Physikalisches Anfängerpraktikum Teil 1 Versuch 1 73: Stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld, Halleffekt Protokoll

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1 Physikalisches Anfängerpraktikum eil 1 Versuch 1 73: Stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld, Halleffekt Protokoll Gruppe 13: Marc A. Donges <kosh@hadiko.de>, Michael Schüssler, Einleitung Diese Versuchsreihe beschäftigt sich mit den Wirkungen magnetischer Felder auf elektrische Ströme. Durch verschiedene Experimente sollen unter anderem Rückschlüsse von makroskopischen Beobachtungen auf die mikroskopischen Eigenschaften von Materialien, die für die elektrische Leitfähigkeit maßgeblich sind, gezogen werden. 2 Aufgaben 2.1 Aufgabe 1: Messung des magnetischen Feldes mit einer Feldplatte Beschreibung In diesem Versuch wird das Magnetfeld im verwendeten Magneten in Abhängigkeit des felderzeugenden Erregerstroms I err experimentell mit einer Feldplatte gemessen. Eine Feldplatte besteht aus einem Halbleiter, dessen ohmscher Widerstand bei Stromdurchfluß gemessen wird. Orthogonal zur Flußrichtung sind Drähte angebracht, in denen sich Elektronen mit vergleichsweise geringem Widerstand bewegen können. Wird die Feldplatte in ein magnetisches Feld gebracht, das einen Anteil orthogonal zur Stromflußrichtung und orthogonal zur Platte hat, legen die Elektronen auf dem Weg durch die Platte einen längeren Weg zurück (nicht den kürzesten Weg, sondern schräg) als im feldfreien Fall, was den meßbaren Widerstand der Platte erhöht. Die Möglichkeit, das Magnetfeld der Spule nach B µ 0 n d I err (Gerthsen, aus 7.49) zu berechnen, wird nicht verwendet, da eine Abweichung von diesem linearen Zusammenhang vermutet wird (siehe Abbildung 1). 1

2 2.1.2 Messung der Feldstärke in Abhängigkeit des Erregerstroms Der Verlauf von B(I err ) ist zunächst annähernd linear, bis bei einer Feldstärke von 0,9 die Auswirkungen der ferromagnetischen Sättigung sichtbar werden und die Feldstärke weniger als linear mit dem Erregerstrom zunimmt B/ Ierr/mA Abbildung 1: Abhängigkeit der Magnetfeldstärke B vom Erregerstrom I err Widerstand der Feldplatte Mit U 0 6,42V und R v 25kΩ kann der Widerstand R f der Feldplatte bestimmt werden: U f U 0 R f R v + R f R f R v U f U 0 U f Abbildung 2 und Abbildung 3 zeigen die Abhängigkeit des Widerstands der Feldplatte von der magnetischen Flußdichte B, respektive die Zunahme desselben gegenüber dem Widerstand bei B 0. Der Überproportionale Verlauf ist aufgrund des Aussehens der Eichkurve erwartet worden. 2

3 Rf/Ohm B/ Abbildung 2: Abhängigkeit des Widerstands der Feldplatte vom magnetischen Feld: R f (B) (Rf-Rf0)/Rf Abbildung 3: Zunahme des Widerstands der Feldplatte: B R f (B) R f (0) R f (0) B/ 3

4 2.2 Aufgabe 2: Messung an einer Au Metallhallsonde In diesem Versuch wird die Hallspannung U h bei verschiedenen Werten des Stroms I S durch die Hallsonde und bei verschiedenen Stärken der magnetischen Flußdichte B gemessen Is 34,0mA Is 70,0mA Is105,2mA Is139,7mA lin. Regr. fuer Is 34,0mA lin. Regr. fuer Is 70,0mA lin. Regr. fuer Is105,2mA lin. Regr. fuer Is139,7mA Uh/mV B/ Abbildung 4: Hallspannung U h in Abhängigkeit von B, mit I s als Parameter B1,15 lin. Regr. fuer B1, Uh/mV Abbildung 5: Hallspannung U h in Abhängigkeit von I s, mit B 1, 15 Abbildung 4 zeigt einige Meßreihen U h (B) für verschiedene Werte von I s, während Abbildung 5 eine Meßreihe U h (I s ) für B 1, 15. Is/mA Parameter der linearen Regression Für U h (B) und U h (I s ) wird ein proportionaler Verlauf angenommen und daher eine Gerade der Form f(x) m x mit linearer Regression genähert (mit gnuplot). 4

5 Erregerstrom I s m B Standardabweichung für m B I s 34,0mA 0, mv ±0, mv I s 70,0mA 0, mv ±0, mv I s 105,2mA 0, mv ±0, mv I s 139,7mA 0, mv ±0, mv Magnetische Flußdichte B m I Standardabweichung für m I B 1,15 0, mv ma ±0, mv ma Hallkonstante R h Die Hallspannung ist Ergebnis eines elektrischen Feldes, das die Ablenkung von Elektronen in der Hallsonde durch ihren Fluß und das äußere Magnetfeld gerade ausgleicht. Die von ihr auf die Ladungsträger in der Sonde ausgeübte elektrische Kraft F e ist daher gleich der durch Bewegung und Magnetfeld verursachten Lorentzkraft F L : F e F L q E q v B mit v B, wie es jedenfalls in unserem Experiment gilt, ergibt das: E v B U d v B U v B d Ferner gilt: I j A Mit Dicke der Hallsonde d h und Breite b h heißt das: 5

6 I j A I s (ϱqv) (b h d h ) I s v ϱ q b h d h und U v B d U h v B b h I s U h B b h ϱ q b h d h 1 ϱ q B I s d h R h B I s d h Also gibt es eine Proportionalität U h I s respektive U h B: U h R h B d h I s m I I s U h R h Is d h B m B B m I R h B d h m B R h Is d h Mit den Konstanten m I und m B aus den Ausgleichsgeraden zu U h (I s ) respektive U h (B) kann also zunächst R h berechnet werden: Erregerstrom I s I s 34,0mA I s 70,0mA I s 105,2mA I s 139,7mA R h m B d 4, , , , Der Mittelwert R h ist dann: I s R h m I dh B R h m B dh I s R h 4, Magnetische Flußdichte B B 1,15 R h m I d B 4, Konzentration freier Elektronen n Au Wegen 6

7 R h 1 ϱ q ϱ 1 R h q und unter der Annahme, daß es sich bei den Ladungsträgern um Elektronen e handelt, können wir n Au ϱ bestimmen: n Au 1 R h e Kenngröße der Meßreihe R h n Au 1 I s 34,0mA I s 70,0mA I s 105,2mA I s 139,7mA B 1,15 R h e 4, , m 3 5, , m 3 4, , m 3 4, , m 3 4, , m Mittlere Zahl freier Elektronen je Goldatom ζ Au Wir benötigen die Zahl der Goldatome in der Sonde. Diese berechnen wir aus: Die eilchendichte von Gold ergibt sich dann zu ϱ m,au 19,3 g cm 3 M Au 197 g mol ϱ n,au ϱ m,au N A M Au mol 19,3 g cm g 5, cm 3 Aus der Elektronendichte und der eilchendichte ergibt sich trivialerweise die mittlere Zahl freier Elektronen: mol ζ Au n Au ϱ n,au 7

8 Kenngröße der Meßreihe n Au ζ Au n Au ϱ n,au I s 34,0mA 1, m 3 2,4033 I s 70,0mA 1, m 3 2,1039 I s 105,2mA 1, m 3 2,1843 I s 139,7mA 1, m 3 2,1548 B 1,15 1, m 3 2,1354 Ein Wert von etwa zwei freien Elektronen je Goldatom ist ein zumindest realistischer Wert Bemerkung Während der Veränderung des B-Feldes treten an der Hallsonde große Spannungen im Vergleich zur Hallspannung im stationären Fall auf. Dies liegt an in der Hallsondenebene induzierten Kreisströmen aufgrund des zeitlich veränderlichen B-Feldes, die durch die Geometrie der Hallsonde und die Empfindlichkeit des Meßgeräts so stark auffallen Messung des Hallwiderstands Aus der Messung der Spannung U r an Anschlüssen im Abstand l (29,0±0,1)mm (in Stromrichtung) bei fließendem Strom I s kann die Leitfähigkeit der Hallsonde (also des Goldes) berechnet werden: R ϱ l A ϱ R A l σ 1 ϱ σ l R A σ Au l R A I s U r l 69,90mA b h d h 0,308V 29,0mm 9,0mm 61nm 12,0 106 S m µ Au berechnet sich dann nach µ Au σ Au R h. Für einen mittleren Wert von R h 4, ergibt dies µ Au 5, m2 Ω 2.3 Aufgabe 3: Messung an einer InAs Halbleiterhallsonde Parameter der linearen Regression Für U h (I s ) wird ein proportionaler Verlauf angenommen und daher eine Gerade der Form f(x) m x + c mit linearer Regression genähert (mit gnuplot). Hier ist ein Summand c berücksichtigt, da kein Abgleich der Spannung bei B 0 durchgeführt werden kann. Erregerstrom I s m B Standardabweichung für m B c Standardabweichung für c I s 6,0mA 46,9138 mv ±0,9112 mv 3,49397mV ±0,8073mV I s 12,0mA 86,9927 mv ±2,975 mv 9,60564mV ±2,615mV I s 18,0mA 132,473 mv ±2,995 mv 12,6073mV ±2,502mV I s 24,0mA 180,007 mv ±3.382 mv 15,0451mV ±2,679mV 8

9 Uh/mV Is 6,0mA Is12,0mA Is18,0mA Is24,0mA lin. Regr. fuer Is 6,0mA lin. Regr. fuer Is12,0mA lin. Regr. fuer Is18,0mA lin. Regr. fuer Is24,0mA B/ Abbildung 6: Hallspannung U h in Abhängigkeit von B, mit I s als Parameter Uh/mV Werte fuer c, also B0, aus lin. Regression lin. Regression fuer c Is/mA Abbildung 7: Hallspannung U h in Abhängigkeit von I s bei B 0 Abbildung 7 zeigt die Hallspannung U h in Abhängigkeit von I s bei B 0. Die Werte wurden aus c aus den linearen Regressionen für U h (B) durch gewichtete lineare Regression bestimmt. Es ist deutlich zu erkennen, daß die Spannung bei B 0 mit zunehmendem Strom I s ansteigt. Dabei ist ein in etwa linearer Verlauf sichtbar. Die hier gezeigte Hallspannung läßt sich vermutlich ebenso wie bei der Au Hallsonde durch die geometrischen Eigenschaften der InAs Hallsonde erklären. Sie ist klein gegenüber der Hallspannung bei signifikanten Magnetfeldern, weswegen sie üblicherweise vernachlässigt wird. Sie ist außerdem für die in diesem Versuch berechneten Größen irrelevant, da jeweils nur auf den proportionalen Anteil der Beziehung U h (B) eingegangen wird Hallkonstante R h Mit der Konstanten m B aus der Ausgleichsgeraden zu U h (I s ) kann zunächst R h berechnet werden: 9

10 R h m B dh I s Erregerstrom I s I s 6,0mA I s 12,0mA I s 18,0mA I s 24,0mA R h m B d 1, , , , Der Mittelwert R h ist dann: I s R h 1, Konzentration freier Elektronen n InAs Wegen R h 1 ϱ q ϱ 1 R h q und unter der approximierenden Annahme, daß es sich bei den Ladungsträgern um Elektronen e handelt, können wir n InAs ϱ bestimmen: n InAs 1 R h e 3, m 3 Kenngröße der Meßreihe R h n InAs 1 I s 34,0mA I s 70,0mA I s 105,2mA I s 139,7mA R h e 1, , m 3 1, , m 3 1, , m 3 1, , m Mittlere Zahl freier Elektronen je InAs eilchenpaar ζ InAs Wir benötigen die Zahl der InAs eilchenpaare in der Sonde. Indium ist ein Metall der dritten Hauptgruppe, Arsen ein Halbmetall der fünften Hauptgruppe. Sie bilden eine Ionenverbindung mit Zinkblendegitterstruktur, bestehend aus In 3+ und As 3. Aufgrund der sich ergebenden Ionenradien gehen wir ohne weitere Bedenken davon aus, daß Indiumarsenid eine noch kleinere Dichte als Arsen hat und verwenden daher nach ϱ m,in 7,29 g cm 3 Mit und ϱ m,as 5,77 g cm 3 ϱ m,inas 5 g cm 3 folgende Approximation: 10

11 M InAs M In + M As 114,8 g mol + 74,9 g mol 189,7 g mol folgt dann ϱ n,inas ϱ m,inas N A M InAs mol 5 g cm ,7 g 1, cm 3 Aus der Elektronendichte und der eilchendichte ergibt sich trivialerweise die mittlere Zahl freier Elektronen: mol ζ InAs n InAs ϱ n,inas Kenngröße der Meßreihe n InAs ζ InAs n InAs ϱ n,inas I s 34,0mA 3, m 3 2, I s 70,0mA 3, m 3 2, I s 105,2mA 3, m 3 2, I s 139,7mA 3, m 3 2, Messung des Hallwiderstands Aus der Messung der Spannung U r an Anschlüssen im Abstand l (3,0±0,05)mm (in Stromrichtung) bei fließendem Strom I s kann die Leitfähigkeit der Hallsonde (also des InAs) berechnet werden: σ InAs I s U r l 69,90mA b h d h 0,308V 3,0mm 1,5mm 2,5µm 29, S m µ InAs berechnet sich dann nach µ InAs σ InAs R h. Für einen mittleren Wert von R h 1, ergibt dies µ InAs 0,5505 m2 Ω Diskussion der Ergebnisse Die Zahl freier Ladungsträger pro eilchen ζ ist bei InAs um fünf Größenordnungen kleiner als bei Gold, die Leitfähigkeit σ um drei Größenordnungen. Dies verwundert insofern nicht, als InAs eine Halbmetallegierung ist und kein Metall wie Gold, das für seine gute Leitfähigkeit berühmt ist. Als Folge daraus ist die Hallkonstante R h bei InAs sehr viel größer, und bei ansonsten gleichen Parametern, wie der magnetischen Flußdichte B, ist die Hallspannung U h sehr viel größer. Da größere Spannungen im vorliegenden Bereich wesentlich leichter und störungsärmer gemessen werden können, eignen sich daher Materialien mit geringer Leitfähigkeit, bzw. eigentlich geringer Ladungsträgerdichte, besonders gut zur Herstellung von Hallsonden. 11

12 Prinzipiell ist interessant, daß hier mit einem einfachen makroskopischen Meßverfahren herausgefunden wurde, daß in der Salzverbindug InAs je ca Ionenpaaren nur etwa ein freier Ladungsträger vorhanden ist, und damit ein mikroskopisches Detail bestimmt wurde, das anders jedenfalls nicht trivial bestimmt werden kann. 3 Fehlerrechnung 3.1 Übersicht Bei diesem Versuch treten sowohl systematische Fehler als auch statistische Fehler bei den Messungen auf. Die meisten dieser Fehler können im Rahmen der Fehlerrechnung abgeschätzt werden. Viele der gefragten Größen sind aus Meßwerten berechnet, was eine Berechnung des fortgepflanzten Fehlers erfordert Systematische Fehler Messung der Hallspannung U h Erregerstrom der Hallsonde I s Messung der Spannung U r längs der Hallsonden Abstand l der Anschlüsse längs der Hallsonden Abmessungen b h und d h der Hallsonden Statistische Fehler Als statistischer Fehler treten hier eine Abweichung in den Messungen von Hallspannung und Erregerstrom der Hallsonde auf. Da hierfür jedoch keine einzelnen Meßreihen vorliegen, wird der sich daraus ergebende statistische Fehler nur für die Steigung m B der Funktion R h m B dh Is ermittelt, da diese jeweils aus mehreren Wertepaaren bestimmt wird. 12

13 3.2 Formeln für die Fehlerrechnung Größtfehlerabschätzung Hier gilt allgemein: E E A A + E B B + Also insbesondere: R h m B d I s R h R h m B m B + R h d d + R h I s I s d I s m B + m B I s d + m B d Is 2 I s d I s m B + m B I s d + m B d I s I 2 s σ x I s l U r b h d h σ x σ x I s I s + σ x U r U r + σ x l l + σ x b h b h + σ x d h d h 1 l U r b h d h I s + I s l Ur 2 b h d h U r + I s 1 U r b h d h l + I s l U r b 2 h d b h + I s l h U r b h d 2 d h h 1 l U r b h d h I s + I s l U r 2 b h d h U r + I s 1 U r b h d h l + I s l U r b 2 h d b h + I s l h U r b h d 2 d h h µ x σ x R h µ x µ x σ x σ x + µ x R h R h ( σx + R ) h µ x σ x R h Statistische Fehler Die statistischen Fehler der linearen Regressionen werden durch das gleiche numerische ool (gnuplot) berechnet, das die (nicht gewichtete) lineare Regression durchgeführt hat. Die ensprechenden Werte für die Standardabweichung können den jeweiligen abellen entnommen werden. 13

14 3.2.3 Spezialfälle Bei abhängigen Größen, die multiplikativ aus anderen Größen berechnet werden, von denen genau eine mit einem Fehler behaftet ist, wird genau ihr relative Fehler ohne Änderung fortgepflanzt. Dies sei beispielhaft für ζ x hergeleitet: E E A A + E B B + ζ x n x ϱ n,x ζ x ζ x n x n x + ζ x ϱ n,x ϱ n,x 1 ϱ n,x n x + ζ x ϱ n,x 0 1 n x ϱ n,x 1 ϱ n,x n x nx n x n x ϱ n,x n x n x ζ x n x n x Bei der Bildung eines arithmetischen Mittels ist der Fehler des Mittelwertes gerade der Mittelwert der Fehler der Einzelwerte (die Herleitung ist trivial). 3.3 Fehlerrechnung im Einzelnen Au Sonde: Hallkonstante 1. Meßreihe R h 4, R h d I s m B + m B I s d + m B d Is 2 I s m 34mA 0,001081mV + 0, mv 34mA 3 0, mv 10 9 m m (34mA) 2 3mA 0, Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler: R h (4,4 ± 0,8) 10 14

15 3.3.2 Au Sonde: Hallkonstante 2. Meßreihe R h 5, R h d I s m B + m B I s d + m B d Is 2 I s m 70,0mA 0, mV + 0, mv 70,0mA 3 0, mv 10 9 m m (70,0mA) 2 3mA 0, Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler: R h (5,0 ± 0,5) Au Sonde: Hallkonstante 3. Meßreihe R h 4, R h d I s m B + m B I s d + m B d Is 2 I s m 105,2mA 0,001505mV + 0, mv 105,2mA 3 0, mv 10 9 m m (105,2mA) 2 3mA 0, Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler: R h (4,9 ± 0,5) Au Sonde: Hallkonstante 4. Meßreihe R h 4, R h d I s m B + m B I s d + m B d Is 2 I s m 139,7mA 0,001411mV + 0, mv 139,7mA 3 0, mv 10 9 m m (139,7mA) 2 3mA 0,

16 Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler: Au Sonde: Mittlere Hallkonstante R h (4,9 ± 0,4) 10 R h 0, R h m3 4,8 10 ± 0, InAs Sonde: Hallkonstante 1. Meßreihe R h 1, R h d I s m B + m B I s d + m B d Is 2 I s 2, m 6mA 0,9112mV + 46,9138 mv 6mA 0,5 46,9138 mv 10 6 m + 2, m (6mA) 2 0,3mA 0, Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler: R h (2,0 ± 0,5) InAs Sonde: Hallkonstante 2. Meßreihe R h 1, R h d I s m B + m B I s d + m B d Is 2 I s 2, m 12mA 2,975mV + 86,9927 mv 12mA 0,5 86,9927 mv 10 6 m + 2, m (12mA) 2 0,3mA 0, Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler: R h (1,8 ± 0,5) 10 16

17 3.3.8 InAs Sonde: Hallkonstante 3. Meßreihe R h 1, R h d I s m B + m B I s d + m B d Is 2 I s 2, m 18mA 2,995mV + 132,473 mv 18mA 0,5 132,473 mv 10 6 m + 2, m (18mA) 2 0,3mA 0, Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler: R h (1,8 ± 0,4) InAs Sonde: Hallkonstante 4. Meßreihe R h 1, R h d I s m B + m B I s d + m B d Is 2 I s 2, m 24mA 3,382mV + 180,007 mv 24mA 0,5 180,007 mv 10 6 m + 2, m (24mA) 2 3mA 0, Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler: R h (1,9 ± 0,6) InAs Sonde: Mittlere Hallkonstante R h 0, R h m3 1,9 10 ± 0, Konzentration freier Elektronen n Au Kenngröße der Meßreihe n Au 1 R h e n Au n Au R h R h I s 34,0mA 1, m 3 ±0, m 3 I s 70,0mA 1, m 3 ±0, m 3 I s 105,2mA 1, m 3 ±0, m 3 I s 139,7mA 1, m 3 ±0, m 3 17

18 Mittlere Zahl freier Elektronen je Goldatom ζ Au Kenngröße der Meßreihe ζ Au n Au ϱ n,au ζ Au ζ Au n Au n Au I s 34,0mA 2,40 ±0,44 I s 70,0mA 2,10 ±0,22 I s 105,2mA 2,18 ±0,20 I s 139,7mA 2,15 ±0, Konzentration freier Elektronen n InAs Kenngröße der Meßreihe n InAs 1 R h e n InAs n InAs R h R h I s 34,0mA 3, m 3 ±0, m 3 I s 70,0mA 3, m 3 ±0, m 3 I s 105,2mA 3, m 3 ±0, m 3 I s 139,7mA 3, m 3 ±1, m Mittlere Zahl freier Elektronen je InAs eilchenpaar ζ InAs Kenngröße der Meßreihe ζ InAs n InAs ϱ n,inas ζ InAs ζ InAs n InAs n InAs I s 34,0mA 2, ±0, I s 70,0mA 2, ±0, I s 105,2mA 2, ±0, I s 139,7mA 2, ±0,

19 Hallwiderstand σ Au σ Au 1 l U r b h d h I s + I s l U r 2 b h d h U r + I s 1 U r b h d h l + I s l U r b 2 h d b h + I s l h U r b h d 2 d h h 1 0,308V 29,0mm 9,0mm 61nm 3mA + 69,90mA (0,308V) 2 29,0mm 9,0mm 61nm 0,03V + 69,90mA 0,308V 1 9,0mm 61nm 0,1mm + 69,90mA 0,308V 29,0mm (9,0mm) 2 61nm 0,1mm + 69,90mA 0,308V 29,0mm 9,0mm (61nm) 2 3nm 2, S m Also: Wegen σ Au 12, S m ± 2,6 106 S m gilt: µ Au σ Au R h µ Au ( σau σ Au + R ) h µ Au R h In diesem Fall also µ Au ( σau σ Au + R ) h 4 m2 µ Au 2, R h Ω Also ist µ Au 5, m2 m2 Ω ± 2, Ω. 19

20 Hallwiderstand σ InAs σ InAs 1 l U r b h d h I s + I s l U r 2 b h d h U r + I s 1 U r b h d h l + I s l U r b 2 h d b h + I s l h U r b h d 2 d h h 1 0,405V 3,0mm 1,5mm 2,5µm 0,3mA + 14,90mA (0,405V) 2 3,0mm 1,5mm 2,5µm 0,03V + 14,90mA 0,405V 1 1,5mm 2,5µm 0,05mm + 14,90mA 0,405V 3,0mm (1,5mm) 2 2,5µm 0,05mm + 14,90mA 0,405V 3,0mm 1,5mm (2,5µm) 2 0,5µm 10, S m Also: Außerdem: σ InAs S m ± S m µ InAs ( σinas σ InAs + R ) h µ InAs 0,3456 m2 R h Ω Also ist µ InAs 0,6 m2 m2 Ω ± 0,3 Ω. 20