Vorkonditionierer. diskrete stationäre Eulergleichungen
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- Ida Roth
- vor 6 Jahren
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1 Übersicht Bernhard Pollul,, RWTH Templergraben 55, 52056, Vorkonditionierer für diskrete stationäre Eulergleichungen 1/13 1., Teilprojekt B4 2. Vorkonditionierung 3. Modellbeispiele 4. Numerische Ergebnisse 5. Ergebnis, Ausblick
2 - TEILPROJEKT B4 Iterative Lösungsverfahren für nichtlineare Gleichungssysteme in Lösern für stationäre, kompressible Strömungen Prof. Dr. A. Reusken, B. Pollul Hintergrund: 2/13 QUADFLOW (finite Volumen Löser) Zeitintegration: implizite Verfahren: b2 Euler-implizit Nichtlineares Gleichungssystem Linearisierung: approximatives Newton-Verfahren Krylov-Teilraumverfahren: BiCGSTAB,GMRES(m),... Vorkonditionierung: Gauß-Seidel,ILU,SPAI,... Implementierung in PETSc
3 Grundidee der Vorkonditionierung Ausgangspunkt: Schlecht konditioniertes Gleichungssystem Ax = b, cond(a) 1. langsame Konvergenz von iterativen Verfahren Vorkonditionierung: Statt Ax = b betrachten wir das System W 1 Ax = W 1 b (Links-Vorkonditionierung). Anforderungen: cond(w 1 A) cond(a) Vorkonditionierer und Lösen von Systemen mit W billig 3/13 Rechts-Vorkonditionierung: AV 1ˆx = b Beidseitige-Vorkonditionierung: W 1 AV 1ˆx = W 1 b
4 Spezielle Vorkonditionierer Gauß-Seidel (GS) W = D + L unterer Dreiecksanteil der Matrix A Unvollständige LR-Zerlegung (ILU(0)) W = LU auf dem Muster von A Dünnbesetzte approximative Inverse (SPAI(0)) SPAI berechnet eine dünnbesetzte approximative Inverse SPAI(0): Muster von A A M I F AM I F = min M P ( M) P (A) Frobenius-Norm: Methode ist trivial paralellisierbar A M I 2 F = j A m j e j 2 2 Keine Literatur zu SPAI für Euler-Gleichungen 4/13
5 Punkt-Block-Ansatz Große dünnbesetzte Gleichungssysteme folgender Art Ax = b, A = blockmatrix(a i,j ) 1 i,j N, A i,j R 4 4, Blockgröße von 4 4 Unbekannte in jedem der N Gitterpunkte/Zellen 5/13 Punkt-Block-Gauss-Seidel Methode (PBGS) x 0 sei ein gegebener Startvektor A i,i x k+1 i = b i i 1 j=1 A i,jx k+1 j N j=i+1 A i,j x k j, i = 1,..., N. Analog übertragen wir das ILU(0)- und das SPAI(0) Verfahren und bezeichnen diese mit PBILU(0) bzw. PBSPAI(0).
6 Modellprobleme, Testumgebungen 6/13 Testumgebungen MATLAB : 2D-Euler-Testbeispiele Van-Leer-Fluß-Vektor-Splitting exakte Linearisierung DF (u )x = 1, Genauigkeit Testbeispiele konstante Strömung Stoßproblem 1 I III II QUADFLOW : NACA0012-Profil Hänel-Schwane Fluß-Vektor-Splitting b2-scheme AGARD-Standardbeispiele adaptive Gitter nicht adaptiv, uniforme Verfeinerungen
7 Ergebnis für Euler-Konstant-Testbeispiel PBGS PBILU(0) PBSPAI(0) Modellproblem Euler Konstant M y = 1.5 M x ε = 1E 6 h = 0.02 Iterationen vorkonditioniertes BiCGSTAB / Machzahl M x
8 Ergebnis für Euler-Stoßproblem 1/ Euler Stoss Modellbeispiel, ε = 1E 6 PBGS PBILU(0) PBSPAI(0) precond. BiCGSTAB Iterations / Schrittweite h
9 Ergebnis für Euler-Stoßproblem 2/2 Schrittweite h PBGS PBILU(0) PBSPAI(0) 183 9/13
10 Ergebnis Quadflow-Beispiel adaptiv 1/ NACA0012 Profil, Machzahl 0.95, AGARD Referenztestbeispiel 3, ε LAST =1E 4, ε DROP =1E 2 PBGS PBILU(0) PBILU(1) PBILU(2) Iterationszahlen Vorkonditioniertes BiCGSTAB Adaption 5 10/ Zeitschritt
11 Ergebnis Quadflow-Beispiel adaptiv 2/2 Grid PBGS PBILU(0) PBILU(1) PBILU(2) /13
12 Ergebnis Quadflow-Beispiel nicht-adaptiv Levelweise ausfummierte Iterationszahlen vorkond. BiCGSTAB PBGS PBILU(0) PBILU(1) PBILU(2) / Level
13 Ergebnis und Ausblick Ergebnisse (2D Euler) PBGS geeignet PBILU(0) geeignet PBSPAI(0) instabil einfache Probleme: PBGS effizienter schwierigere Probleme: PBILU(0) effizienter BiCGSTAB stabiler als GMRES(m) Gitterverfeinerung mehr Zeitschritte mehr Iterationen pro Zeitschritt Ausblick / Projekte 13/13 Schrittweitensteuerung Nummerierungstechniken Symmetrischer Gauß-Seidel
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