Angewandte Strömungssimulation
|
|
|
- Marie Fried
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Angewandte Strömungssimulation 7. Vorlesung Stefan Hickel
2 Druck-Geschwindigkeits-Kopplung
3 Lösung der Navier-Stokes Gleichungen Kompressible NSG! Massenerhaltung! Impulserhaltung ρu t! Energieerhaltung E t + (ρuu) = p + τ + ρf + (ue) = (up) + (u τ ) (q) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 3
4 Lösung der Navier-Stokes Gleichungen Inkompressible NSG! integrale Form! in differentieller Form! der Druck p ist keine unabhängige Variable, sondern folgt bei konstante Dichte aus der Poissongleichung Tafel Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 4
5 Lösung der Navier-Stokes Gleichungen Beispiel für 2D Strömung! Orthogonales, äquidistantes Gitter! zeitlich: Euler implizit! räumlich: CDS! Integration: Mittelpunktsregel Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 5
6 Lösung der Navier-Stokes Gleichungen zeitlicher Term: Integration + Euler implizit konvektiver Term: Linearisierung durch Picard-Iteration (Massenstrom wird vom alten Zeitschritt verwendet) die Aktualisierung der Flüsse hinkt einen Iterationsschritt hinterher Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 6
7 Lösung der Navier-Stokes Gleichungen Reibungsterm: x-impulsgleichung: Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 7
8 Lösung der Navier-Stokes Gleichungen Druck-Term: x-impulsgleichung: Zentrale Diskretisierung: p w p e = p W + p P 2 p P + p E 2 = p W p E 2! Druck wird effektiv auf einem gröberen Gitter berechnet! am Punkt P wird die Geschwindigkeit und der zugehörige Druck entkoppelt! oszillierendes Druckfeld kann in der Simulation entstehen! Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 8
9 Lösung der Navier-Stokes Gleichungen! Druck-Poisson-Gleichung! Kopplung evtl. aus der Kontinuitätsgleichung (Bsp. 1D)? -> Massenbilanz ist unabhängig von der Geschwindigkeit u P! weder aus der Impulsgleichung noch aus der Kontinuitätsgleichung kann eine Kopplung von Geschwindigkeit und Druck im Punkt P erzielt werden! Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 9
10 Druck-Geschwindigkeits-Kopplung Schachbrettoszillationen des Druckfeldes stellen eine Lösung der diskreten Gleichungen dar Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 10
11 Druck-Geschwindigkeits-Kopplung Bisherige Anordnung der Variablen Collocated Grid: gleiches KV für alle Variablen CFX verwendet ein collocated grid Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 11
12 Staggered Grid! Harlow & Welsh (1965)! Variablen werden in unterschiedlichen Kontrollvolumina diskretisiert! die Variablen werden gespeichert wo sie benötigt werden Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 12
13 Staggered Grid Druck-KV x-impuls-kv y-impuls-kv Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 13
14 Druck-Poisson-Gleichung Zentrales Schema für gemeinsames Gitter (collocated grid) WW NN P EE SS Zentrales Schema für versetztes Gitter (staggered grid) N W P S E Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 14
15 Staggered Grid! Harlow & Welsh (1965)! Variablen werden in unterschiedlichen Kontrollvolumina diskretisiert! die Variablen werden gespeichert wo sie benötigt werden! verschiedene Terme der Impulsgleichungen können ohne Interpolation gelöst werden, z.b. ist der Druck an den KV-Grenzen direkt verfügbar -> starke Kopplung zwischen Druck und Geschwindigkeitsfeld -> keine Oszillationen des Druckfeldes! schwierig zu verwenden bei komplexen Geometrien Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 15
16 Rhie & Chow Interpolation! Rhie & Chow (1983)! Problem: Werden Druck- und Geschwindigkeitsfelder auf einem gemeinsamen Gitter durch zentrale Interpolation (CDS) berechnet, so werden unphysikalisch oszillierende Druckfelder weder in der IGL noch in der KGL detektiert.! Lösung: Die Druck-Geschwindigkeitskopplung kann durch die Rhie & Chow Interpolation wiederhergestellt werden» Spezielle Interpolationsvorschrift für die Diskretisierung der Kontinuitätsgleichung auf nicht-versetzten Gittern.» Einbeziehung des Druckgradienten in die Berechnung der Geschwindigkeiten an den finite-volumen Oberflächen (u e,u w,v n,v s ) bei der Auswertung des Quellterms der Druck-Poisson-Gleichung. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 16
17 Rhie & Chow Interpolation! Bsp.:» 1D Kontinuitätsgleichung» wird diskretisiert als» und damit effektiv modifiziert zu! Der zusätzliche Term detektiert Oszillationen. Man kann zeigen dass er dissipativ ist und glättend wirkt.! Nachteil: die Ordnung des Verfahrens sinkt. Rhie & Chow-Interpolation wird in CFX verwendet Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 17
18 Lösung linearer Gleichungssysteme
19 Lösung linearer Gleichungssysteme! Lineares Gleichungssystems mit der formalen Lösung A - Koeffizienten Matrix φ Lösungsvektor b - Quellterm rechte Seite! Man unterscheidet direkte und iterative Lösungsverfahren. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 19
20 Lösung linearer Gleichungssysteme Direkte Verfahren! invertieren die Matrix A und liefern die exakte Lösung nach der Vorschrift! Das eigentliche Problem besteht in der schieren Größe der Inversen Koeffizientenmatrix A -1» Bei N Gitterpunkten haben A und A -1 O(N 2 ) Elemente.» A ist typischerweise dünn mit O(N) Elementen besetzt.» Die Inverse A -1 ist aber dicht besetzt -> Speicherbedarf. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 20
21 Direkte Lösungsverfahren Gauß-Elimination! multiplizieren der ersten Zeile mit A 21 / A 11 und subtrahieren von der zweiten Zeile usw. obere Dreiecksmatrix! letzte Zeile enthält nur eine Variable Rücksubstitution! Ohne Ausnutzung der dünnen Besetzung von A -> O(N 3 ) Operationen Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 21
22 Direkte Lösungsverfahren LU-Zerlegung! Matrix A kann in 2 Matrizen (L und U) zerlegt werden! Gleichungssystem wird in 2 Systeme aufgeteilt» Lösung von (b) und anschließend (a)! Vorteil der LU-Zerlegung: kann ohne Kenntnis von b erfolgen! Nachteil: L und U sind voll besetzt auch wenn A weitgehend unbesetzt ist Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 22
23 Direkte Verfahren Iterative Lösungsverfahren! sehr hoher Aufwand bei direkten Lösungsverfahren! keine Notwendigkeit das Gleichungssystem exakt zu lösen, denn Diskretisierungsfehler sind deutlich größer als die Computer- Genauigkeit Iterative Verfahren! Zerlegung von A in einen leicht zu invertierenden Anteil N und einen schwer zu invertierenden Anteil P A = N P! Lineares Gleichungssystem wird äquivalent umgeformt! Iterationsschema N φ = P φ + b φ n +1 = N 1 ( P φ n + b) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 23
24 Iterative Verfahren Iterative Lösungsverfahren! Zerlegung von A in einen leicht zu invertierenden Anteil N und einen schwer zu invertierenden Anteil P! Lineares Gleichungssystem wird äquivalent umgeformt A = N P N φ = P φ + b! Iterationsschema φ n +1 = N 1 ( P φ n + b)! Alternatives Iterationsschema, günstiger bezüglich Computer- Genauigkeit Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 24
25 Iterative Lösungsverfahren! Wichtige Definitionen:» Residuum» Fehler! Beziehung Residuum <-> Fehler R n = A φ n b R n = A ( φ n φ) R n = A ε n 25 Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation
26 ! Residuum in CFX Iterative Lösungsverfahren Konvergenzverlauf Out-File RMS(R n )ʹ = 1 N N i=1 (R i n ) 2, mit N = Anzahl der Elemente Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 26
27 Iterative Lösungsverfahren! Typischer Konvergenzverlauf Iterationsschritt Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 27
28 Iterative Lösungsverfahren! Iterationsmatrix! Abnahme des Fehlers! Notwendig und hinreichend für Konvergenz ist dass der Spektralradius von G (entspricht maximalem Eigenwertbetrag) kleiner als 1 ist.! Je kleiner der Spektralradius, desto besser.! vgl. asymptotische Stabilität Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 28
29 Iterative Lösungsverfahren Jacobi-Verfahren! Zerlegung von A» Diagonalelemente in N» Rest in P! Spektralradius der Iterationsmatrix für Poisson-Gleichung auf homogenem NxM Gitter Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 29
30 Iterative Lösungsverfahren Gauß-Seidel-Verfahren! Zerlegung von A» Diagonalelemente in N» untere Nebendiagonalen formal in N aber nicht invertiert, sondern mit bereits berechneten φ n+1 multipliziert.» Obere Nebendiagonalen in P -> mit φ n multipliziert.! Spektralradius der Iterationsmatrix für Poisson-Gleichung auf homogenem NxM Gitter! Deutlich zu Verbessern mit sukzessiver Überrelaxation (SOR). Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 30
31 ILU (Incomplete LU-Factorisation) Vollständige LU-Zerlegung: Unvollständige LU-Zerlegung (ILU):! die Matrix A wird näherungsweise in das Produkt einer unteren L und einer oberen Dreiecksmatrix U zerlegt! bei ILU werden z.b. nur diejenigen Matrixelemente neu berechnet, die in A beleget sind (oder nur die Hauptdiagonale wie in CFX)! es werden keine Zwischenräume mit neuen Elementen aufgefüllt Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 31
32 ILU (Incomplete LU-Factorisation)! vollständige LU-Faktorisierung erzeugt voll besetzte Matrizen Speicherungsproblem! ILU verändert nur die bereits besetzten Elemente effiziente Speicherung A L U 1 1 Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 32
33 CFX! ANSYS-CFX : Gekoppelter ILU Solver für u,v,w, und p A Δφ R! hoher Speicheraufwand, hoher Aufwand pro Iteration Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 33
34 AMG (Algebraic Multigrid)! Beobachtung: Iterative Solver reduzieren Fehler effizient, deren Wellenlänge in der Größenordnung der Gitterweite liegt!! Fehler mit kleiner Wellenlänge werden sehr schnell reduziert, Fehler mit größeren Wellenlängen benötigen extrem viele Iterationen.! Idee: Konvergenzbeschleunigung durch Mehrgittertechnik» Gitter an Wellenlänge des Fehlers anpassen.» frühe Iterationen auf dem feinen Gitter und nachfolgende Iterationen auf einem gröberen Gitter. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 34
35 AMG (Algebraic Multigrid)! durch die Übertragung des Lösungsprozesses auf gröbere Gitter sehen die Fehler relativ zur Gitterweite dort hochfrequenter aus und man erreicht eine effektive Reduktion der langwelligen Fehlerkomponenten.! Aufgrund der geringen Anzahl an Gitterpunkten ist der zusätzliche Aufwand für die Berechnungen auf gröberen Gittern relativ gering. FEHLER l l+1 l+2 l+3 Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 35
36 AMG (Algebraic Multigrid) Informationsaustausch zwischen den Gittern:! fein grob := Restriktion! grob fein := Prolongation Verfahren: 1. Iterationen auf dem feinen Gitter 2. Berechnung des Residuums 3. Übertragen des Residuums auf das grobe Gitter 4. Iterationen der Korrekturgleichung auf dem groben Gitter 5. Interpolation der Korrektur auf das feine Gitter 6. Update der Lösung auf dem feinen Gitter 7. Wiederholung der Prozedur bis das geforderte Residuum erreicht ist Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 36
37 AMG (Algebraic Multigrid)! zum Durchlaufen der verschiedenen Gitterebenen existieren verschiedene Strategien, am gebräuchlichsten sind V- und W- Zyklen: Feines Gitter Grobes Gitter! Multigrid-Ansätze:» Geometric-Multigrid Vergröberung basierend auf Geometrie und Netz» Algebraic-Multigrid Vergröberung basierend auf der Koeffizienten-Matrix Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 37
38 AMG (Algebraic Multigrid)! Algebraic Multigrid: Größe der Koeffizienten ist Maß für die Vergröberung des Gitters! Knoten mit großen Koeffizienten werden zusammengefasst, damit entstehen größere Kontrollvolumen implizit / automatisch 1 A 12 A A 23 A 12 =1.0 A 13 =1.1 A 23 =1.2 1 A 12 +A ! die diskreten Gleichungen (Koeffizienten) für das grobe Netz werden durch das Aufsummieren der Feingitter-Gleichungen (Koeffizienten) erhalten.! die von Geometrie und Topologie abhängige Diskretisierung der nichtlinearen Gleichungen wird nur einmal auf dem feinsten Gitter durchgeführt. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 38
39 AMG (Algebraic Multigrid)! die Form der Kontrollvolumen auf dem groben Gitter ist sehr unregelmäßig trotz äquidistantem Feingitter Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 39
40 Effizienz Moderne Algorithmen können die benötigte Rechenzeit um mehrere Größenordnungen verringern. In CFX ist ein Multigrid Verfahren zur Lösung linearer Gleichungen implementiert! Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 40
Angewandte Strömungssimulation
ngewandte Strömungssimulation 8. Vorlesung Stefan Hickel Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung Mathematische Modellierung Numerische Modellierung Lösung uswertung Parameter und Kennzahlen
Angewandte Strömungssimulation
Angewandte Strömungssimulation 7. Vorlesung Stefan Hickel Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung Mathematische Modellierung Numerische Modellierung Lösung Auswertung Parameter und Kennzahlen
Simulationstechnik V
Simulationstechnik V Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen Numerische Simulation von Strömungsvorgängen B. Binninger Institut für Technische Verbrennung Templergraben 64 6. Teil Die Berechnung des Geschwindigkeitsfeldes
38 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme
38 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme 38.1 Motivation Viele praktische Probleme führen auf sehr große lineare Gleichungssysteme, bei denen die Systemmatrix dünn besetzt ist, d. h. nur wenige
Simulationstechnik V
Simulationstechnik V Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen Numerische Simulation von Strömungsvorgängen B. Binninger Institut für Technische Verbrennung Templergraben 64 4. Teil Finite-Volumen-Methode
Entwicklung von p-mehrgitter-verfahren für turbulente Strömungen
Entwicklung von p-mehrgitter-verfahren für turbulente Strömungen Institut für Aerodynamik und Strömungstechnik DLR 10.11.2011 1 / 24 Übersicht Motivation DG-Verfahren Gleichungen p-mehrgitter Voraussetzungen
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 4. Vorlesung 170 004 Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas Montanuniversität Leoben 17. März 2016 Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung: Normen, Jacobi-Matrix,
Vorkonditionierer. diskrete stationäre Eulergleichungen
Übersicht Bernhard Pollul,, RWTH Templergraben 55, 52056, E-mail: [email protected] Vorkonditionierer für diskrete stationäre Eulergleichungen 1/13 1., Teilprojekt B4 2. Vorkonditionierung 3.
III. Iterative Löser. III.1 Direkte Löser und ihre Nachteile. III.2 Klassische lineare Iterationsverfahren
III. Iterative Löser III.1 Direkte Löser und ihre Nachteile III.2 Klassische lineare Iterationsverfahren Typeset by FoilTEX 1 Erinnerung: Lineares Gleichungssystem bei FDM Diskretisierung einer linearen
Lineare Gleichungssysteme Hierarchische Matrizen
Kompaktkurs Lineare Gleichungssysteme Hierarchische Matrizen M. Bebendorf, O. Steinbach O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs 24. 27.4.26 / 6 Numerische Simulation stationäre und instationäre
Effiziente Diskretisierungs- und Lösungstechniken für die Lattice-Boltzmann Equation auf unstrukturierten Gittern
Effiziente Diskretisierungs- und Lösungstechniken für die Lattice-Boltzmann Equation auf unstrukturierten Gittern Thomas Hübner, Stefan Turek ([email protected], [email protected]) LS
Simulationstechnik V
Simulationstechnik V Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen Numerische Simulation von Strömungsvorgängen B. Binninger Institut für Technische Verbrennung Templergraben 64 7. Teil Die Impulsgleichungen
Mehrgitter-Verfahren für DG Finite-Elemente-Diskretisierungen von turbulenten Strömungen
www.dlr.de Folie 1 > STAB Workshop, 12.11.2013 > Marcel Wallraff, Tobias Leicht 12.11.2013 Mehrgitter-Verfahren für DG Finite-Elemente-Diskretisierungen von turbulenten Strömungen Marcel Wallraff, Tobias
Angewandte Strömungssimulation
Angewandte Strömungssimulation 6. Vorlesung Stefan Hickel Finite - Volumen - Methode Finite - Volumen - Methode! Das Rechengebiet wird in nicht überlappende Bereiche (= finite Volumina) unterteilt.! Jedem
Finite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers)
Finite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers) Alfred Schmidt Übersicht: Partielle Differentialgleichungen, Approximation der Lösung, Finite Elemente, lineare und höhere Ansatzfunktionen, Dünn
Numerische Lineare Algebra
Numerische Lineare Algebra Vorlesung 11 Prof. Dr. Klaus Höllig Institut für Mathematischen Methoden in den Ingenieurwissenschaften, Numerik und Geometrische Modellierung SS 2010 Prof. Dr. Klaus Höllig
Finite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers) Alfred Schmidt
Finite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers) Alfred Schmidt Übersicht Partielle Differentialgleichungen, Approximation der Lösung Finite Elemente, lineare und höhere Ansatzfunktionen Dünn
Institut für Numerische Simulation der Universität Bonn Prof. Dr. Mario Bebendorf
Institut für Numerische Simulation der Universität Bonn Prof. Dr. Mario Bebendorf Praktikum im Sommersemester 2012 Programmierpraktikum numerische Algorithmen (P2E1) (Numerische Lösung der Wärmeleitungsgleichung)
Angewandte Strömungssimulation
Angewandte Strömungssimulation 6. Vorlesung Stefan Hickel Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung Mathematische Modellierung Numerische Modellierung Lösung Auswertung Parameter und Kennzahlen
III. Iterative Löser. III.1 Direkte Löser und ihre Nachteile. III.2 Klassische Iterationsverfahren
III. Iterative Löser III.1 Direkte Löser und ihre Nachteile III.2 Klassische Iterationsverfahren Kapitel III (0) 1 Erinnerung: Lineares Gleichungssystem bei FDM Diskretisierung einer linearen PDGL 2. Ordnung
Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik linearer Gleichungssysteme
Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik linearer Gleichungssysteme Andreas Meister Universität Kassel, AG Analysis und Angewandte Mathematik Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 1
3. Lineare Gleichungssysteme
3. Lineare Gleichungssysteme 1 3.1. Problemstellung 2 3.2. Direkte Verfahren 3 3.3. Normen und Fehleranalyse 4 3.4. Iterative Verfahren 5 3.5. Konvergenz von linearen Iterationsverfahren 6 3.6. Gradienten-Verfahren
VF-2: 2. Es seien x = 1 3 und y = π Bei der Berechnung von sin(x) sin(y) in M(10, 12, 99, 99) tritt. Auslöschung auf.
IGPM RWTH Aachen Verständnisfragen-Teil NumaMB H11 (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben). Es müssen mindestens zwei
Beginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011)
M. Sc. Frank Gimbel Beginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011) 1 Motivation Ziel ist es, ein gegebenes lineares Gleichungssystem der Form Ax = b (1) mit x, b R n und A R n n zu lösen.
III. Iterative Löser. III.1 Direkte Löser und ihre Nachteile. III.2 Klassische Iterationsverfahren. III.3 GMRES und CG-Verfahren
III. Iterative Löser III.1 Direkte Löser und ihre Nachteile III.2 Klassische Iterationsverfahren III.3 GMRES und CG-Verfahren Kapitel III (0) 1 Erinnerung: Lineares Gleichungssystem bei FDM Diskretisierung
1 Einführung Gleichungen und 2 Unbekannte Gleichungen und 3 Unbekannte... 4
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 3 Universität Basel Mathematik 2 Dr Thomas Zehrt Lineare Gleichungssysteme Inhaltsverzeichnis Einführung 2 2 Gleichungen und 2 Unbekannte 2 2 3 Gleichungen und 3 Unbekannte
KAPITEL 1. Einleitung
KAPITEL 1 Einleitung Wir beschäftigen uns in dieser Vorlesung mit Verfahren aus der Numerischen linearen Algebra und insbesondere dem sogenannten Mehrgitterverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Iterative Verfahren, Splittingmethoden
Iterative Verfahren, Splittingmethoden Theodor Müller 19. April 2005 Sei ein lineares Gleichungssystem der Form Ax = b b C n, A C n n ( ) gegeben. Es sind direkte Verfahren bekannt, die ein solches Gleichungssystem
Modellieren in der Angewandten Geologie II. Sebastian Bauer
Modellieren in der Angewandten Geologie II Geohydromodellierung Institut für Geowissenschaften Christian-Albrechts-Universität zu Kiel CAU 3-1 Die Finite Elemente Method (FEM) ist eine sehr allgemeine
Matrizenoperationen mit FORTRAN
Kapitel 2 Matrizenoperationen mit FORTRAN 21 Grundlagen Bei vielen Anwendungen müssen große zusammenhängende Datenmengen gespeichert und verarbeitet werden Deshalb ist es sinnvoll, diese Daten nicht als
Iterative Löser: Einführung
Iterative Löser: Einführung Im vergangenen Semester wurden folgende Löser für LGS betrachtet: LU-Zerlegung (mit und ohne Pivotisierung) QR-Zerlegung (Householder und Givens) Lösung beliebiger, regulärer,
Joel H. Ferziger. Milovan Petie. Numerische. Stromungsmechanik. ~ Springer
Joel H. Ferziger. Milovan Petie Numerische Stromungsmechanik ~ Springer Vorwort V 1. Physikalische Grundlagen der St.rdrnungen................ 1 1.1 Einftihrung :::... 1 1.2 Erhaltungsprinzipien... 3 1.3
u(x, 0) = g(x) : 0 x 1 u(0, t) = u(1, t) = 0 : 0 t T
8.1 Die Methode der Finiten Differenzen Wir beschränken uns auf eindimensionale Probleme und die folgenden Anfangs und Anfangsrandwertprobleme 1) Cauchy Probleme für skalare Erhaltungsgleichungen, also
Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme
1. Direkte Verfahren Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme Grundbaustein vieler numerischer Verfahren zur Lösung von partiellen oder gewöhnlicher Differentialgleichungen und von nichtlinearen Optimierungsproblemen
Lineare Gleichungssysteme: direkte Verfahren
Sechste Vorlesung, 24. April 2008, Inhalt Lineare Gleichungssysteme: direkte Verfahren Dreiecksmatrizen Gauß-Elimination LR-Zerlegung Anwendungen: Determinante, Inverse 1 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
2. Lineare Gleichungssysteme: direkte und iterative Lösungsverfahren
2. Lineare Gleichungssysteme: direkte und iterative Lösungsverfahren Problem (P2): Löse Ax = b, A R n und b R. 2.1 Satz: Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) Ax = b ist für jedes b eindeutig lösbar;
Einführung FEM 1D - Beispiel
p. 1/28 Einführung FEM 1D - Beispiel /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/4_fem_intro/deckblatt.tex Seite 1 von 28 p. 2/28 Inhaltsverzeichnis 1D Beispiel - Finite Elemente Methode 1. 1D Aufbau Geometrie
Angewandte Strömungssimulation
Angewandte Strömungssimulation 4. Vorlesung Stefan Hickel Gittergenerierung weiterführende Literatur: J.D. Anderson, Computational Fluid Dynamics Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung
Angewandte Strömungssimulation
Angewandte Strömungssimulation 9. Vorlesung Stefan Hickel Validierung und Fehlererkennung Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung Mathematische Modellierung Numerische Modellierung Lösung
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
RWTH Aachen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Multiple-Choice-Test NumaMB F08 (30 Punkte) Bei jeder MC-Aufgabe ist mindestens eine Aussage korrekt. Wird dennoch bei einer MC-Aufgabe keine
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
RWTH Aachen Verständnisfragen-Teil Institut für Geometrie und Praktische Mathematik (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben).
A2.3 Lineare Gleichungssysteme
A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen
4.6 Berechnung von Eigenwerten
4.6 Berechnung von Eigenwerten Neben der Festlegung auf den betragsgrößten Eigenwert hat die Potenzmethode den Nachteil sehr langsamer Konvergenz, falls die Eigenwerte nicht hinreichend separiert sind.
Inhaltsverzeichnis. 1 Einleitung... 1
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung................................................. 1 2 Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität...... 11 2.1 Kondition eines Problems................................
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Beispiel: Feder Masse System festes Ende Feder k 1 Masse m 1 k 2 m 2 k 3 m 3 k 4 festes Ende u 0 = 0 Federkraft y 1 Verschiebung u 1 y 2 u 2 y 3 u 3 y 4 u 4 = 0 Grundlagen der
Glättung durch iterative Verfahren
Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Glättung durch iterative Verfahren Vorlesung Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Numerische Methoden in der
Kapitel 5. Berechnung inkompressibler Strömungen. 5.1 Grundgleichungen in primitiven Variablen
4.3 Parabolische Gleichungen 120 121 [Moi01] P. Moin. Fundamentals of Engineering Numerical Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, Cambridge, 2001. [Sch99] M. Schäfer. Numerik im Maschinenbau.
5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Als zweite Hauptanwendung des Banachschen Fixpunktsatzes besprechen wir in diesem Kapitel die iterative Lösung linearer Gleichungssysteme. Die
Lösen der Matrizengleichung
Lösen der Matrizengleichung Oliver Deussen Lösungsverfahren K 1 letztes Kapitel: Berechnung der Formfaktoren F außerdem: B: zu berechnende Strahlung, E: gegebenes Eigenleuchten nun: Wie löst man K B =
Anordnungstechniken für konvektionsdominante Probleme im Ê 3. Dimensionsunabhängige Verfahren. Algorithmen für planare Graphen. Numerische Beispiele
Anordnungstechniken für konvektionsdominante Probleme im Ê 3 Inhalt: Einführung Dimensionsunabhängige Verfahren Algorithmen für planare Graphen Anordnungen im Ê 3 Numerische Beispiele 2 Einführung betrachtet
5 Numerische Mathematik
6 5 Numerische Mathematik Die Numerische Mathematik setzt sich aus mehreren Einzelmodulen zusammen Für alle Studierenden ist das Modul Numerische Mathematik I: Grundlagen verpflichtend In diesem Modul
Dominik Desmaretz Universität Trier
Dominik Desmaretz Universität Trier 25.11.2010 Inhaltsverzeichnis 1. Kurze Wiederholung/Einleitung 2. Die Lax-Friedrichs Methode 3. Die Richtmyer Zwei-Schritt Lax-Wendroff Methode 4. Upwind Methoden 5.
1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung
1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung 1.1 Grundlagen 1.2 Euler-Vorwärts-Verfahren 1.3 Runge-Kutta-Verfahren 1.4 Stabilität 1.5 Euler-Rückwärts-Verfahren 1.6 Differenzialgleichungssysteme 5.1-1 1.1 Grundlagen
Spezielle Matrixformen
Definition B57 (Transposition) Eine einfache aber wichtige Operation auf Matrizen ist die Transposition, die aus einer (m n) Matrix A eine (n m) Matrix B = A T macht Hierbei gilt β i j = α j i, so daß
1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung
1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung 1.1 Grundlagen 1.2 Euler-Vorwärts-Verfahren 1.3 Runge-Kutta-Verfahren 1.4 Stabilität 1.5 Euler-Rückwärts-Verfahren 1.6 Differentialgleichungssysteme Prof. Dr. Wandinger
7. Iterative Lösung. linearer Gleichungssysteme
7. Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme 1 Grundlagen (1) Zur Erinnerung: Gesucht ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems a 0,0 x 0 +a 0,1 x 1 + a 0,n 1 x n 1 = b 0 a 1,0 x 0 +a 1,1 x 1 +
Rückwärts-Einsetzen. Bei einem linearen Gleichungssystem in oberer Dreiecksform, nacheinander bestimmt werden: r n,n x n = b n. = x n = b n /r n,n
Rückwärts-Einsetzen Bei einem linearen Gleichungssystem in oberer Dreiecksform, r 1,1 r 1,n x 1 b 1..... =., } 0 {{ r n,n } x n b n R mit det R = r 1,1 r n,n 0 können die Unbekannten x n,..., x 1 nacheinander
ODE-Solver. Inhalt. Einleitung. grundlegende Algorithmen. weiterführende Algorithmen
Martin Reinhardt angewandte Mathematik 8. Semester Matrikel: 50108 ODE-Solver 11. Mai 2011 Inhalt Einleitung grundlegende Algorithmen weiterführende Algorithmen Martin Reinhardt (TUBAF) 1 Orientierung
Berechnungsmethoden der Energie- und Verfahrenstechnik
Institute of Fluid Dynamics Berechnungsmethoden der Energie- und Verfahrenstechnik Prof. Dr. Leonhard Kleiser c L. Kleiser, ETH Zürich Transition zur Turbulenz in einem drahlbehafteten Freistrahl. S. Müller,
Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme
Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme Vorlesung Sommersemester 013 Humboldt-Universität zu Berlin Zeiten können noch nach Wunsch vereinbart werden! Kontakt: Dr. Rüdiger Müller Weierstraß-Institut
Simulationstechnik V
Simulationstechnik V Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen Numerische Simulation von Strömungsvorgängen B. Binninger Institut für Technische Verbrennung Templergraben 64 2. Teil 2-1 1) Welche Garantie
(d) das zu Grunde liegende Problem gut konditioniert ist.
Aufgabe 0: (6 Punkte) Bitte kreuzen Sie die richtige Lösung an. Es ist jeweils genau eine Antwort korrekt. Für jede richtige Antwort erhalten Sie einen Punkt, für jede falsche Antwort wird Ihnen ein Punkt
Bildverarbeitung: Kontinuierliche Energieminimierung. D. Schlesinger BV: () Kontinuierliche Energieminimierung 1 / 9
Bildverarbeitung: Kontinuierliche Energieminimierung D. Schlesinger BV: () Kontinuierliche Energieminimierung 1 / 9 Idee Statt zu sagen, wie die Lösung geändert werden muss (explizite Algorithmus, Diffusion),
VF-3: Es seien A R n n beliebig aber regulär, b R n und gesucht sei die Lösung x R n von A x = b.
NumaMB F14 Verständnisfragen-Teil (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben). Bewertung: Vier Fragen richtig beantwortet
Rechenaufwand der LR- und LDL T - Zerlegung
6. Großübung Rechenaufwand der LR- und LDL T - Zerlegung Rückwärtseinsetzen Der Algorithmus kann der Folie 3.0 entnommen werden. Dieser kann in die folgenden Rechenoperationen aufgesplittet werden: Für
Überlappende Verfahren nach der Schwarz-Methode
Überlappende Verfahren nach der Schwarz-Methode Institut für Numerische und Angewandte Mathematik 2 Überlappende Zerlegung Ω 1 Ω = Ω 1 Ω 2 Ω 1,2 := Ω 1 Ω 2 Γ 2 Ω 1,2 Γ 1 Γ 1 := Ω 1 Ω 2 Γ 2 := Ω 2 Ω 1 Ω
LR Zerlegung. Michael Sagraloff
LR Zerlegung Michael Sagraloff Beispiel eines linearen Gleichungssystems in der Ökonomie (Input-Output Analyse Wir nehmen an, dass es 3 Güter G, G, und G 3 gibt Dann entspricht der Eintrag a i,j der sogenannten
Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13
4. Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem ist ein System aus Gleichungen mit Unbekannten, die nur linear vorkommen. Dieses kann abkürzend auch in Matrizenschreibweise 1 notiert werden:
Inhaltsverzeichnis. 1 Einleitung... 1
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 1 2 Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität... 11 2.1 KonditioneinesProblems... 11 2.1.1 ElementareBeispiele... 12 2.1.2 Bemessen,Normen... 15 2.1.3 RelativeundAbsoluteKondition...
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
Hyperbolische Erhaltungsgleichungen und die Wellengleichung
Hyperbolische Erhaltungsgleichungen und die Wellengleichung Stefanie Günther Universität Trier 11.November 2010 Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 1/29 11.November 2010 1 / 29 Inhaltsverzeichnis
Simulationstechnik V
Simulationstechnik V Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen Numerische Simulation von Strömungsvorgängen B. Binninger Institut für Technische Verbrennung Templergraben 64 7. Teil Die Impulsgleichungen