Hartes Chaos am Beispiel des anisotropen Keplerproblems
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- Dominik Krause
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1 Hartes Chaos am Beispiel des anisotropen Keplerproblems M. C. Gutzwiller Mechanik Seminar WiSe 17/18 Robert Klassert Institut für Theoretische Physik, Universität Heidelberg
2 Hartes Chaos am Beispiel des anisotropen Keplerproblems M. C. Gutzwiller Mechanik Seminar WiSe 17/18 Robert Klassert Institut für Theoretische Physik, Universität Heidelberg
3 Die Ordnung vor dem Chaos 2
4 Die Ordnung vor dem Chaos > Wiederholung: Das isotrope Keplerproblem 2
5 Die Ordnung vor dem Chaos > Wiederholung: Das isotrope Keplerproblem > Das anisotrope Keplerproblem 2
6 Die Ordnung vor dem Chaos > Wiederholung: Das isotrope Keplerproblem > Das anisotrope Keplerproblem > Untersuchung des Phasenraums 2
7 Die Ordnung vor dem Chaos > Wiederholung: Das isotrope Keplerproblem > Das anisotrope Keplerproblem > Untersuchung des Phasenraums > Trajektorien in der x-y-ebene 2
8 Die Ordnung vor dem Chaos > Wiederholung: Das isotrope Keplerproblem > Das anisotrope Keplerproblem > Untersuchung des Phasenraums > Trajektorien in der x-y-ebene > Periodische Orbits und wie sie zu finden sind 2
9 Die Ordnung vor dem Chaos > Wiederholung: Das isotrope Keplerproblem > Das anisotrope Keplerproblem > Untersuchung des Phasenraums > Trajektorien in der x-y-ebene > Periodische Orbits und wie sie zu finden sind > Binäre Beschreibung der Trajektorien 2
10 Die Ordnung vor dem Chaos > Wiederholung: Das isotrope Keplerproblem > Das anisotrope Keplerproblem > Untersuchung des Phasenraums > Trajektorien in der x-y-ebene > Periodische Orbits und wie sie zu finden sind > Binäre Beschreibung der Trajektorien > Lyapunov Kennzahl 2
11 Die Ordnung vor dem Chaos > Wiederholung: Das isotrope Keplerproblem > Das anisotrope Keplerproblem > Untersuchung des Phasenraums > Trajektorien in der x-y-ebene > Periodische Orbits und wie sie zu finden sind > Binäre Beschreibung der Trajektorien > Lyapunov Kennzahl > Literatur 2
12 Das isotrope Keplerproblem > Zweikörpersystem mit gegenseitiger Anziehungskraft ~ 1 r 2 > Aufspaltung in Relativbewegung und Schwerpunktsbewegung Teilchen mit reduzierter Masse μ in Zentralpotential ~ 1 r > Wechsel auf Polarkoordinaten Bleibt 1 Freiheitsgrad integrabel r φ = p 1 + ε cos φ H = p r 2 + V 2μ eff = p 2 r 2μ + L2 k = p r 2 +p2 φ 2μr 2 r 2μ k r > Lösungen sind Kegelschnitte > gebunde Trajektorien sind Ellipsen mit einem Fokus im Ursprung 3
13 Das anisotrope Keplerproblem Motivation: n-halbleiter Effektive Masse (Festkörperphysik) 1 m ij = 1 ħ 2 2 E k i k j 4
14 ሶ Hamiltonfunktion und Bewegungsgleichungen kin. Energie effektives Potential H = u2 2μ + v2 2μ 1 + L2 2μ 1 y 2 1 x 2 + y 2 x ሶ = H u = u μ y ሶ = H v = v μ 1 u ሶ = H x = x x 2 + y 23 v ሶ = H y = L2 μ 1 y 3 x x 2 + y 23 L = μ 1 y 2 φ Drehimpuls in x-richtung > L und H erhalten, aber nicht integrabel, da H, L 0 > Setzen willkürlich H = 1 2 für den Rest des Vortrags 5
15 Untersuchung des Phasenraums 6
16 Untersuchung des Phasenraums > Einschränkung des betrachteten Phasenraums durch Poincaré Schnittfläche 6
17 Untersuchung des Phasenraums > Einschränkung des betrachteten Phasenraums durch Poincaré Schnittfläche > Im Fall des AKP: 4-dim. Phasenraum 3-dim. Unterraum durch feste Energie 6
18 Untersuchung des Phasenraums > Einschränkung des betrachteten Phasenraums durch Poincaré Schnittfläche > Im Fall des AKP: 4-dim. Phasenraum 3-dim. Unterraum durch feste Energie > Schnittfläche x- oder y-achse 2-dim. Poincaré Schnitte 6
19 Weiches Chaos : Poincaré Schnitt : Projektion des bedeckten Bereichs des Phasenraums auf Poincaré Schnittfläche 7
20 Weiches Chaos : Poincaré Schnitt : Projektion des bedeckten Bereichs des Phasenraums auf Poincaré Schnittfläche Invariante Tori und weiches Chaos für L 0 Für L 0 verschwinden die Strukturen 7
21 8
22 Hartes Chaos > Für L = 0 wechseln wir zur x-achse als Poincaré Schnittfläche, da diese öfter geschnitten wird > y nimmt nun auch negative Werte an, da Zentrifugalpotential verschwunden > Jegliche Struktur scheint verschwunden > Divergenz, bei x = 0 ungünstig für weitere Betrachtungen 9
23 Hartes Chaos > Für L = 0 wechseln wir zur x-achse als Poincaré Schnittfläche, da diese öfter geschnitten wird > y nimmt nun auch negative Werte an, da Zentrifugalpotential verschwunden > Jegliche Struktur scheint verschwunden > Divergenz, bei x = 0 ungünstig für weitere Betrachtungen 9
24 10
25 X = x 1 + u2 μ U = μ arctan u2 μ X 2,2 U μ π 2, μ π 2 10
26 X = x 1 + u2 μ U = μ arctan u2 μ X 2,2 U μ π 2, μ π 2 Flächenerhaltende Transformation von (u, x) auf (U, X) 10
27 Weich versus Hart 11
28 Weich versus Hart > Im Zentrum von Inseln der Stabilität sitzen stabile periodische Orbits > Erzeugen Strukturen des weichen Chaos 11
29 Weich versus Hart > Im Zentrum von Inseln der Stabilität sitzen stabile periodische Orbits > Erzeugen Strukturen des weichen Chaos In einem dynamischen System ohne stabile periodische Orbits herrscht hartes Chaos. 11
30 Trajektorien in der x-y-ebene > Kreis ist Kurve der maximalen potentiellen Energie > Grüner Punkte: Anfangspunkt > Roter Punkt: Endpunkt der Trajektorie 12
31 > Mehrere Trajektorien mit kleiner Differenz der Anfangsbedingung > Nach kurzer Zeit noch nicht auseinandergelaufen > In der Nähe des Ursprungs streuen die Trajektorien 13
32 > μ 2 = 1: Isotroper Grenzfall Ellipsen mit Fokus im Ursprung > Große μ 2 Oszillationen entlang y-achse, wegen hoher Trägheit in x- Richtung 14
33 Bei kleineren Anfangsabweichungen dauert es länger bis die Trajektorien sich trennen 15
34 Drehimpuls in z-richtung nicht erhalten! (siehe Cortés [4]) 16
35 > Lange Integration ist mit größerem Fehler behaftet > Kollisionen bewirken Veränderung der Trajektorien > Nahe an Singularitäten sollte die Schrittweite der Integration nicht zu gering gewählt werden! 17
36 Periodische Orbits d.h. sich wiederholende Trajektorien (Anfangsbedingungen aus Vortrag von Shimada: 18
37 und wie sie zu finden sind 19
38 und wie sie zu finden sind > Schwierig den ganzen Phasenraum abzusuchen 19
39 und wie sie zu finden sind > Schwierig den ganzen Phasenraum abzusuchen > Also wieder Poincaré Schnittfläche 19
40 und wie sie zu finden sind > Schwierig den ganzen Phasenraum abzusuchen > Also wieder Poincaré Schnittfläche > Nutzen Symmetrie: Bei zwei senkrechten Schnittpunkten ist gespiegelte Trajektorie periodisch 19
41 Poincaré Abbildung 20
42 Poincaré Abbildung Periodische Orbits sind Fixpunkte einer Poincaré Abbildung 20
43 Poincaré Abbildung Periodische Orbits sind Fixpunkte einer Poincaré Abbildung > Abbildung P von der Poincaré Schnittfläche auf sich selbst 20
44 Poincaré Abbildung Periodische Orbits sind Fixpunkte einer Poincaré Abbildung > Abbildung P von der Poincaré Schnittfläche auf sich selbst > Konsekutive Schnittpunkte: u 0, x 0, u 1, x 1, 20
45 Poincaré Abbildung Periodische Orbits sind Fixpunkte einer Poincaré Abbildung > Abbildung P von der Poincaré Schnittfläche auf sich selbst > Konsekutive Schnittpunkte: u 0, x 0, u 1, x 1, > Beim AKP alterniert das Vorzeichen von v P u k, x k = u k+2, x k+2, P 1 u k, x k = u k 2, x k 2 20
46 21
47 > Abbildung eines Intervalls der x-achse unter P 3 21
48 > Abbildung eines Intervalls der x-achse unter P 3 > Jede Kurve entspringt einem Teil des Intervalls, in dem die Vorzeichen der x- Schnitte gleich bleiben 21
49 > Abbildung eines Intervalls der x-achse unter P 3 > Jede Kurve entspringt einem Teil des Intervalls, in dem die Vorzeichen der x- Schnitte gleich bleiben > Binärsequenz b = b 0 b 2 i mit b j = sgn x j ist eindeutig für jede Kurve gibt auch periodischen Orbit mit b mit Anfangsbedingungen die Nullstelle der Kurve erzeugen 21
50 Vergleich mit Paper (aus Gutzwiller 1973 [2]) 22
51 Vergleich mit Paper (aus Gutzwiller 1973 [2]) 22
52
53 Diese Trajektorien sind zwar periodisch, aber instabil! Hinweis auf hartes Chaos 23
54 Abbildung des Intervalls der x-achse unter P 3 und P 3 24
55 Binäre Beschreibung der Trajektorien ξ = a j ሶ J=0 η = a j ሶ J= j+1 j (aus Gutzwiller [1], Seite 167) 25
56 Binäre Beschreibung der Trajektorien ξ = a j ሶ J=0 η = a j ሶ J= j+1 j > Flächen konstanten ξs und ηs sind instabile (expandierende) und stabile (kontrahierende) Mannigfaltigkeiten des AKP (aus Gutzwiller [1], Seite 167) 25
57 Binäre Beschreibung der Trajektorien ξ = a j ሶ J=0 η = a j ሶ J= j+1 j > Flächen konstanten ξs und ηs sind instabile (expandierende) und stabile (kontrahierende) Mannigfaltigkeiten des AKP > Charakteristisch für hart chaotische Systeme (aus Gutzwiller [1], Seite 167) 25
58 Binäre Beschreibung der Trajektorien ξ = a j ሶ J=0 η = a j ሶ J= j+1 j > Flächen konstanten ξs und ηs sind instabile (expandierende) und stabile (kontrahierende) Mannigfaltigkeiten des AKP > Charakteristisch für hart chaotische Systeme > Eigenschaft sogenannter Anosov Systeme (aus Gutzwiller [1], Seite 167) 25
59 Lyapunov Kennzahl (LCN) 26
60 Lyapunov Kennzahl (LCN) LCN = lim t ln t 0 LCN = 0: Normale Dynamik LCN > 0: Chaotisches Verhalten 26
61 Lyapunov Kennzahl (LCN) LCN = lim t ln t 0 LCN = 0: Normale Dynamik LCN > 0: Chaotisches Verhalten Δ 0,t : Maß der Abweichung zweier Trajektorien zur Zeit 0 bzw. t 26
62 Lyapunov Kennzahl (LCN) LCN = lim t ln t 0 LCN = 0: Normale Dynamik LCN > 0: Chaotisches Verhalten Δ 0,t : Maß der Abweichung zweier Trajektorien zur Zeit 0 bzw. t (Contopoulos et al. [3], Figure 1) 26
63 Lyapunov Kennzahl (LCN) LCN = lim t ln t 0 LCN = 0: Normale Dynamik LCN > 0: Chaotisches Verhalten Δ 0,t : Maß der Abweichung zweier Trajektorien zur Zeit 0 bzw. t LCN nach endlicher Zeit (Contopoulos et al. [3], Figure 1) 26
64 Anosov System: C 1 LCN C 2 mit C 1, C 2 > 0 für alle Trajektorien es gibt keine stabilen periodischen Orbits System hart chaotisch 27
65 Anosov System: C 1 LCN C 2 mit C 1, C 2 > 0 für alle Trajektorien es gibt keine stabilen periodischen Orbits System hart chaotisch (Contopoulos et al. [3], Figure 2) 27
66 Ist das anisotrope Keplersystem hart chaotisch? > Broucke 1985: Insel der Stabilität bei μ 2 1,5 > Contopoulos et al., 2005: AKP besitzt stabile periodische Orbits für μ 2 < > Gutzwillers Vermutung bisher nicht widerlegt: hartes Chaos für μ 2 > 2 (Contopoulos et al. [3], Figure 9) 28
67 Ist das anisotrope Keplersystem hart chaotisch? > Broucke 1985: Insel der Stabilität bei μ 2 1,5 > Contopoulos et al., 2005: AKP besitzt stabile periodische Orbits für μ 2 < > Gutzwillers Vermutung bisher nicht widerlegt: hartes Chaos für μ 2 > 2 hartes Chaos im AKP hängt von μ 2 ab (Contopoulos et al. [3], Figure 9) 28
68 Kurzzusammenfassung 29
69 Kurzzusammenfassung 29
70 Kurzzusammenfassung 29
71 Kurzzusammenfassung 29
72 Literatur 30
73 Literatur 1) Gutzwiller, Martin C Chaos in Classical and Quantum Mechanics. Bd. 1. Interdisciplinary Applied Mathematics. New York, NY [u.a.]: Springer. 2) Gutzwiller, Martin C The anisotropic Kepler problem in two dimensions. Journal of Mathematical Physics 14 (1): ) Contopoulos, G, und M Harsoula Stability and instability in the anisotropic Kepler problem. Journal of Physics A: Mathematical and General 38 (41). IOP Publishing: ) Cortés, Emilio The angular momentum in the classical anisotropic Kepler problem. Latin-American Journal of Physics Education 2 (2). Instituto Politécnico Nacional. 30
74 Literatur 1) Gutzwiller, Martin C Chaos in Classical and Quantum Mechanics. Bd. 1. Interdisciplinary Applied Mathematics. New York, NY [u.a.]: Springer. 2) Gutzwiller, Martin C The anisotropic Kepler problem in two dimensions. Journal of Mathematical Physics 14 (1): ) Contopoulos, G, und M Harsoula Stability and instability in the anisotropic Kepler problem. Journal of Physics A: Mathematical and General 38 (41). IOP Publishing: ) Cortés, Emilio The angular momentum in the classical anisotropic Kepler problem. Latin-American Journal of Physics Education 2 (2). Instituto Politécnico Nacional. Bildquellen: > Foto von M. C. Gutzwiller: By Vilallonga (Self-photographed) [CC BY-SA 2.5 ( via Wikimedia Commons > n-halbleiter: > Eff. Masse: > Andreas Ernst: Aufgerufen am
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