µ B B z mit m = ±1 1. Die Teilchenstromdichte ohne wirkendes Magnetfeld wird aufgezeichnet, an die so ermittelte räumliche Abhängigkeit wird - um eine mathematische Beschreibung zu ermöglichen - ein handhabbarer Kurvenzug angepasst. 2. Die Teilchenstromdichte bei eingeschaltetem inhomogenen Magnetfeld verschiedener Stärken wird aufgezeichnet. Aus einer Untersuchung der Maxima der Teilchenstromdichten wird µ B berechnet.

4 Versuch 14: Stern-Gerlach Experiment 4 2 Aufbau und Durchführung des Experiments Freigesetzt werden die Kaliumatome in einem Ofen, der während des Experiments bei T = (453 ± 1) K betrieben wird. Von dort fliegen sie in ein Magnetfeld der Länge L = 7cm, dass von Polschuhen mit einem Radius von a = 2.5mm erzeugt wird. Dort werden sie abgelenkt und schließlich in einer Entfernung von l = 51.5cm detektiert. Die ganze Anlage wird bei einem Vakuum von p = Pa betrieben. Die Stärke des Magnetfelds ist über einen Strom I, der zwischen 0A und 1A liegt, einstellbar und beträgt B = 0T bis B = 0.65T. Der Versuch läuft so ab, dass immer eine feste Magnetfeldstärke eingestellt wird. Dann wird der Detektor für die Kaliumatome senkrecht zur Strahlrichtung bewegt. Die Registrierung der Teilchenstromdichte zeigt der Detektor durch einen Strom im Bereich na an. Es wird in geeigneten Abständen jeweils die Detektorposition x und der zugehörige gemessene Strom I notiert. Dabei wird die Detektorposition in der Nähe von Teilchenstromdichten-Maxima feiner variiert, als an Positionen, an denen keine große Stromänderung sichtbar ist. Die Messung der räumlichen Abhängigkeit des Teilchenstroms wurde für ablenkende inhomogene Magnetfelder der Stärken 0.125T, 0.28T, 0.355T, 0.425T, 0.55T und 0.65T durchgeführt. Bei der Auswertung werden die Detektorströme I gegen die Detektorpositionen x aufgetragen. Dann bestimmt man den Abstand zwischen den zwei Maxima der Teilchenstromdichten. Dieser Abstand wird halbiert und mit einem Kalibrationsfaktor K kal = 1.14mm multipliziert, um die echte Ablenkung u e der Teilchen aus der Nullposition erhalten. Trägt man dann diese Ablenkungen u e gegen die Stärke B des eingestellten Magnetfeld aus, so lässt sich mit einigen Umrechnungen aus der Steigung des Bohrsche Magneton µ B bestimmen. 3 Auswertung 3.1 Ziele Wesentliche Aufgaben bei der Auswertung: 1. Bestimmung der Parameter D und p, die durch die Geometrie des Experiments gegeben sind. 2. Ermittlung der Ablenkungen, die die Strahlen im inhomogenen Magnetfeld erfahren. 3. Bestimmung des Bohrschen Magnetons µ B aus den Ergebnissen. 3.2 Bestimmung der zur Rechnung benötigten Parameter p und D Zunächst wird nur die Messung bei abgeschaltetem Magnetfeld betrachtet, die Teilchen erfahren also noch keine Auslenkung und man sieht das normale Strahlprofil. In Abbildung (2) sieht man das Ergebnis einer solchen Messung, dort ist die relative Teilchenstrom J (eigentlich gemessen als Strom I in na) gegen die Detektorposition x aufgetragen. Man sieht, dass es Bereiche gibt, in denen der Strom zwar nicht Null anzeigt, aber auf einem konstanten Level ist. Diese Untergrund-Messungen sind für die Ergebnisse uninteressant und werden im weiteren Verlauf nicht mehr betrachtet. Nun geht es darum, den Kurvenverlauf des Peaks möglichst so durch angepasste Kurven zu beschreiben, dass sich die Ergebnisse auch noch auswerten lassen. Der Plan ist, die Kurve im Scheitel durch eine Parabel zu beschreiben, und an den Flanken durch zwei symmetrische Geraden. Abschätzdenderweise kann dies erfolgen, indem man sich im Scheitelbereich einige Punkte wählt, und sich durch diese von einem geeigneten Programm (z.b. Origin) eine Parabel legen lässt, und dann zwei Geraden durch die restlichen Punkte fittet.

5 Versuch 14: Stern-Gerlach Experiment 5 Abbildung 2: Bei einem Magnetfeld von B = 0 T aufgenommene Werte. Die Parameter, die man letztendlich sucht, sind die Punkte p, bis zu denen die Messwerte durch die Parabel beschrieben werden und die Punkte D, an denen die Geraden die x-achse schneiden. Je nach Wahl der im Scheitel betrachteten Punkte erhält man so verschiedene Ergebnisse, wie man in Abbildung (3) sehen kann. Abbildung 3: Versuchs-Fit zur Bestimmung der Parameter D und p. Da dies natürlich recht unbefriedigend ist, haben wir ein Programm geschrieben, dass den gewüschten Kurvenverlauf an die Messwerte anpasst. Verlangt wird dabei, dass die Geraden zueinander symmetrisch sind, dies führt automatisch dazu, dass p und p bzw. D und D jeweils betragsmäßig gleich sind. Ein Bild der durch das Programm durchgeführten Anpassung ist ein Abbildung (4) zu sehen. Der Nullpunkt wird bei dieser Art der Bestimmung ebenfalls verschoben, was aber nicht unerwünscht ist. Eine solche Nullpunktsverschiebung (in x-richtung) wird auch bei den anderen Messreihen mit eingeschaltetem Magnetfeld durchgeführt, sie wird aber nicht immer explizit mit angeschrieben.

6 Versuch 14: Stern-Gerlach Experiment 6 Abbildung 4: Finaler Fit zur Bestimmung der Parameter. Das Programm berechnet dann die freien Parameter (u.a. p und D) so, dass die Abweichung zwischen den Messwerten und der angefitteten Kurve minimal wird. So konnten die Werte für p und D ziemlich genau bestimmt werden. Die in der Graphik(4) eingezeichneten Messwerte für p und D müssen noch mit dem Kalibrationsfaktor K kal = 1.14mm mutlipliziert werden, dann erhält man die endgültigen Werte, mit denen man nachher rechnet: p = (0.620 ± 0.001) mm D = (1.521 ± 0.001) mm (1) 3.3 Bestimmung der Strahlablenkung u im Magnetfeld Das ablenkende inhomogene Magnetfeld konnte durch Einstellen eines Stroms geregelt werden, es wurden Messwerte bei den Magnetfeldstärken B = T, 0.28 T, T, T, 0.55 T und 0.65 T aufgenommen, der Fehler auf die Magnetfeldstärke liegt bei etwa 1%. Die Messung bei B=0.125 T lieferte kein Ergebnis, das sinnvoll interpretiert werden konnte, die anderen Messungen werden im folgenden ausgewertet. Bei den Graphen ist stets der Messstrom I, der ein Maß für die Teilchenstromdichte ist, gegen die Position x des Detektors aufgetragen. Aus den Graphen bestimmt man dann die Ablenkung u e der Kaliumatome im inhomogenen Magnetfeld B, diese ist gerade der halbe Abstand zwischen den beiden Peaks der relativen Teilchenstromdichten, die in den Bildern zu sehen sind, multipliziert mit K kal. In der folgenden Tabelle (1) finden sich die Ergebnisse noch einmal zusammengefasst. Magnetfeld B in T Ablenkung u e in mm abs. Fehler σ ue in mm rel. Fehler σ ue,rel in % Tabelle 1: Ergebnisse für die Messung der Ablenkungen u e

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9 Versuch 14: Stern-Gerlach Experiment Auftragen der Messwerte und Bestimmung des Bohrschen Magnetons µ B Zur Auswertung werden nun im Wesentlichen die Ablenkungen u e gegen die eingestellte Stärke B des ablenkenden Magnetfelds aufgetragen. Dabei macht man sich zu Nutze, dass der Versuch so aufgebaut ist, dass die Inhomogenität B/ z linear von der Magnetfeldstärke B abhängt. Konkreter wird nicht u e sondern die Größe q y gegen B aufgetragen: q y = 3 u e C u e mit C = D4 1 5 p4 D p2 C setzt sich aus den Größen D und p zusammen, die in (1) bestimmt wurden, es ergibt sich: C = (2.435 ± 0.002) mm 2 Abbildung 5: Lineare Regression zur Bestimmung von µ B. In Abbildung (5) sieht man, dass die aufgenommenen Messwerte q y für die Ablenkungen im Magnetfeld ziemlich genau auf einer Geraden liegen, deren Steigung m sich ergibt zu: m = (11.4 ± 0.5)mm/T = ± 4.4% Nach Konstruktion lässt sich nun aus dieser Steigung das Bohrsche Magneton µ B bestimmen. Dazu zunächst ein paar Formeln. q ist eigentlich eine Abkürzung für einen Ausdruck, der µ B und die Inhomogenität des Magnetfelds enthält, sowie einige Faktoren die die Geometrie der Stern-Gerlach Apparatur kennzeichnen: q = l L (1 1 ) L 2 l µ B B 2 k B T z Der Versuch ist so aufgebaut, dass die Inhomogenität linear von der Magnetfeldstärke selbst abhängt: B z = B a

10 Versuch 14: Stern-Gerlach Experiment 10 Für unsere Näherung des Strahlprofils als Kombination einer Parabel mit zwei Geraden ergibt sich q zu: q = q y = 3 u e C u e Dabei ist u e die in der Detektorebene gemessene Ablenkung des Teilchenstrahls aus der Nullposition, die vorliegt, wenn das ablenkende Magnetfeld abgeschaltet ist. C setzt sich wie bereits beschrieben aus p und D zusammen, die sich ebenfalls aus der Näherung fürs Strahlprofil ergeben. Bringt man die beiden Formeln für q nun zusammen, so erhält man: q y = l L ( k B T L l ) µ B B a } {{ } m Die auftauchenden Konstanten wurden in der Beschreibung des Versuchs bereits kurz erwähnt, sie sind hier noch einmal zusammengefasst: Temperatur bei der die Kaliumatome im Ofen freigesetzt werden: T = (453 ± 1)K Länge des Magnetfelds, dass die Teilchen durchqueren: L = 7cm Krümmung der magnetfelderzeugenden Polschuhe: a = 2.5mm Strecke von Magnetfeldmitte bis zur Detektorebene: l = 51.5cm (Ludwig) Boltzmann-Konstane: k B = 1, J K Jetzt haben wir q y gegen B aufgetragen, dies bedeutet, dass m die Steigung der Ausgleichsgeraden ist. Daraus ergibt sich das Bohrsche Magneton µ B zu: 2 k B T µ B = l L (1 1 2 ) L l a m Der Fehler auf µ B ergibt sich also aus dem Fehler auf m, die Fehler auf die Konstanten werden als vernachlässigbar klein betrachtet. Die Fehler auf m wiederum ergeben sich aus der dem Fehler auf das eingestellte Magnetfeld, aus dem Ablesefehler auf u e und aus dem Fehler auf C (also dem auf D und p). Als Ergebnis für den Wert des Bohrschen Magnetons erhalten wir: µ B = Am 2 ± Am 2 Der Fehler auf das Ergebnis beträgt also in etwa 5%. Der Literaturwert für das Bohrsche Magneton liegt bei: µ theo B = Am 2 Dies liegt etwa 3σ µb unter dem von uns ermittelten Wert. Damit ist die Messung zwar nicht vollkommen von der Hand zu weisen, allerdings ist das Ergebnis auch nicht besonders befriedigend. Der statistische Fehler liegt bei etwa 5%. Das χ 2 /n Dof von ca. 0.3 bei der Geradenanpassung spricht dafür, dass die Fehler noch zu grob abgeschätzt wurden, kleinere Ablesefehler anzunehmen wäre aber recht zweifelhaft geworden. Bleibt noch zu untersuchen, ob bei Messung oder Auswertung systematische Fehler gemacht wurden. Was die Messung betrifft, sind wir wohl kaum in der Lage, das zu beurteilen und wenn wir die gemachten Fehler bei der Auswertung kennen würden, dann gäbe es sie nicht mehr.