Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik linearer Gleichungssysteme
|
|
|
- Rolf Bösch
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik linearer Gleichungssysteme Andreas Meister Universität Kassel, AG Analysis und Angewandte Mathematik Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 1 / 74
2 Mehrgitterverfahren SOR-Verfahren Abbildung: Spektralradius in Abhängigkeit vom Relaxationsparameter Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 2 / 74
3 Mehrgitterverfahren SOR-Verfahren SOR-Gauß-Seidel-Verfahren m x m,1 x m,2 ε m := x m A 1 b ε m/ε m e e e e e e e e e e e e e e e-02 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 3 / 74
4 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Eigenwertverteilung des Jacobi-Verfahrens (ω = 1 2 ) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 4 / 74
5 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Eigenwertverteilung des Jacobi-Relaxationsverfahrens Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 5 / 74
6 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Dämpfung der Fourier-Moden beim gedämpften Jacobi-Verfahren Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 6 / 74
7 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Entwicklung des Fehlers beim gedämpften Jacobi-Verfahren Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 7 / 74
8 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Wirkung der Injektion (Mitte) und der linearen Restriktion (rechts) auf die Moden (links) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 8 / 74
9 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Wirkung der Injektion (Mitte) und der linearen Restriktion (rechts) auf die Moden (links) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 9 / 74
10 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Wirkung der Injektion (Mitte) und der linearen Restriktion (rechts) auf die Moden (links) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 10 / 74
11 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Wirkung der Injektion (Mitte) und der linearen Restriktion (rechts) auf die Moden (links) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 11 / 74
12 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Wirkung der Injektion (Mitte) und der linearen Restriktion (rechts) auf die Moden (links) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 12 / 74
13 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Darstellung der skalierten Mode ẽ 3,1 (links), der skalierten Mode ẽ 2,1 unter der linearen Prolongation (mittig), sowie der Differenz f = ẽ 3,1 P 3 2ẽ2,1 (rechts) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 13 / 74
14 Mehrgitterverfahren Definition 1.8: (Buch Definition 4.50) Sei u l j eine Näherungslösung der Gleichung A l u l = f l, dann heißt die Methode = φ GGK l (u l j, f l) mit φ GGK l u l,neu j Grobgitterkorrekturverfahren. ( u l j, f l) = u l j P l l 1 A 1 l 1 Rl 1 l (A l u l j f l) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 14 / 74
15 Mehrgitterverfahren Lemma 1.9: (Buch Lemma 4.51) Die Grobgitterkorrekturmethode φ GGK l Iterationsverfahren mit stellt ein lineares konsistentes M GGK l = I P l l 1 A 1 l 1 Rl 1 l A l und dar. N GGK l = P l l 1 A 1 l 1 Rl 1 l Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 15 / 74
16 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Darstellung der Fourier-Moden e 3,l, l = 1, 4 (links) sowie die Bilder der zugehörigen Grobgitterkorrektur gemäß Ψ GGK l (rechts) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 16 / 74
17 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Darstellung der Fourier-Moden e 3,l, l = 8, 12 (links) sowie die Bilder der zugehörigen Grobgitterkorrektur gemäß Ψ GGK l (rechts) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 17 / 74
18 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Darstellung der Fourier-Mode e 3,l, l = 15 (links) sowie das Bild der zugehörigen Grobgitterkorrektur gemäß Ψ GGK l (rechts) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 18 / 74
19 Mehrgitterverfahren Lemma 1.13: (Buch Lemma 4.55) Sind φ, ψ zwei lineare Iterationsverfahren mit den Iterationsmatrizen M φ und M ψ, dann gilt: 1 Sind φ und ψ konsistent, dann ist auch die Produktiteration φ ψ konsistent. 2 Die Iterationsmatrix der Produktiteration φ ψ hat die Form M φ ψ = M φ M ψ. 3 Die beiden Produktiterationen φ ψ und ψ φ besitzen die gleichen Konvergenzeigenschaften im Sinne von ρ(m φ ψ ) = ρ(m ψ φ ). Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 19 / 74
20 Mehrgitterverfahren Satz 1.14: (Buch Satz 4.56) Sei φ l ein konsistentes Iterationsverfahren mit Iterationsmatrix M l, dann ist das Zweigitteriterationsverfahren φ ZGM(ν 1,ν 2 ) l konsistent mit der Iterationsmatrix ( ) M ZGM(ν 1,ν 2 ) l = M ν 2 l I P l l 1 A 1 l 1 Rl 1 l A l M ν 1 l. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 20 / 74
21 Algorithmus - Zweigitterverfahren φ ZGM(ν 1,ν 2 ) l Nassi-Diagramm (Buch Seite 116) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 21 / 74
22 Zweigitterverfahren Modellproblem Abbildung: Entwicklung des Fehlers beim Zweigitterverfahren auf Ω 3 mit zwei Glättungsschritten und einer anschließenden Grobgitterkorrektur Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 22 / 74
23 Algorithmus - Mehrgitterverfahren φ MGM(ν 1,ν 2 ) l Nassi-Diagramm (Buch Seite 117) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 23 / 74
24 Mehrgitterverfahren V-Zyklus γ = 1, l = 3 (Buch Seite 138) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 24 / 74
25 Mehrgitterverfahren W-Zyklus γ = 2, l = 3 (Buch Seite 138) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 25 / 74
26 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Entwicklung der Lösung (links) und des Fehlers (rechts) beim Mehrgitterverfahren mit linearer Restriktion und Prolongation mittels V-Zyklus (oben) und W-Zyklus (unten) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 26 / 74
27 Mehrgitterverfahren Rechenzeitvergleich Rechenzeitvergleich Gitter Anzahl der Mehrgitterverfahren Klassisches Unbekannten Jacobi-Verfahren Ω % 117 % Ω % 838 % Ω % 9255 % Ω % % Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 27 / 74
28 Vollständiges Mehrgitterverfahren V-Zyklus γ = 2, l = 2 (Buch Seite 119) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 28 / 74
29 Mehrgitterverfahren Modellproblem Abbildung: Entwicklung der Lösung (links) und des Fehlers (rechts) beim vollständigen Mehrgitterverfahren mit linearer Restriktion und Prolongation mittels V-Zyklus (oben) und W-Zyklus (unten) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 29 / 74
30 Projektionsmethoden Definition 2.1: (Buch Definition 4.58) Eine Projektionsmethode zur Lösung der Gleichung (2.1) ist ein Verfahren zur Berechnung von Näherungslösungen x m x 0 + K m unter Berücksichtigung der Bedingung (b Ax m ) L m, wobei x 0 R n beliebig ist und K m sowie L m m-dimensionale Unterräume des R n repräsentieren. Gilt K m = L m, so sprechen wir von einer orthogonalen Projektionsmethode. Für K m L m liegt sprechen wir von einer schiefen Projektionsmethode. Der Vektor r m = b Ax m heißt Residuenvektor. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 30 / 74
31 Krylov-Unterraum-Verfahren Definition 2.2: (Buch Definition 4.60) Eine Krylov-Unterraum-Methode ist eine Projektionsmethode, bei der K m den Krylov-Unterraum } K m = K m (A, r 0 ) = span {r 0, Ar 0,..., A m 1 r 0 mit r 0 = b Ax 0 darstellt. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 31 / 74
32 Projektionsverfahren Verfahren des steilsten Abstiegs (Buch Seite 149) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 32 / 74
33 Projektionsverfahren Beispiel 2.6: (Buch Seite 152) Abbildung: Konvergenzverlauf Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 33 / 74
34 Projektionsverfahren Beispiel 2.6: (Buch Seite 152) Abbildung: Höhenlinien zu F (x) = 1 2 (Ax, x) (b, x) = x x 2 2 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 34 / 74
35 Projektionsverfahren Verfahren der konjugierten Richtungen (Buch Seite 156) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 35 / 74
36 Projektionsverfahren Zusammenhänge (Buch Seite 157) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 36 / 74
37 Projektionsverfahren Vorläufiges CG-Verfahren (Buch Seite 157) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 37 / 74
38 Projektionsmethoden Satz 2.14: (Buch Satz 4.75) Vorausgesetzt, das vorläufige CG-Verfahren bricht nicht vor der Berechnung von p k für k > 0 ab, dann gilt (a) p m ist konjugiert zu allen p j mit 0 j < m k, (b) U m+1 := span {p 0,..., p m } = span {r 0,..., r m } mit dim U m+1 = m + 1 für m = 0,..., k 1, (c) r m U m für m = 1,..., k, (d) x k = A 1 b r k = 0 p k = 0, (e) U m+1 = span { r 0,..., A m r 0 } für m = 0,..., k 1, (f) r m ist konjugiert zu allen p j mit 0 j < m 1 < k 1. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 38 / 74
39 Projektionsverfahren CG-Verfahren (Buch Seite 160) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 39 / 74
40 Projektionsverfahren Beispiel 2.15(a): (Buch Beispiel 4.76) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 40 / 74
41 Projektionsverfahren Beispiel 2.15: (Buch Beispiel 4.77) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 41 / 74
42 Projektionsmethoden Satz 2.17: (Buch Satz 4.78) Seien A R n n symmetrisch, positiv definit und {x m } m N0 die durch das Verfahren der konjugierten Gradienten erzeugte Folge von Näherungslösungen. Dann erfüllt der zu x m korrespondierende Fehlervektor e m = x m A 1 b die Ungleichung e m A 2 ( cond2 (A) 1 cond2 (A) + 1) m e 0 A. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 42 / 74
43 Krylov-Unterraum-Verfahren Arnoldi-Algorithmus (Buch Seite 166) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 43 / 74
44 Krylov-Unterraum-Verfahren Satz 2.18: (Buch Satz 4.79) Vorausgesetzt, der Arnoldi-Algorithmus bricht nicht vor der Berechnung von v m 0 ab, dann stellt V j = {v 1,..., v j } eine Orthonormalbasis des j-ten Krylov-Unterraums K j für j = 1,..., m dar. Satz 2.19: (Buch Satz 4.80) Vorausgesetzt, der Arnoldi-Algorithmus bricht nicht vor der Berechnung von v m 0 ab, dann erhalten wir unter Verwendung von V m = (v 1... v m ) R n m mit H m := V T mav m R m m eine obere Hessenbergmatrix, für die { hij aus dem Arnoldi-Algorithmus für i j + 1, (H m ) ij = 0 für i > j + 1 gilt. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 44 / 74
45 Krylov-Unterraum-Verfahren Satz 2.20: (Buch Satz 4.81) Vorausgesetzt, der Arnoldi-Algorithmus bricht nicht vor der Berechnung von v m+1 ab, dann gilt wobei H m R (m+1) m durch ( H m = gegeben ist. AV m = V m+1 H m, H m h m+1,m ) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 45 / 74
46 Krylov-Unterraum-Verfahren FOM (Buch Seite 168) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 46 / 74
47 Krylov-Unterraum-Verfahren Restarted FOM (Buch Seite 169) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 47 / 74
48 Krylov-Unterraum-Verfahren Lemma 2.23: (Buch Lemma 4.88) Es sei vorausgesetzt, dass der Arnoldi-Algorithmus nicht vor der Berechnung von v m+1 abbricht und die Matrizen G i+1,i R (m+1) (m+1) für i = 1,..., m durch G i+1,i := c i s i s i c i gegeben sind, wobei c i und s i gemäß c i := a b und s i := a2 + b 2 a2 + b 2 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 48 / 74
49 Krylov-Unterraum-Verfahren Lemma 2.23: (Buch Lemma 4.88) mit a := ( G i,i 1... G 3,2 G 2,1 H m )i,i und b := ( G i,i 1... G 3,2 G 2,1 H m )i+1,i definiert sind. Dann stellt Q m := G m+1,m... G 2,1 eine orthogonale Matrix dar, für die Q m H m = R m mit r r 1m ( ) R m = Rm. =: R (m+1) m r mm gilt und R m regulär ist. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 49 / 74
50 Krylov-Unterraum-Verfahren GMRES (Buch Seite 186) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 50 / 74
51 Krylov-Unterraum-Verfahren Satz 2.24: (Buch Satz 4.89) Seien A R n n eine reguläre Matrix sowie h j+1,j und w j durch den Arnoldi-Algorithmus gegeben und gelte j < n. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1 Für die Folge der Krylov-Unterräume gilt K 1 K 2... K j = K j+1 = Das GMRES-Verfahren liefert im j-ten Schritt die exakte Lösung. 3 w j = 0 R n. 4 h j+1,j = 0. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 51 / 74
52 Krylov-Unterraum-Verfahren Restarted GMRES (Buch Seite 190) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 52 / 74
53 Krylov-Unterraum-Verfahren Satz 2.25: (Buch Satz 4.90) Sei A R n n positiv definit und r m der im GMRES-Verfahren ermittelte m-te Residuenvektor, dann konvergiert das GMRES-Verfahren, und es gilt ( ) λ 2 A T m +A 2 min 2 r m 2 1 ) r 0 2. λ max (A T A Korollar 2.26: (Buch Korollar 4.91) Sei A R n n positiv definit und symmetrisch. Zudem sei r m der im GMRES-Verfahren ermittelte m-te Residuenvektor, dann konvergiert das GMRES-Verfahren und es gilt ( ) cond 2 m 2 r m 2 (A) 1 2 cond 2 2 (A) r 0 2. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 53 / 74
54 Krylov-Unterraum-Verfahren Satz 2.27: (Buch Satz 4.92) Sei A R n n positiv definit, dann konvergiert das GMRES(m)-Verfahren für m 1. Satz 2.28: (Buch Satz 4.93) Sei A R n n regulär und symmetrisch, dann konvergiert das GMRES(m)-Verfahren für m 2. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 54 / 74
55 Krylov-Unterraum-Verfahren Lanczos-Algorithmus (Buch Seite 171) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 55 / 74
56 Krylov-Unterraum-Verfahren D-Lanczos-Verfahren (Buch Seite 173) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 56 / 74
57 Krylov-Unterraum-Verfahren Definition 2.29: (Buch Definition 4.82) Seien v 1,..., v m, w 1,..., w m R n, dann heißen die beiden Mengen {v 1,..., v m } und {w 1,..., w m } bi-orthogonal, wenn ( v i, w j ) 2 = δ ijc ij mit c ij R\{0} für i, j = 1,..., m gilt. Im Fall c ii = 1 für i = 1,..., m heißen die Mengen bi-orthonormal. Lemma 2.30: (Buch Lemma 4.83) Seien die Mengen {v 1,..., v m } und {w 1,..., w m } bi-orthogonal, dann gilt dim span {v 1,..., v m } = m = dim span {w 1,..., w m } Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 57 / 74
58 Krylov-Unterraum-Verfahren Bi-Lanczos-Algorithmus (Buch Seite 175) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 58 / 74
59 Krylov-Unterraum-Verfahren Satz 2.31: (Buch Satz 4.84) Vorausgesetzt, der Bi-Lanczos-Algorithmus bricht nicht vor der Berechnung von w m 0 ab, dann stellen V j = { } v 1,..., v j und W j = { } w 1,..., w j eine Basis des Krylov-Unterraums Kj beziehungsweise Kj T für j = 1,..., m dar. Zudem erfüllen die Basisvektoren die Bi-Orthogonalitätsbedingung mit c ii = 1 für i = 1,..., m. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 59 / 74
60 Krylov-Unterraum-Verfahren Satz 2.32: (Buch Satz 4.85) Vorausgesetzt, der Bi-Lanczos-Algorithmus bricht nicht vor der Berechnung von w m 0 ab, dann seien V m = (v 1... v m ) R n m und W m = (w 1... w m ) R n m die aus den ermittelten Basisvektoren des K m und K T m gebildeten Matrizen. Desweiteren seien h ij die im Algorithmus auftretenden skalaren Größen, dann gelten die Gleichungen T m = W T mav m AV m = V m T m + h m+1,m v m+1 e T m A T W m = W m T T m + h m,m+1 w m+1 e T m mit e m = (0,..., 0, 1) T R m sowie der durch { hij für j 1 i j + 1, (T m ) ij := 0 sonst gegebenen Tridiagonalmatrix T m R m m und die Matrizen V m und W m besitzen maximalen Rang. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 60 / 74
61 Krylov-Unterraum-Verfahren Satz 2.33: (Buch Satz 4.94) Vorausgesetzt, der Bi-Lanczos-Algorithmus bricht nicht vor der Berechnung von v m 0 ab, und die in Satz 2.32 definierte Tridiagonalmatrix T m ist regulär, dann stellt x m = x 0 + V m T 1 m ( r 0 2 e 1 ) x 0 + K m mit e 1 = (1, 0,..., 0) T R m die eindeutig bestimmte Lösung der auf der Petrov-Galerkin-Bedingung b Ax m K T m basierenden Krylov-Unterraum-Methode dar. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 61 / 74
62 Krylov-Unterraum-Verfahren BiCG-Verfahren (Buch Seite 198) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 62 / 74
63 Krylov-Unterraum-Verfahren Lemma 2.34: (Buch Lemma 4.95) Vorausgesetzt, der BiCG-Algorithmus bricht nicht vor der Berechnung von p m ab, dann gilt für j = 0,..., m r j = p j = j+1 j+1 γ i v i, r j = γi w i, i=1 i=1 j+1 j+1 λ i v i, p j = λ i w i i=1 i=1 mit γ j+1, γj+1, λ j+1, λ j+1 0 und den aus dem Bi-Lanczos-Algorithmus resultierenden bi-orthonormalen Vektoren v 1,..., v j+1 und w 1,..., w j+1. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 63 / 74
64 Krylov-Unterraum-Verfahren Lemma 2.35: (Buch Lemma 4.96) Vorausgesetzt, der BiCG-Algorithmus bricht nicht vor der Berechnung von p m+1 ab, dann gilt ( r j, r ) i = 0 für i j m + 1, 2 ( Apj, p ) i = 0 für i j m + 1. Satz 2.36: (Buch Satz 4.97) 2 Unter der Voraussetzung, daß der BiCG-Algorithmus nicht vor der Berechnung von r m abbricht, stellt x m die Lösung des Problems mit x x 0 + K m dar. b Ax K T m Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 64 / 74
65 Krylov-Unterraum-Verfahren CGS-Verfahren (Buch Seite 204) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 65 / 74
66 Krylov-Unterraum-Verfahren BiCGSTAB-Verfahren (Buch Seite 208) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 66 / 74
67 Krylov-Unterraum-Verfahren Konvergenzverläufe (Buch Seite 223) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 67 / 74
68 Präkonditionierung Definition 3.2: (Buch Definition 5.9) Sei durch x j+1 = Mx j + Nb eine Splitting-Methode zur Lösung von Ax = b mit einer regulären Matrix N gegeben, dann heißt P = N der zur Splitting-Methode assoziierte Präkonditionierer. Splitting-Methode Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verf. SOR-Verfahren Symm. G.-S.-Verf. SSOR-Verfahren Assoziierter Präkonditionierer P Jac = D 1 P GS = (D + L) 1 P GS (ω) = ω (D + ωl) 1 P SGS = (D + R) 1 D (D + L) 1 P SGS (ω) = ω(2 ω) (D + ωr) 1 D (D + ωl) 1 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 68 / 74
69 Präkonditionierung Definition 3.3: (Buch Definition 5.10) Jede Menge M {(i, j) i, j {1,..., n}} heißt Matrixmuster im Raum R n n. Zu gegebenem Matrixmuster M heißt M S (j) := {i (i, j) M} das zu M gehörige j-te Spaltenmuster und M Z (j) := {i (j, i) M} das zu M gehörige j-te Zeilenmuster. Zu gegebener Matrix A R n n bezeichnet M A := { (i, j) a ij 0 } die Besetzungsstruktur von A. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 69 / 74
70 Präkonditionierung Definition 3.4: (Buch Definition 5.11) Sei A R n n. Die Zerlegung A = LU + F ( ) existiere unter den Bedingungen 1 u ii = 1 für i = 1,..., n, 2 l ij = u ij = 0, falls (i, j) M A, 3 (LU) ij = a ij, falls (i, j) M A, und es seien L = (l ij ) i,j=1,...,n und U = (u ij ) i,j=1,...,n eine reguläre linke untere beziehungsweise rechte obere Dreiecksmatrix, dann heißt ( ) unvollständige LU-Zerlegung (incomplete LU, ILU) der Matrix A zum Muster M A. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 70 / 74
71 Präkonditionierung Unvollständige LU-Zerlegung (Buch Seite 217) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 71 / 74
72 Präkonditionierung Definition 3.5: (Buch Definition 5.12) Es sei A = LU + F eine unvollständige LU-Zerlegung der Matrix A, dann ist P := U 1 L 1 der zugehörige ILU-Präkonditionierer. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 72 / 74
73 Präkonditionierung Definition 3.6: (Buch Definition 5.13) Sei A R n n symmetrisch und positiv definit. Die Zerlegung A = LL T + F ( ) existiere unter den Bedingungen 1 l ij = 0, falls (i, j) M A, 2 (LL T ) ij = a ij, falls (i, j) M A, und es sei L = (l ij ) i,j=1,...,n eine reguläre linke untere Dreiecksmatrix, dann heißt ( ) unvollständige Cholesky-Zerlegung (incomplete Cholesky, IC) der Matrix A zum Muster M A. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 73 / 74
74 Präkonditionierung Unvollständige Cholesky-Zerlegung (Buch Seite 219) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 74 / 74
3. Lineare Gleichungssysteme
3. Lineare Gleichungssysteme 1 3.1. Problemstellung 2 3.2. Direkte Verfahren 3 3.3. Normen und Fehleranalyse 4 3.4. Iterative Verfahren 5 3.5. Konvergenz von linearen Iterationsverfahren 6 3.6. Gradienten-Verfahren
Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik I
Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik I Andreas Meister Universität Kassel, AG Analysis und Angewandte Mathematik Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik I 1 / 49 Inhalte der Numerik
Iterative Verfahren, Splittingmethoden
Iterative Verfahren, Splittingmethoden Theodor Müller 19. April 2005 Sei ein lineares Gleichungssystem der Form Ax = b b C n, A C n n ( ) gegeben. Es sind direkte Verfahren bekannt, die ein solches Gleichungssystem
7. Iterative Lösung. linearer Gleichungssysteme
7. Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme 1 Grundlagen (1) Zur Erinnerung: Gesucht ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems a 0,0 x 0 +a 0,1 x 1 + a 0,n 1 x n 1 = b 0 a 1,0 x 0 +a 1,1 x 1 +
Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme. 2.1 Motivation: Bildverarbeitung Sei B = (B(n, m)) ein N M stochastisches Feld mit ZVen
Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme 21 Motivation: Bildverarbeitung Sei B = (B(n, m)) ein N M stochastisches Feld mit ZVen B(n, m) : Ω {0,,255}, n = 1,,N, m = 1,,M dig Camera Realisierung von B η ist
Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme. 2.1 Motivation: Bildverarbeitung Sei B = (B(n, m)) ein N M stochastisches Feld mit ZVen
Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme 2.1 Motivation: Bildverarbeitung Sei B = (B(n, m)) ein N M stochastisches Feld mit ZVen B(n, m) : Ω {0,...,255}, n = 1,...,N, m = 1,...,M. dig. Camera Realisierung
Institut für Numerische Simulation der Universität Bonn Prof. Dr. Mario Bebendorf
Institut für Numerische Simulation der Universität Bonn Prof. Dr. Mario Bebendorf Praktikum im Sommersemester 2012 Programmierpraktikum numerische Algorithmen (P2E1) (Numerische Lösung der Wärmeleitungsgleichung)
Numerische Lineare Algebra
Numerische Lineare Algebra Vorlesung 11 Prof. Dr. Klaus Höllig Institut für Mathematischen Methoden in den Ingenieurwissenschaften, Numerik und Geometrische Modellierung SS 2010 Prof. Dr. Klaus Höllig
Numerische Mathematik für Ingenieure (SoSe 2013)
Numerische Mathematik für Ingenieure (SoSe 2013) PD Dr(USA) Maria Charina Auszüge aus Vorlesungsfolien von Prof Joachim Stöckler werden verwendet Für die Bereitstellung dieses Materials und der Tex-Files
Wiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n
Wiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n 1 Lineare Algebra 11 Matrizen Notation: Vektor x R n : x = x 1 x n = (x i ) n i=1, mit den Komponenten x i, i {1,, n} zugehörige Indexmenge:
Lineare Iterationsverfahren: Definitionen
Lineare Iterationsverfahren: Definitionen 1. Ein Lösungsverfahren zur Berechnung von Ax = b heißt iterativ, falls ausgehend von einem Startwert x eine Folge x k von Iterierten bestimmt wird. 2. Ein Iterationsverfahren
2 Lineare Gleichungssysteme
2 Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten das lineare Gleichungssystem Ax = b mit der n n-koeffizientenmatrix A und der rechten Seite b R n. Wir leiten zuerst eine Variante des Gauss-Algorithmus (LR-Zerlegung)
38 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme
38 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme 38.1 Motivation Viele praktische Probleme führen auf sehr große lineare Gleichungssysteme, bei denen die Systemmatrix dünn besetzt ist, d. h. nur wenige
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Beispiel: Feder Masse System festes Ende Feder k 1 Masse m 1 k 2 m 2 k 3 m 3 k 4 festes Ende u 0 = 0 Federkraft y 1 Verschiebung u 1 y 2 u 2 y 3 u 3 y 4 u 4 = 0 Grundlagen der
2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen
Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme
Vorlesung Höhere Mathematik: Numerik (für Ingenieure) Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme Jun.-Prof. Dr. Stephan Trenn AG Technomathematik, TU Kaiserslautern Sommersemester 205 HM: Numerik (SS 205), Kapitel
Erweiterungen der LR-Zerlegung
Prof. Thomas Richter 6. Juli 2017 Institut für Analysis und Numerik Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg thomas.richter@ovgu.de Material zur Vorlesung Algorithmische Mathematik II am 06.07.2017 Erweiterungen
Spezielle Matrixformen
Definition B57 (Transposition) Eine einfache aber wichtige Operation auf Matrizen ist die Transposition, die aus einer (m n) Matrix A eine (n m) Matrix B = A T macht Hierbei gilt β i j = α j i, so daß
Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker
Willi Törnig Peter Spellucci Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker Band 1: Numerische Methoden der Algebra Zweite, überarbeitete und ergänzte Auflage Mit 15 Abbildungen > Springer-Verlag Berlin
Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Ausgewählte en zu den Übungsblättern -5 Aufgabe, Lineare Unabhängigkeit
Iterative Verfahren zur Lösung von Linearen Gleichungssystemen
Kapitel 4 Iterative Verfahren zur Lösung von Linearen Gleichungssystemen Situation: A C n n schwach besetzt, n groß, b C n. Ziel: Bestimme x C n mit Ax = b. 4.1 Spliting-Methoden Die Grundidee ist hier
Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,
Inexakte Newton Verfahren
Kapitel 3 Inexakte Newton Verfahren 3.1 Idee inexakter Newton Verfahren Wir betrachten weiterhin das nichtlineare Gleichungssystem F (x) = mit einer zumindest stetig differenzierbaren Funktion F : R n
Kapitel 5 Iterative Verfahren für LGS
Kapitel 5 Iterative Verfahren für LGS Einführung Matrixnormen Splitting Verfahren Mehrgitter (Multigrid) Verfahren Gradientenverfahren Vorkonditionierung CG-Verfahren Abbruch von iterativen Verfahren Zusammenfassung
Der CG-Algorithmus (Zusammenfassung)
Der CG-Algorithmus (Zusammenfassung) Michael Karow Juli 2008 1 Zweck, Herkunft, Terminologie des CG-Algorithmus Zweck: Numerische Berechnung der Lösung x des linearen Gleichungssystems Ax = b für eine
7.2 Die adjungierte Abbildung
7.2 Die adjungierte Abbildung Definition 7.2.1 Eine lineare Abbildung f : V K heißt lineares Funktional oder Linearform. (Diese Definition gilt für beliebige K-Vektorräume, nicht nur für innere Produkträume.)
3.3 Skalarprodukte 3.3. SKALARPRODUKTE 153
3.3. SKALARPRODUKTE 153 Hierzu müssen wir noch die Eindeutigkeit (Unabhängigkeit von der Wahl der Basis bzw. des Koordinatensystems) zeigen. Sei hierzu β eine Bilinearform und q die entsprechende quadratische
9 Vektorräume mit Skalarprodukt
9 Skalarprodukt Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 79 9 Vektorräume mit Skalarprodukt 9.1 Normierte Körper Sei K ein Körper. Definition: Eine Norm auf K ist eine Abbildung : K R 0, x x mit den folgenden
Numerische Lineare Algebra
Numerische Lineare Algebra Vorlesung 5 Prof. Dr. Klaus Höllig Institut für Mathematischen Methoden in den Ingenieurwissenschaften, Numerik und Geometrische Modellierung SS 21 Prof. Dr. Klaus Höllig (IMNG)
Euklidische und unitäre Vektorräume
Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition 7.1.1 Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein
Vorkonditionierer. diskrete stationäre Eulergleichungen
Übersicht Bernhard Pollul,, RWTH Templergraben 55, 52056, E-mail: pollul@igpm.rwth-aachen.de Vorkonditionierer für diskrete stationäre Eulergleichungen 1/13 1., Teilprojekt B4 2. Vorkonditionierung 3.
1 Zum Aufwärmen. 1.1 Notationen. 1.2 Lineare Abbildungen und Matrizen. 1.3 Darstellungsmatrizen
1 Zum Aufwärmen 1.1 Notationen In diesem Teil der Vorlesung bezeichnen wir Körper mit K, Matrizen mit Buchstaben A,B,..., Vektoren mit u,v,w,... und Skalare mit λ,µ,... Die Menge der m n Matrizen bezeichnen
Lineare Algebra II 8. Übungsblatt
Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 11 Prof. Dr. Kollross 1./9. Juni 11 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 6. Vorlesung 170004 Numerische Methoden I Clemens Brand 25. März 2010 Nachträge Gliederung Nachträge it Nachträge Wichtige Begriffe Eine Zusammenfassung der Folien 8 16 der letzten
d) Produkte orthogonaler Matrizen sind wieder orthogonal.
Die orthogonale Matrizen Definition: Eine Matrix Q R n n heißt orthogonal, falls QQ T = Q T Q = I gilt. Die Eigenschaften orthogonaler Matrizen: a) det(q) = ±1; b) Qx 2 = x 2 für alle x R n, also Q 2 =
Orthogonale Matrix. Definition 4.19
Orthogonale Matrix Ausgleichsprobleme sind häufig schlecht konditioniert. Matrix des Normalengleichungssystems kann nahezu singulär sein. Spezielle Matrixzerlegung für höhere numerische Stabilität: QR-Zerlegung
Methode der kleinsten Quadrate
Versus QR Matrizen mit vollem Rang 27. Mai 2011 Versus QR Inhaltsverzeichnis 1 2 3 Beispiel 4 Beispiel 5 6 Versus QR Kondition Vergleich Beispiel Versus QR Zu finden: Gerade, die den Punkten (0, 6), (1,
Klausur zur Mathematik II (Modul: Lineare Algebra II)
Technische Universität Hamburg-Harburg Institut für Mathematik Prof. Dr. Wolfgang Mackens Wintersemester 0/04 Klausur zur Mathematik II (Modul: Lineare Algebra II) 05.0.04 Sie haben 60 Minuten Zeit zum
6 Hauptachsentransformation
6 Hauptachsentransformation A Diagonalisierung symmetrischer Matrizen (6.1) Satz: Sei A M(n n, R) symmetrisch. Dann gibt es eine orthogonale n n-matrix U mit U t AU = D Diagonalmatrix Es folgt: Die Spalten
4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau
312 LinAlg II Version 0 20. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.3 Bilinearformen Bilinearformen wurden bereits im Abschnitt 2.8 eingeführt; siehe die Definition 2.8.1. Die dort behandelten Skalarprodukte sind
3 Lineare Algebra Vektorräume
3 Lineare Algebra Vektorräume (31) Sei K ein Körper Eine kommutative Gruppe V bzgl der Operation + ist ein Vektorraum über K, wenn eine Operation : K V V (λ, v) λv existiert mit i) v,w V λ,µ K: λ (v +
Lineare Ausgleichsprobleme. Jetzt: Lösung überbestimmter linearer GS, d.h. mehr Gleichungen als Unbekannte
Lineare Ausgleichsprobleme Bisher: Lösung linearer GS Ax = b, A R n,n, A regulär, b R n Jetzt: Lösung überbestimmter linearer GS, d.h. mehr Gleichungen als Unbekannte Ax = b mit A R m,n, b R m, m n, rg(a)
Prof. Dr. L. Diening Dipl. Math. S. Schwarzacher Dipl. Math. C. Warmt. Klausur. Numerik WS 2010/11
Prof. Dr. L. Diening 09.02.2011 Dipl. Math. S. Schwarzacher Dipl. Math. C. Warmt Klausur Numerik WS 2010/11 Es ist erlaubt, eine selbst erstellte, einseitig per Hand beschriebene A4 Seite in der Klausur
Lösung zu Serie 18. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink
Lineare Algebra D-MATH, HS 201 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 18 1. Sei V,, ein endlich-dimensionaler unitärer Vektorraum. Zeige, dass zu jeder Sesquilinearform f : V V C eine eindeutige lineare Abbildung
Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren
Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren die bisherigen Betrachtungen beziehen sich im Wesentlichen auf die Standardbasis des R n Nun soll aufgezeigt werden, wie man sich von dieser Einschränkung
Mathematik I. Vorlesung 12. Lineare Abbildungen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 12 Lineare Abbildungen Definition 12.1. Es sei K ein Körper und es seien V und W K-Vektorräume. Eine Abbildung heißt lineare Abbildung,
Das CG-Verfahren. Sven Wetterauer
Das CG-Verfahren Sven Wetterauer 06.07.2010 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 2 Die quadratische Form 3 3 Methode des steilsten Abstiegs 4 4 Methode der Konjugierten Richtungen 6 4.1 Gram-Schmidt-Konjugation.........................
Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2012/2013
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
Numerisches Rechnen. (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang. Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen
Numerisches Rechnen (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Wintersemester 2011/12 IGPM, RWTH Aachen Numerisches Rechnen
Aussagenlogik. 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl. C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7. F: 3 ist Teiler von 9
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
Lineare Gleichungssysteme Hierarchische Matrizen
Kompaktkurs Lineare Gleichungssysteme Hierarchische Matrizen M. Bebendorf, O. Steinbach O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs 24. 27.4.26 / 6 Numerische Simulation stationäre und instationäre
NUMERISCHE MATHEMATIK I
NUMERISCHE MATHEMATIK I Vorlesungsskript, Sommersemester 2011 Christian Clason Stand vom 29. September 2011 Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen Karl-Franzens-Universität Graz INHALTSVERZEICHNIS
a b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2,
Aufgabe I Es sei Q die folgende Teilmenge von C 2 2 : { ( ) a b Q a, b C b a Hier bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation Zeigen Sie: (a) Mit den üblichen Verknüpfungen + und für Matrizen ist
Eigenwerte. Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Sommersemester 2009
Eigenwerte Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Sommersemester 2009 25. Juni + 2.+9. Juli 2009 Grundlagen Definition Ist für A C n,n, Ax = λx
12 Lineare Algebra - Übersicht. Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen
12 Lineare Algebra - Übersicht Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen Unterräume Sei X ein Vektorraum über Ã. Eine Teilmenge M X heißt Unterraum von X, wenn
Glättung durch iterative Verfahren
Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Glättung durch iterative Verfahren Vorlesung Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Numerische Methoden in der
y (k) (0) = y (k) y(z) = c 1 e αz + c 2 e βz. c 1 + c 2 = y 0 k=1 k=1,...,m y k f k (x)
9 Ausgleichsrechnung 9.1 Problemstelllung Eine Reihe von Experimenten soll durchgeführt werden unter bekannten Versuchsbedingungen z Ê m. Es sollen Größen x Ê n bestimmt werden, für die ein Gesetz gelten
Zeigen Sie, dass der einzige Gruppenhomomorphismus von (G, ) nach (Z 5, +) die Abbildung Φ : G Z 5
Aufgabe I (4 Punkte) Es sei G : {e, g, g, g } eine 4-elementige Gruppe mit neutralem Element e Die Verknüpfung auf G werde mit bezeichnet Außerdem seien in G folgende Gleichungen erfüllt: g g g und g g
Konvergenz des Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahrens
Konvergenz des Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahrens Bachelor-Arbeit im -Fach Bachelorstudiengang Mathematik der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel vorgelegt
9 Lineare Gleichungssysteme
9 Lineare Gleichungssysteme Eine der häufigsten mathematischen Aufgaben ist die Lösung linearer Gleichungssysteme In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns zunächst mit Lösbarkeitsbedingungen und mit der
1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen
Technische Universität München Thomas Reifenberger Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Mittwoch WS 2008/09 1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen Definition 11 Transponierte Matrix
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Matrizen und Vektoren, LGS, Gruppen, Vektorräume 1.1 Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A := 1 1 2 0 5 1 8 7 Berechnen Sie alle möglichen
13 Partielle Ableitung und Richtungsableitung
3 PARTIELLE ABLEITUNG UND RICHTUNGSABLEITUNG 74 3 Partielle Ableitung und Richtungsableitung 3 Definition und Notiz Sei B R n offen, f : B R m, v R n, so heißt für γ x,v (t) = x + tv d dt f(x + tv) f(x)
Lineare Algebra. 10. Übungsstunde. Steven Battilana.
Lineare Algebra. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch November 3, 26 Erinnerung Gram-Schmidt Verfahren Sei V ein euklidischer/unitärer Vektorraum mit dim(v ) n < Gegeben: W span{v,...,
Einführung in die numerische Mathematik
Prof. Dr. M. Günther K. Gausling, M.Sc. C. Hendricks, M.Sc. Sommersemester 204 Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaften Angewandte Mathematik / Numerische Analysis
Eigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 25 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 8 Aufgabe 8 Basen für Bild und Kern Gegeben sind die beiden 2 Matrizen:
Lösungsskizzen zur Klausur
sskizzen zur Klausur Mathematik II Sommersemester 4 Aufgabe Es seien die folgenden Vektoren des R 4 gegeben: b = b = b 3 = b 4 = (a) Prüfen Sie ob die Vektoren b b 4 linear unabhängig sind bestimmen Sie
3.6 Approximationstheorie
3.6 Approximationstheorie Bisher haben wir uns im Wesentlichen mit der Interpolation beschäftigt. Die Approximation ist weiter gefasst: wir suchen eine einfache Funktion p P (dabei ist der Funktionenraum
Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung
Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D
1 Matrizenrechnung zweiter Teil
MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten
7. Übungs-/Wiederholungsblatt zu Einführung in die Numerik (SS 2012)
Technische Universität München Zentrum Mathematik, M1 Prof. Dr. Boris Vexler Dr. Ira Neitzel Dipl.-Math. Alana Kirchner 7. Übungs-/Wiederholungsblatt zu Einführung in die Numerik (SS 2012) Diese Auswahl
Modulprüfung Numerische Mathematik 1
Prof. Dr. Klaus Höllig 18. März 2011 Modulprüfung Numerische Mathematik 1 Lösungen Aufgabe 1 Geben Sie (ohne Beweis an, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind. 1. Die Trapezregel
Lösungsskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 2015
sskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 5 Aufgabe I. Es sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e und M {x G x x e}. Zeigen Sie: (a) Ist G kommutativ, so ist M eine Untergruppe von G. (b)
KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen. Aufgabe 1: (10 Punkte) [ wahr falsch ] 1. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s 2.
![KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen. Aufgabe 1: (10 Punkte) [ wahr falsch ] 1. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s 2.](/thumbs/71/65292107.jpg "KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen. Aufgabe 1: (10 Punkte) [ wahr falsch ] 1. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s 2.")
MATHEMATISCHES INSTITUT PROF. DR. ACHIM SCHÄDLE 9.8.7 KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen Aufgabe : ( Punkte) [ wahr falsch ]. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s. [ ]. Der Clenshaw
8. Vorlesung, 5. April Numerische Methoden I. Eigenwerte und Eigenvektoren
8. Vorlesung, 5. April 2017 170 004 Numerische Methoden I Eigenwerte und Eigenvektoren 1 Eigenwerte und Eigenvektoren Gegeben ist eine n n-matrix A. Gesucht sind ein vom Nullvektor verschiedener Vektor
Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Dezember Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9- Übungsblatt
Lösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II
Christian Fenske Lösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II Blatt 6 1. Seien 0 < b < a und (a) M = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 4 + z 4 = 1}. (b) M = {(x, y, z) R 3 x 3 + y 3 + z 3 = 3}. (c) M = {((a+b sin
2 Die Dimension eines Vektorraums
2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 5/.. Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt Aufgabe
3 Matrizenrechnung. 3. November
3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige
4 Lineare Abbildungen und Matrizen
Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4 Kern und Injektivität 4 Definition: Sei : V W linear Kern : {v V : v } ist linearer eilraum von V Ü68 und heißt
Kap 5: Rang, Koordinatentransformationen
Kap 5: Rang, Koordinatentransformationen Sei F : V W eine lineare Abbildung. Dann ist der Rang von F erklärt durch: rang F =dim ImF. Stets gilt rang F dimv, und ist dimv
Lineare Gleichungssysteme
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 5. Dezember 2007 Definition : Tomographie (Fortsetzung) : Tomographie Definition: Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist ein System von n
Kapitel 3 Lineare Algebra
Kapitel 3 Lineare Algebra Inhaltsverzeichnis VEKTOREN... 3 VEKTORRÄUME... 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT UND BASEN... 4 MATRIZEN... 6 RECHNEN MIT MATRIZEN... 6 INVERTIERBARE MATRIZEN... 6 RANG EINER MATRIX UND
Parallelrechnern. 12. März Technische Universität Chemnitz. Der Jacobi-Davidson Algorithmus auf. Parallelrechnern. Patrick Kürschner.
Technische Universität Chemnitz 12. März 2008 - sweise Gliederung - sweise - sweise Eigenwertprobleme Ziel: Lösung von Eigenwertproblemen Dabei: Ax = λx Matrix A C n n sehr groß, dünnbesetzt (sparse) Gesucht:
Mathematik für Ingenieure 1
A. Hoffmann B. Marx W. Vogt Mathematik für Ingenieure 1 Lineare Algebra, Analysts Theorie und Numerik PEARSON Studium ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don
Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.
Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion
51 Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
5 Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 5. Motivation Die Berechnung der Eigenwerte einer Matrix A IR n n als Lösungen der charakteristischen Gleichung (vgl. Kapitel 45) ist für n 5 unpraktikabel,
(d) das zu Grunde liegende Problem gut konditioniert ist.
Aufgabe 0: (6 Punkte) Bitte kreuzen Sie die richtige Lösung an. Es ist jeweils genau eine Antwort korrekt. Für jede richtige Antwort erhalten Sie einen Punkt, für jede falsche Antwort wird Ihnen ein Punkt
05. Lineare Gleichungssysteme
05 Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten ein System von m Gleichungen in n Unbestimmten (Unbekannten) x 1,, x n von der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a
Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
Mathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen 1 / 16 Vektorraum u R n, u = (u 1,..., u n ), u k R Euklidisches Skalarprodukt Euklidische Vektornorm (u, v) = u k v k u 2 = (u, u) = n u 2 k Vektoren u, v R n heißen orthogonal,
Lineare Algebra. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Lineare Algebra. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching October 2, 207 Erinnerung Definition. Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung, : E n E n E, v, w v, w = n k= v
Vortrag 20: Kurze Vektoren in Gittern
Seminar: Wie genau ist ungefähr Vortrag 20: Kurze Vektoren in Gittern Kerstin Bauer Sommerakademie Görlitz, 2007 Definition und Problembeschreibung Definition: Gitter Seien b 1,,b k Q n. Dann heißt die
Technische Universität München
Technische Universität München Michael Schreier Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Montag WS 2008/09 1 komplexe Zahlen Viele Probleme in der Mathematik oder Physik lassen sich nicht oder
47 Singulärwertzerlegung
47 Singulärwertzerlegung 47.1 Motivation Wir haben gesehen, dass symmetrische Matrizen vollständig mithilfe ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren beschrieben werden können. Diese Darstellung kann unmittelbar