bekannt Analog reduzieren wir die Randwerte im 2d-System. Man erhält dann eine Blocktridia-

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1 3.. Jetzt: Eliminiere 1. und 2. wie folgt u 2 + 2u 1 = h 2 f 1 + α }{{} bekannt Nun: Au = b mit A R n,n, b R n, u R n und A hat die Gestalt A = =: tridiag( 1, 2, 1) Analog reduzieren wir die Randwerte im 2d-System. Man erhält dann eine Blocktridia- gonalmatrix A B B A B B Rn2,n 2 mit A, B R n,n B A Konvergenzbetrachtung ÜA: Diese diskrete 2. Ableitung approximiert die exakte 2. Ableitung mit O(h 2 ) falls u C 4 (R). Mann kann dann zeigen, dass mit einem von u unabhängigen C. max u (x k ) u k k Ch2 2 Rundungsfehler und numerische Stabilität 2.1 Grenzen der Genauigkeit u(x+h) u(x) Wir haben uns in Kapitel I darauf verlassen, dass lim h 0 h = u (x), falls u C 1 (R) auch auf dem Computer gilt. Wir rechnen das numerisch nach. Dazu definieren wir g (1) (x, h) = 1 (u(x + h) u(x)) h g (2) (x, h) = 1 (u(x + h) u(x h)) 2h 11

2 Vorwärtsdifferentienquotient bzw Mitteldifferenzenquotient Wir stellen den Wert E (i) (h) := g (i) (x, h) u (x) Sei x fest gewählt. als Funktion von h dar. Wir erwarten E (i) (h) = O(h κ ) für ein κ N. Daraus folgt: log(e (i) (h)) = C + κ log(h). Im doppelt logarithmischen Plot erwarten wir eine Gerade mit Steigung κ 2.2 Zahldarstellung Zahlsysteme Dezimalbasis: Jede reelle Zahl x hat zur Basis 10 die Darstellung x = x M 10 M + x M 1 10 M x x mit Faktoren x l {0,..., 9}. Die Darstellung ist nicht notwendig endlich und nicht eindeutig (0.9 = 1.0). Dualbasis: Verwende 2 statt 10. x = x M 2 M + x M 1 2 M x x Hexadezimal: zur Bais 16, Speicheradressen: 0,..., 9, A,..., F Beispiele: 9 10 = = = = = 2 4k + 2 4k 1 = ( ) = = 1 10 ( ) 1 k + 1 ( ) 1 k Bemerkung: 10 hat im Dezimalsystem eine endliche, im Dualsystem eine unendliche Darstellung. Jedoch gilt: 1 2 = Daher hat jede endliche Darstellung im Dualsystem eine endliche im Dezimalsystem Maschinenzahlen Ein Rechner kennt nur endlich viele Zahlen. Man definiert eine Abbildung rd : R F (Menge der Maschinenzahlen) durch Bestapproximation oder Abschneiden.. Im Dezimalsystem lautet die allgemeine Darstellung einer Maschinenzahl y F(10, L, E min, E max ): y = ±0, } {{ } 10 e Mantisse, L Ziffern 12

3 mit e {E min,..., E max } Z Die Maschinengenauigkeit ε hat nach Definition die Eigenschaft und es gilt: x rd(x) x In C oder Fortran float, real*4 ε 10 8 double, real*8 ε ε := inf{x > 0 : rd(1 x) < 1 ε für x [min F, max F] \ {0} Den arithmetischen Operationen +,,, / entsprechen Operationen in der Rechnerarithmetik +,,, / und es gilt für {+,,, /} rd(x) rd(y) = x y(1 + ε xy ) mit ε xy ε Leider gleten für das Zahlensystem F viele der üblichen Regeln (z.b. Assoziativgesetz) ( ÜA) Rundungsfehleranalyse Differenzenquotient: Wir halten in 1.1 die Differenzenquotienten g (1) (x, h) und g (2) (x, h) definiert. g (1) (x, h) = 1 h (f(x + h)(1 + ε 1) f(x)(1 + ε 2 )) (1 + ε 0 ) ( f(xh) f(x) = + ε 1 h h f(x + h) ε ) 2 h f(x) (1 + ε 3 ) Dann ist g (1) (x, h) f (x) = O(h) + O ( ) ε h Die Abschätzung ist optimal, wenn beide Summanden vergleichbar sind: h ε h h 2 ε h ε. Der optimale Fehler ist dann O( ε). Analog für g (2) : h 3 ε und den Fehler 3 ε 2 Skalarprodukt: Sei S S(y) := [1,..., 1] y = n y k für y R n. Nun wollen wir y F n annehmen und die Summe S in Rechnerarithmetik bestimmen. Algorithmus S := y 1 for k = 2 : n S = S +y k end 13

4 Beispiel: n = 3 Induktion: S = ((y 1 + y 2 )(1 + ε) + y 3 )(1 + ε 2 ) = (y 1 + y 2 )(1 + ε 1 )(1 + ε 2 ) + y 3 (1 + ε 2 ) mit ε i ε für i = 1,..., n n 1 S = (y 1 + y 2 ) (1 + ε i ) + i=1 n 1 y k k=3 i=k 1 Lemma 1. Seien ε i, ε wie oben, σ i {±1} (i = 1,..., n) Ist nε < 1, so gilt n (1 + ε i ) σ i = 1 + ϑ n mit ϑ n R, ϑ n Bemerkung: nε 1 nε =: γ n Beweis. Mit Induktion ÜA i=1 (1 + ε i ) n 10 6 in einfacher und n in doppelter Genauigkeit. Theorem 1. Für die Summation von n Zahlen in Rechnerarithmetik gilt die Abschätzung S S y 1 + y 2 γ n 1 + y k γ n k+1 sowie S S S y k γ n 1 y k wobei y hier komponentenweise zu verstehen ist. k=2 = γ n 1 S( y ) S(y) Beachte: γ n 1 nε, falls nε 1 Beweis. Direkt aus der Darstellung von S und dem Lemma folgt die erste Abschätzung. Die γ k wachsen monoton mit k, d.h. wir können S S γ n 1 ( y 1 + y 2 )+γ n 1 y k abschätzen. Bemerkungen γ n 1 nε Erst die betraglich kleinen Zahlen addieren Schlecht ist der Fall S(y) S( y ), Dies gilt z.b. für Differenzenquotienten k=3 14

5 2.3 Konditionen von Abbildungen Erinnerung: Vektornorm, zugeordnete Operatornorm, verträgliche Operatornorm Ergänzungsblatt Seien gegeben: Normierte lineare Vektorräume X, Y sowie f : X Y stetige Abbildung Norm- und komponentenweise Kondition Definition. Normweise absolute Kondition ist die kleinste Zahl κ abs mit f( x) f(x) Y κ abs x x X + o( x x ) X ( x x) Normweise relative Kondition ist die kleinste Zahl κ rel mit f( x) f(x) Y f(x) Y κ rel x x x X + o( x x X ) ( x x) für x 0, f(x) 0 Komponentenweise relative Kondition ist die kleinste Zahl κ r el mit f( x) f(x) x x f(x) κ rel Y x + o( x x X ) ( x x) X Je nach Größenordnung von κ {κ rel, κ abs } nennt man eine Abbildung von f in x gut (κ 1) oder schlecht (κ 1) konditioniert Ist f differenzierbare Abbildung, so setzen wir κ abs := f (x) κ rel := f (x) x X f(x) Y κ rel := f (x) x f(x) Y (normweise) (komponentenweise) Letzteres mit komponentenweiser Definition von und Division. Operatornorm zu X, Y Beispiele Addition: f : R 2 R, [x 1, x 2 ] x 1 + x 2, x := x 1 + x 2 =: x 1. Es gilt: f (x) = [1, 1]. Also folgt: κ abs = max y κ rel = [1, 1] y y 1 y 1 + y 2 y 1 = 1 1 x 1 x 1 + x }{{} 2 = x 1 + x 2 x 1 + x 2 =f(x) (normweise und komponentenweise) 15

6 Die Addition zweier Zahlen ist schlecht konditioniert falls x 1 x 2 (Stellenauslöschung). Sie ist gut konditioniert falls x 1 + x 2 = x 1 + x 2 κ rel = 1. Multiplikation zweier Zahlen f : R 2 R, [x 1, x 2 ] x 1 x 2, 1. Es gilt: f (x) = [x 2, x 1 ] f (x) y κ abs = max = x 2y 1 + x 1 y 2 max{ x 1, x 2 } y y 1 y 1 + y 2 κ rel = f (x) x f(x) = [x 2, x 1 ] [x 1, x 2 ] = 2 x 1x 2 = 2 x 1 x 2 x 1 x 2 Lösen eines linearen Gleichungssystem: Gegeben: A invertierbar in R n,n, b R n Finde u R n sodass gilt Au = b 1. Störung der rechten Seite b: f(b) := u = A 1 b Wir betrachten die normweise Kondition: f (b) = A 1 κ abs = A 1 gewählte Vektornorm, zugeordnete Operatornorm κ rel = A 1 b A 1 b = A 1 AA 1 b A 1 b A 1 A A 1 b A 1 b = A 1 A =: cond (A) (Kondition von A) 2. Einfluss der Störung von A: Betrachte nun u als Funktion von A: f : R n,n R n, f(a) = u = A 1 b Es gilt: f (A)E = A 1 EA 1 b = A 1 Eu Daraus folgt: f (A) = sup E sup E f (A)E E = sup E A 1 E u E κ rel A 1 u A u 2.4 Stabilität numerischer Algorithmen A 1 Eu E = A 1 u = cond (A) Die Kondition von f in x beschreibt den unvermeidlichen Fehler der Rechenvorschrift x f(x). Es sei f(x) die Vorschrift zur Berechnung von f(x) wir rechnen damit, dass selbst bei exakter Arithmetik auf F der relative Fehler κ f (x)ε auftritt. 16

7 2.4.1 Vorwärtsanalyse Definition. Der Stabilitätsindikator des Algorithmus f(x) zur Berechnung von f(x) ist die kleinste Zahl σ, so dass gilt f( x) Y f( x) Y σ κ f ( x) ε + o(ε) (ε 0) }{{} κ rel normw. für alle x mit x x X ε x X Der Algorithmus f ist stabil im Sinne der Vorwärtsanalyse, falls σ kleiner gleich der Anzahl der elementaren Rechenoperationen ist. Beispiel: Die Summation: Es gilt: S 1 := y 1 for i = 2 : n S i = S i 1 y S(y) S(y) S(y) γ n 1 ε S( y ) S(y) = (n 1)εκ S + o(ε), falls nε 1 Also σ < n 1, d.h. die Summation ist vorwärtsstabil Rückwärtsanalyse Definition. Der Stabilitätsindikator der Rückwärtsanalyse des Algorithmus x f(x), x E ist die kleinstmögliche Zahl ϱ, so dass für alle x E mit x x X ε x X ein ˆx E existiert mit f( x) = f(ˆx), so dass ˆx x X x X ϱε + o(ε) (ε 0) Der Algorithmus f heißt stabil im Sinne der Rückwärtsanalyse, falls ϱ kleiner gleich der Anzahl der elementaren Rechenoperationen Lemma 2. ( Rückwärtsstabil Vorwärtsstabil) σ ϱ Beweis. Sei x E mit x x X ε x X. Dann gilt σ ϱ nach Def. von σ f( x) f( x) Y f( x) Y Vor. = Def κ f Vor. f(ˆx) f( x) Y f( x) Y κ f (ˆx) ˆx x X x X ϱε κ f ( x) + o(ε) + o(ε) 17