Mathematik beschreibt die Welt

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1 Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet 1825 Institut für Angewandte und Numerische Mathematik Mathematik beschreibt die Welt Willy Dörfler und Christian Wieners

2 Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet 1825 Institut für Angewandte und Numerische Mathematik Mathematik berechnet die Welt Willy Dörfler und Christian Wieners

3 Gauß und Ceres Carl Friedrich Gauß ( ) Der Kleinplanet Ceres im Asteriodengürtel zwischen Mars und Jupiter wurde erstmals am 1. Januar 1801 von Giuseppe Piazzi beobachtet. Bis zum 11. Februar konnte er 24-mal seine Position bestimmen, bevor seine Umlaufbahn von der Sonne verdeckt wurde. Danach ist es ihm nicht gelungen, Ceres wieder zu finden. Piazzis Beobachtungen wurden im September 1801 veröffentlicht. 1

4 Gauß und Ceres Carl Friedrich Gauß ( ) Der Kleinplanet Ceres im Asteriodengürtel zwischen Mars und Jupiter wurde erstmals am 1. Januar 1801 von Giuseppe Piazzi beobachtet. Bis zum 11. Februar konnte er 24-mal seine Position bestimmen, bevor seine Umlaufbahn von der Sonne verdeckt wurde. Danach ist es ihm nicht gelungen, Ceres wieder zu finden. Piazzis Beobachtungen wurden im September 1801 veröffentlicht. Carl Friedrich Gauß konnte aus den Beobachtungsdaten die Umlaufbahn hinreichend genau bestimmen. Fast genau an der vorhergesagten Position wurde Ceres am 31. Dezember 1801 von Franz Xaver Zach und Heinrich W. M. Olbers wieder entdeckt. 1

5 Kepler und die Ellipsen Johannes Kepler ( ) Die erste mathematischen Beschreibung der Bewegung von Himmelskörpern wurde von Johannes Kepler entwickelt. Erstes keplersches Gesetz. Die Umlaufbahn eines Trabanten ist eine Ellipse. Einer ihrer Brennpunkte liegt im Schwerezentrum des Systems. Die Keplerschen Gesetze stellen die exakte Lösung des Zweikörperproblems dar. Sie gelten exakt für Massenpunkte und für kugelsymmetrische Himmelskörper, wenn außer der Gravitation alle weiteren Kräfte vernachlässigt werden. 2

6 Mathematische Beschreibung einer Ellipse (0,b) (a,0) Die Ellipsengleichung. Die Punktmenge E := {(x,y) R 2 : x2 a 2 + y 2 } b 2 = 1 beschreibt eine Ellipse E in der x-y Ebene um den Punkt (0,0) und durch die Punkte (a,0) und (0,b). 3

7 Lösung der Ellipsengleichung Problem. Es seien zwei Punkte (x 1,y 1 ) und (x 2,y 2 ) gegeben. Man bestimme a > 0 und b > 0 mit x1 2 a 2 + y 1 2 b 2 = 1 und x2 2 a 2 + y 2 2 b 2 = 1. 4

8 Lösung der Ellipsengleichung Beobachtung. Kleine Änderungen an den Koordinaten (x 1,y 1 ) und (x 2,y 2 ) können große Änderungen in a und b ergeben. Ziel. Man finde eine Methode zur Bestimmung der Ellipse, die bei ungenau gemessenen Daten trotzdem eine sinnvolle Näherung ergibt. 5

9 Lösung der Ellipsengleichung Definition. Eine Aufgabenstellung heißt gut konditioniert, wenn kleine Änderungen an den Daten nur zu kleinen Änderungen der Lösung führen; sonst heißt sie schlecht konditioniert. Ein Algorithmus zur Lösung eines gut konditionierten Problems heißt gut konditioniert, wenn kleine Änderungen an den Daten nur zu kleinen Änderungen der algorithmisch berechneten Lösung führen. 6

10 Lösbarkeit der Ellipsengleichung? Problem. Es seien Punkte (x n,y n ) für n = 1,...,N gegeben. Man bestimme a > 0 und b > 0 mit xn 2 a 2 + y n 2 = 1 für alle n = 1,...,N. b2 7

11 Beste Approximation der Ellipse Ausgleichs Problem. Es seien Punkte (x n,y n ) für n = 1,...,N gegeben. Man bestimme a > 0 und b > 0, so dass die Summe der quadratischen Abweichungen minimal wird: ( ) N 2 xn 2 n=1 a 2 + y n 2 b 2 1 = min! 8

12 Lösung linearer Ausgleichsprobleme Definiere α = 1 a 2, β = 1 b 2, N a 11 = xn 2 x 2 N n, a 12 = a 21 = xn 2 y 2 N n, a 22 = yn 2 yn 2, n=1 n=1 n=1 N c 1 = x 2 N n, c 2 = yn 2. n=1 n=1 Dann gilt ( ) N 2 xn 2 n=1 a 2 + y n 2 b 2 1 = a 11α 2 + 2a 12αβ + a 22β 2 2c 1 α 2c 2 β N. Satz. Die Lösung des linearen Ausgleichsproblems berechnet sich aus der Lösung des linearen Gleichungssystems a 11 α + a 12 β = c 1, a 21 α + a 22 β = c 2. C. F. Gauß (1809): Theoria Motus Corporum Coelestium (... allgemeine Lösung mit Matrizen...) 9

13 Newton und die klassische Mechanik Isaac Newton ( ) In der klassischen Mechanik wird die Bewegung einer Punktmasse m am Punkt x = (x,y,z) durch die Newtonschen Gesetze bestimmt. Kraftgesetz: Masse m Beschleunigung a = Kraft F. Gravitationsgesetz: F (x) = G m M (x y). x y 3 Dabei ist G die Gravitationskonstante und M die Masse im Punkt y. 10

14 Euler und das Polygonzug Verfahren Leonhard Euler ( ) Die Bewegung wird durch einen Polygonzug x 0, x 1, x 2,... approximiert. Der Anfangszustand sei zum Zeitpunkt t = 0 bekannt: Position x 0, Geschwindigkeit v 0. Sei t ein Zeitinkrement. Nun berechne für n = 1,2,3,... v n = v n 1 + t F(x n 1 ) m x n = x n 1 + t v n 11

15 Hamilton und die Energieerhaltung William Rowan Hamilton ( ) Die Gesamtenergie H(x,v) = 1 2 m v 2 + U(x) bleibt erhalten. In der Regel geht die Energieerhaltung bei der Approximation verloren. Verbessertes Schema: Man berechne für n = 1,2,3,... v n+1 = v n t F (x n ) m x n+2 = x n + 2 t v n+1 12

16 Hamilton und die Energieerhaltung William Rowan Hamilton ( ) Die Gesamtenergie H(x,v) = 1 2 m v 2 + U(x) bleibt erhalten. In der Regel geht die Energieerhaltung bei der Approximation verloren. Verbessertes Schema: Man berechne für n = 1,2,3,... v n+1 = v n t F (x n ) m x n+2 = x n + 2 t v n+1 Satz. (Hairer, Lubich, Wanner 1994) Es gilt H(x(t n ),v(t n )) H(x n,v n ) Ct für t < ( t) 2. 12

17 Das 3 Körper Problem Berechne die Bewegung von Punktmassen an den Positionen x 1,x 2,x 3 und der Massen M 1,M 2,M 3 im Gravitationsfeld. Berechne für n = 1,2,3,... ( ) v 1 n+1 = v 1 n 1 2 t G M 2 x 2 n x 1 n 3 (x2 n x 1 M n) + 3 x 3 n x 1 n 3 (x3 n x 1 n) ( ) v 2 n+1 = v 2 n 1 2 t G M 1 x 1 n x 2 n 3 (x1 n x 2 M n) + 3 x 3 n x 2 n 3 (x3 n x 2 n) ( ) v 3 n+1 = v 3 n 1 2 t G M 1 x 1 n x 3 n 3 (x1 n x 3 M n) + 2 x 2 n x 3 n 3 (x2 n x 3 n) x 1 n+2 = x 1 n + 2 t v 1 n+1 x 2 n+2 = x 2 n + 2 t v 2 n+1 x 3 n+2 = x 3 n + 2 t v 3 n+1 Eine analytische Lösung für das 3 Körper Problem ist nicht möglich. 13

18 Das 3 Körper Problem Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage) Zeitschrittweite t Entfernung Satellit-Venus Differenz 24 Stunden Millonen km 14

19 Das 3 Körper Problem Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage) Zeitschrittweite t Entfernung Satellit-Venus Differenz 24 Stunden Millonen km 12 Stunden Millonen km 1.10 Millonen km 14

20 Das 3 Körper Problem Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage) Zeitschrittweite t Entfernung Satellit-Venus Differenz 24 Stunden Millonen km 12 Stunden Millonen km 6 Stunden Millonen km 1.10 Millonen km 0.39 Millonen km 14

21 Das 3 Körper Problem Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage) Zeitschrittweite t Entfernung Satellit-Venus Differenz 24 Stunden Millonen km 12 Stunden Millonen km 6 Stunden Millonen km 3 Stunden Millonen km 1.10 Millonen km 0.39 Millonen km 0.16 Millonen km 14

22 Das 3 Körper Problem Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage) Zeitschrittweite t Entfernung Satellit-Venus Differenz 24 Stunden Millonen km 12 Stunden Millonen km 6 Stunden Millonen km 3 Stunden Millonen km 90 Minuten Millonen km 1.10 Millonen km 0.39 Millonen km 0.16 Millonen km 0.07 Millonen km 14

23 Das 3 Körper Problem Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage) Zeitschrittweite t Entfernung Satellit-Venus Differenz 24 Stunden Millonen km 12 Stunden Millonen km 6 Stunden Millonen km 3 Stunden Millonen km 90 Minuten Millonen km 1.10 Millonen km 0.39 Millonen km 0.16 Millonen km 0.07 Millonen km Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt konvergent, wenn der Fehler für immer kleiner Schrittweiten verschwindet. 14

24 Das 3 Körper Problem Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage) Zeitschrittweite t Entfernung Satellit-Venus Differenz 24 Stunden Millonen km 12 Stunden Millonen km 6 Stunden Millonen km 3 Stunden Millonen km 90 Minuten Millonen km 1.10 Millonen km 0.39 Millonen km 0.16 Millonen km 0.07 Millonen km Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt konvergent, wenn der Fehler für immer kleiner Schrittweiten verschwindet. Herausforderung. Berechnung einer zuverlässigen Fehlerschranke. 14

25 Das 3 Körper Problem Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage) Zeitschrittweite t Entfernung Satellit-Venus Differenz 24 Stunden Millonen km 12 Stunden Millonen km 6 Stunden Millonen km 3 Stunden Millonen km 90 Minuten Millonen km 1.10 Millonen km 0.39 Millonen km 0.16 Millonen km 0.07 Millonen km Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt konvergent, wenn der Fehler für immer kleiner Schrittweiten verschwindet. Herausforderung. Berechnung einer zuverlässigen Fehlerschranke. Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt stabil, wenn Erhaltungsgrößen beschränkt bleiben. 14

26 Das 3 Körper Problem Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage) Zeitschrittweite t Entfernung Satellit-Venus Differenz 24 Stunden Millonen km 12 Stunden Millonen km 6 Stunden Millonen km 3 Stunden Millonen km 90 Minuten Millonen km 1.10 Millonen km 0.39 Millonen km 0.16 Millonen km 0.07 Millonen km Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt konvergent, wenn der Fehler für immer kleiner Schrittweiten verschwindet. Herausforderung. Berechnung einer zuverlässigen Fehlerschranke. Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt stabil, wenn Erhaltungsgrößen beschränkt bleiben. Herausforderung. Konstruktion von konvergenten Näherungsverfahren, die effizient und stabil sind. 14

27 Swing-by-Manöver Beschleunigen: Kreuzen der Planetenbahn kurz hinter dem Planeten Bremsen: Kreuzen der Planetenbahn kurz vor dem Planeten 15

28 Swing-by-Manöver Beschleunigen: Kreuzen der Planetenbahn kurz hinter dem Planeten Bremsen: Kreuzen der Planetenbahn kurz vor dem Planeten Beispiel: Die NASA/ESA-Raumsonde Cassini-Huygens flog nach dem Start am 15. Oktober 1997 zweimal an der Venus, einmal an der Erde sowie einmal am Jupiter vorbei, bis sie durch diese Swing-by-Manöver genug Energie hatte, ihr Ziel, den Saturn, am 1. Juli 2004 zu erreichen. 15

29 Das N Körper Problem Berechne die Bewegung von Punktmassen x = (x k ) k=1,...,n im M j M k Gravitationsfeld F k (x) = G j k x j x k 3 (xj x k ): Berechne für n = 1,2,3,... v k n+1 = v k n t F k (x) M k x k n+2 = x k n + 2 t v k n+1. 16

30 Das N Körper Problem Berechne die Bewegung von Punktmassen x = (x k ) k=1,...,n im M j M k Gravitationsfeld F k (x) = G j k x j x k 3 (xj x k ): Berechne für n = 1,2,3,... v k n+1 = v k n t F k (x) M k x k n+2 = x k n + 2 t v k n+1. Berechnung der Galaxienverteilung im Weltall: Simulation der Bewegung von 130 Millionen Partikeln seit dem Urknall vor 14 Milliarden Jahren 16

31 Berechnungsfehler und Grenzen der Berechenbarkeit Am 4. Juni 1996 explodierte kurz nach dem Start die erste Ariane 5 Rakete durch einen Softwarefehler. Die Horizontalgeschwindigkeit wurde durch eine Gleitkommazahl v [ , ] {0} [10 308, ] dargestellt. Innerhalb der Rechnung wurde die Zahl versehentlich in eine ganzzahlige Darstellung i {0,1,2,...,32767} konvertiert. Als die Geschwindigkeit v > erreichte, verlor die Software die Geschwindigkeitsinformation und damit schließlich die Orientierung. huckle/bugse.html 17

32 Berechnungsfehler und Grenzen der Berechenbarkeit Am 25. Februar 1991 während des ersten Golfkriegs in Dharan, Saudi Arabien, verfehlte eine amerikanische Patriot Rakete eine anfliegende irakische Scud Rakete durch eine falsche Zeitberechnung. Eine 1/10 Sekunde wurde ungenau dargestellt (durch Rundungsfehler wurde die periodische Dualentwicklung in der Computerdarstellung zu abgeschnitten), so dass nach 100 Stunden Betriebszeit eine Zeitdifferenz von ca. 0.3 Sekunden entstand. Dieser Fehler wurde nicht in allen Teilen des Betriebsprogramms korrigiert. huckle/bugse.html 18

33 Berechnungsfehler und Grenzen der Berechenbarkeit Am 23. August 1991 sank vor der norwegischen Küste die Ölbohrplattform Sleipner A, da an einer Schwachstelle die Konstruktion versagte. Die Fehlerkontrolle in der Finite Elemente Berechnung der Statik war ungenügend, so dass die Schwachstelle an einem Kreuzungspunkt von drei Verstrebungen in der Planung nicht entdeckt wurde. huckle/bugse.html 19

34 Fehlerschätzung Wie kann man solche Desaster verhindern? Was ist genau passiert? Beispiel Wir betrachten eine elastische Fläche der Gestalt 20

35 Fehlerschätzung Wie kann man solche Desaster verhindern? Was ist genau passiert? Beispiel Wir betrachten eine elastische Fläche der Gestalt Unter Belastung konzentrieren sich die Spannungen 20

36 Wir kennen dieses Phänomen aus der Elektrostatik ( Spitzenwirkung ). Fehlerschätzung 21

37 Wir kennen dieses Phänomen aus der Elektrostatik ( Spitzenwirkung ). Fehlerschätzung Ein berechenbares Problem erhält man durch Diskretisierung, hier durch eine Dreieckszerlegung ( Triangulierung ) des Gebietes. 21

38 Fehlerschätzung Für abnehmende Dreiecksdurchmesser erhalten wir eine zunehmend bessere Annäherung an die tatsächliche Lösung log 10 (Fehler(N)) log 10 (N) 22

39 Fehlerschätzung Der Spitzeneffekt verschlechtert die Konvergenz! Singulaer Glatt Der Fehler für ein Problem ohne Spitzeneffekt fällt viel schneller als für ein Problem mit Spitzeneffekt. log 10 (Fehler(N)) ABER: Wie können wir entscheiden, wann es genug ist? log 10 (N) 23

40 Fehlerschätzung Der Spitzeneffekt verschlechtert die Konvergenz! Singulaer Glatt Der Fehler für ein Problem ohne Spitzeneffekt fällt viel schneller als für ein Problem mit Spitzeneffekt. log 10 (Fehler(N)) ABER: Wie können wir entscheiden, wann es genug ist? log 10 (N) Lösung: (1) Fehlerkontrolle (2) Lokale Gitterverfeinerung 23

41 Adaptive Finite Elemente Methode 0.8 Exakter Fehler (adaptiv) Gesch. Fehler (adaptiv) Exakter Fehler (uniform) 1 log 10 (Fehler(N)) log (N) 10 24

42 Adaptive Finite Elemente Methode 0.8 Exakter Fehler (adaptiv) Gesch. Fehler (adaptiv) Exakter Fehler (uniform) 1 log 10 (Fehler(N)) log (N) 10 Quantitative Betrachtung. Ein Resultat mit Fehler TOL erfordert Problem Gitter N TOL = 1% TOL = 0.1% Singulär uniform TOL 3 N 10 6 N 10 9 Singulär adaptiv TOL 2 N 10 4 N 10 6 Gewinnfaktor

43 Adaptive Finite Elemente Methode 0.8 Exakter Fehler (adaptiv) Gesch. Fehler (adaptiv) Exakter Fehler (uniform) 1 log 10 (Fehler(N)) log (N) 10 Entwicklung des Konzeptes: ca Konvergenz und Optimalität des Verfahrens Theorem. Man kann den Fehler einer numerischen Lösung derartiger Probleme zuverlässig schätzen. Die Gesamtzahl der arithmetischen Operationen entspricht (im wesentlichen) der optimalen Anzahl. 25