Das Dreikörperproblem

Transkript

1 1 Das Dreikörperproblem Proseminar Theoretische Physik Alexander Müller

2 2 Gliederung Allgemeines Circular Restricted Problem Stabilität im allgemeinen Dreikörperproblem Periodische Lösungen

3 3 Motivation Problem: Bewegung dreier Punktmassen unter Gravitationsgesetz System gewöhnlicher Differentialgleichungen m i r i = i j r i r j m i m j r i r j = U 3 r i, U = i j m i m j r j r i, U = V Im Allgemeinen nicht analytisch lösbar Näherungen, qualitative Untersuchungen Anwendung: Untersuchung von Planetenbahnen, Positionierung von Satelliten

4 4 Symmetrien und Erhaltungsgrößen Gleichungen invariant unter: Zeittranslationen Boosts Translationen, Rotationen Erhaltungsgrößen: Mit Die (hamiltonsche) Gesamtenergie H = 1 2 y 2 U ( x) Der Gesamtimpuls P= m i ri Der Gesamtdrehimpuls 1 i p C= m i r i ri 1 i 3 r1 y=( r 3) 2, r x=( r1 r 2 r 3 )

5 Homographische Lösungen Zentralkonfiguration: Eine Konfiguration x heißt zentral, wenn jeder Massenpunkt eine zum Schwerpunkt wirkende Kraft erfährt. j m j r j r i r j r i 3=λ( r i r s ), r s Schwerpunkt, λ< 0 j m j ( 1 r j r i 3+ λ M ) ( r j r i )=0, M Gesamtmasse Bei einer nicht kollinearen Konfiguration bilden die Massenpunkte für alle festen Zeiten t gleichseitige Dreiecke. 5

6 6 Homographische Lösungen Für Zentralkonfigurationen gibt es exakte Lösungen und es gilt Massenpunkte bewegen sich auf Keplerbahnen Exzentritäten ϵ aller Bahnen für eine Lösung gleich ϵ=1 ϵ=0.9 ϵ=0

7 7 Gestörtes Zweikörperproblem Koordinatentransformation X 0 =x 0, X j =x j x 0, Y 0 =y 0 + µy 1 + µy 2, Y j = y j, j=1,2 (Poincaré) Hamiltonfunktion transformiert zu H= 1 j 2 ( Y 2 J m j M j ) 2 m j X j + µ ( Y 1Y 2 m 1 m 2 ) m 0 X 1 X =H 0+ µr, M j =m 0 + µm j, m j = m 0 m j 2 M j für Massen m 0, µm 1, µm 2 Y 0 =0 und Zwei ungekoppelte Keplerprobleme mit einer Störung

8 Circular Restricted Problem Störung wird vor allem für Problem: Sonne-Planet-Planet Im Grenzfall m 2 0 Circular Restricted Problem m 0 µm j, j=1,2 analysiert wird z.b. Sonne-Erde-Mond betrachtet Man wählt folgendes Koordinatensystem: y a P r 2 O Ursprung Schwerpunkt u 1 =Gm 1, u 2 =Gm 2 r 1 x u 2 Positionen der großen Massen m 1, m 2 : =( r u ) =( 2 m1 und r u ) 1 m2 0 0 O b r 1 2 =( x+ u 2 ) 2 + y 2, r 2 2 =( x u 1 ) 2 + y 2 u 1 8

9 9 Jacobi Konstante und Hill Region Bewegung von m 3 0 soll analysiert werden Annahme: Bewegung von Feste Position m 1, m 2 zirkular, System rotiert mit Gesamtenergie ist konstant Region konstanter Energie algebraische Gleichung Jacobi Konstante C j

10 10 Jacobi Konstante und Hill Region Herleitung der Jacobi Konstante: Beschleunigung im festen System: ä=u 1 a 1 a r 1 3 a + u 2 a b 2 (1), b=u 1 b r 2 r 1 + u 2 b 2 b r 2 3 (2) Wechsel zwischen festen und rotierenden Koordinaten erfolgt durch Drehung ( a b) = ( cos(nt ) sin (nt ) sin (nt ) cos(nt) ) ( x y ) (3) ( ä b) = ( cos(nt ) sin (nt ) ) ( ẍ 2n ẏ n2 x ) (4) sin (nt ) cos(nt) ÿ+ 2n ẋ n 2 y

11 11 Jacobi Konstante und Hill Region Einsetzen von ä, b und r 2 1 =(x+ u 2 ) 2 + y 2, r 2 2 =(x u 1 ) 2 + y 2 ẍ 2n ẏ= U x (5), ÿ+ 2n ẋ= U y (6) mit U = n2 2 (x 2 + y 2 )+ u 1 r 1 + u 2 r 2 ẋ ẍ+ ẏ ÿ= U x ẋ+ U y ẏ= du dt ẋ 2 + ẏ 2 =2U C j

12 12 Jacobi Konstante und Hill Region Also folgt 2( C j =2U v 2 =n 2 (x 2 + y 2 )+ m 1 + m ) 2 r 1 r (ẋ2 + ẏ 2 ) 2 Definiert Hill Region (außerhalb dieser keine Bewegung möglich) Bestimmung der Begrenzung der Region: ẋ= ẏ=0 ẋ= ẏ=0 C j =n 2 (x 2 + y 2 )+ 2 ( u 1 r 1 + u 2 r 2 )

13 13 Jacobi Konstante und Hill Region Die Hill Region für unterschiedliche Werte der Jacobi Konstante: C j =2.85

14 13 Jacobi Konstante und Hill Region Die Hill Region für unterschiedliche Werte der Jacobi Konstante: C j =3

15 13 Jacobi Konstante und Hill Region Die Hill Region für unterschiedliche Werte der Jacobi Konstante: C j =3.2

16 13 Jacobi Konstante und Hill Region Die Hill Region für unterschiedliche Werte der Jacobi Konstante: C j =3.8

17 13 Jacobi Konstante und Hill Region Die Hill Region für unterschiedliche Werte der Jacobi Konstante: C j =4.5

18 14 Equilibrien und Stabilität Nun sollen die Equilibrien des Systems berechnet werden ẋ=ẍ= ẏ= ÿ=0 Setze u 1 + u 2 =1 Ausgedrückt durch die Radien r 1, r 2 ergibt sich für U U =u 1 ( 1 + r 2 ) 1 r u ( r 2 ) 2 r u 1u 2 ẍ 2n ẏ=0= U x, ÿ+ 2n ẋ=0= U y

19 15 Equilibrien und Stabilität Also U x = U r 1 r 1 x + U r 2 r 2 x =0, U y = U r 1 r 1 y + U r 2 r 2 y =0 Nach Ausrechnen der Ableitungen: u 1( 1 1) 2 r + r x+ u ( 2 + u 1 r 1 2) r + r x u 1 =0 (7) 2 r 2 ( u 1 1) 1 2 r + r 1 y ( + u r 1 2) r + r 2 y r 2 =0 (8)

20 16 Equilibrien und Stabilität Und damit u 1 ( 1 r r 1)=0, u 2 ( 1 r r 2)=0 ( y 0) x= 1 2 u 2, y=± 3 2, L 4=( 1 2 u ), L 5=( 1 2 u ) Diese Equilibrien bilden die Spitzen zweier gleichschenkliger Dreiecke.

21 17 Equilibrien und Stabilität Für y=0 ergibt sich r 2 =α 1 3 α2 1 9 α α4 + ο(α 5 ), α=( m 2 3m 1 ) 1 3, r 1 =1 r 2 (L 1 ) r 2 =α+ 1 3 α2 1 9 α α4 + Ο(α 5 ), r 1 =1+ r 2 (L 2 ) r 1 =1+ β, r 2 =2+ β, β= 7 ( µ ) 2 12 µ + 7 ( µ ) ( µ Ο( )3 2 + µ µ µ 1 )4 µ 1 (L 3 )

22 Equilibrien und Stabilität 18

23 19 Equilibrien und Stabilität Überprüfung auf lineare Stabilität Betrachtung von linearisiertem U Bewegung in kleiner Umgebung der Equilibrien x=x L4 + δ x, y= y L4 + δ y δ ẍ 2n δ ẏ=δ x ( 2 U x 2 ) ( 2 U ) + δ y x y L4 L4 δ ÿ+ 2n δ ẋ=δ x ( 2 U ) ( + δ y 2 U ) x y L4 y 2 L4

24 20 Equilibrien und Stabilität Bewegungsgleichungen in Matrixdarstellung ( δ ẋ δ ẏ δ ẍ δ ÿ )=( U xxl4 U xyl4 0 2n U xyl4 U yyl4 2n 0 ) ( δ x ) δ y δ ẋ δ ẏ Stabilität soll in Abhängigkeit der Massen analysiert werden Konvention G(m 1 + m 2 )=1 aufgehoben

25 21 Equilibrien und Stabilität Für die Ableitungen ergibt sich U xxl4 = 1 4 G(m 1 + m 2 ) r 1 3 n 2, U yyl4 = 5 4 G(m 1 + m 2 ) r 1 3 n 2, U xyl4 = K G(m 1 + m 2 ) r 1 3, K =± m 1 m 2 m 1 + m 2 A=( ) 4 Kn n2 2n n Kn2 0 2n 3 3

26 22 Equilibrien und Stabilität Es ergeben sich die Eigenwerte λ=±i n 2 (2 (27 Κ 2 23)), σ=±i n 2 (2+ (27 Κ 2 23)) Forderung: Eigenwerte imaginär m m 2 2 L 4 L 5 und sind also nur stabil, wenn die eine Masse wesentlich größer ist als die andere!

27 23 Equilibrien und Stabilität Analog für die anderen Equilibrien λ=±n (1+ 2 7), σ=±i n (2 7 1) (L 1, L 2 ) λ=±n 3m 1 8m 2, σ=±i n 7 (L 3 ) Es kommt jeweils ein positiver Eigenwert vor Die Equilibrien auf der x-achse sind dynamisch instabil

28 24 Stabilität im allgemeinen Problem Dritte Masse ist nicht mehr vernachlässigbar klein Unterscheidung zwischen Arten von Stabilität Hill- Stabilität Sundman- Stabilität

29 25 Hill- und Sundmann- Stabilität Eine Masse m i heißt Hill- stabil, falls r i < C 1, C 1 ϵr, t und Sundman- stabil bezüglich eines Sterns m j,falls r i r j < C 2, C 2 ϵr, t Sundman- Stabilität gibt also eine Bindungsbedingung an, während Hill- Stabilität lediglich fordert, dass die Masse das System nicht verlässt.

30 26 Sundman Gleichung Untersuchung von Sundman- Stabilität Sundman Gleichung (U C)J B= J 8, J Trägheitsmoment des Systems Analog zur Bestimmung einer Hill Region J =0 (U C)J =B

31 27 Sundman Gleichung Es sind zu lösen S x =0, S y =0, S z =0, S=(U C)J Analog zum Circular Restricted Problem ergeben sich Punkte S 1 S 5

32 28 Sundman Gleichung mit S i =( x i 0 ) G m 1 m 2 2C + G m 2 m 3 G m 3 m 1 2C (x i 1) 2 2 2c x i i=1,2,3 1 2, S 4,5=( ) ± 3 2 G m 1m 2 + m 2 m 3 + m 1 m 3 2C Es folgt aus der Abhängigkeit )( B i = G2 4MC (m 1m 2 + m 2 m 3 (r 23 ) 2 i + m 3 m 1 (r 31 ) 2 m m i 1m 2 + m 3 m 2 + m 1 ) 2 (r 23 ) 3 i (r 31 ) i dass nur für B< B 2 Sundman- Stabilität möglich ist.

33 29 Periodische Lösungen Qualitative Untersuchung Periodischer Lösungen (Poincaré) Gliederung in Familien von Lösungen Topologische Untersuchung Übertragung der Koordinaten in relatives Koordinatensystem ρ 2, λ 2, R= ρ 2 + λ 2, ρ= 1 2 (x 1 x 2 ), λ= 1 6 (x 1+ x 2 2x 3 ) Es ergeben sich sogenannte Shape Spheres

34 Periodische Lösungen 30

35 31 Topologische Untersuchung Betrachtung periodischer Lösungen ohne Kollision Projektion der Sphäre auf Ebene ein Pol (=Nordpol) verschwindet ins Unendliche Periodische Lösungen bilden freie Gruppe Erzeuger a a, b der freien Gruppe mit : Umlauf rechter Pol (mit Uhrzeigersinn) b : Umlauf linker Pol (gegen Uhrzeigersinn)

36 32 Topologische Untersuchungen Geometrische Klassen: I) Achsensymmetrie bzgl. Äquator und Nullmeridian II) Punktsymmetrie am Ursprung Algebraische Klassen: A) Die Äquivalenzklasse a a 1 und B) a 1 b 1 und C) weder A noch B a b b b 1 A korrespondiert immer mit I und C immer mit II, B kann mit beiden geometrischen Klassen korrespondieren.

37 Topologische Untersuchungen 33

38 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! 34

39 35 Quellen Danby, John. Fundermentals of Celestial Mechanics: The Macmillan Company, 1970 Donnison J.R., Williams I.P., 1983, Celest. Mech., 31, 123.