Der Duffing-Oszillator

Transkript

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3 Inhalt

4 Inhalt Erwartung im stationären Fall: eine instabile Ruhelage, zwei asymptotisch stabile Ruhelagen.

5 Inhalt Erwartung im stationären Fall: eine instabile Ruhelage, zwei asymptotisch stabile Ruhelagen. Idee: Potential V (x) = x 4 /4 x 2 /2

6 Erwartung im stationären Fall: eine instabile Ruhelage, zwei asymptotisch stabile Ruhelagen. Idee: Potential V (x) = x 4 /4 x 2 /2 2 Potential V(x) = x 4 /4 x 2 /2 für die Duffing Gleichung V(x) x

7 Inhalt 2. Newton sches Axiom: F = m a

8 2. Newton sches Axiom: F = m a Der Gradient von V bestimmt die Kraft.

9 2. Newton sches Axiom: F = m a Der Gradient von V bestimmt die Kraft. Potentialsystem: x = V = x x 3

10 Inhalt Zusätzlich betrachten wir Reibung z.b. durch Luft:

11 Zusätzlich betrachten wir Reibung z.b. durch Luft: x + δx x + x 3 = 0.

12 Inhalt Periodische Bewegung des Aufbaus:

13 Inhalt Periodische Bewegung des Aufbaus: x + δx x + x 3 = γ cos(ωt).

14 Inhalt Periodische Bewegung des Aufbaus: x + δx x + x 3 = γ cos(ωt).

15 Vereinfachungen:

16 Vereinfachungen: lineare Reibung

17 Vereinfachungen: lineare Reibung Modellierung der Magnetfelder

18 Vereinfachungen: lineare Reibung Modellierung der Magnetfelder eine Raumdimension

19 Krümmung im Ursprung des Stabs als Maß für die Auslenkung x(t).

20 Krümmung im Ursprung des Stabs als Maß für die Auslenkung x(t). Für γ nahe bei 0: periodische Bewegungen um einen der Magnete.

21 Krümmung im Ursprung des Stabs als Maß für die Auslenkung x(t). Für γ nahe bei 0: periodische Bewegungen um einen der Magnete. Für große γ: anscheinend chaotische Oszillationen

22 Beispiel für einen chaotischen Parameterwert

23 Beispiel für einen chaotischen Parameterwert (a) Beobachtungen (b) Simulation der Modellgleichung siehe [Guckenheimer, Holmes]

24 Zunächst: γ = 0, δ > 0.

25 Zunächst: γ = 0, δ > 0. Neuer Parameter β für den linearen Steifheitsterm.

26 Zunächst: γ = 0, δ > 0. Neuer Parameter β für den linearen Steifheitsterm. Umschreiben in ein System erster Ordnung: u = x, v = x u = v v = βu u 3 δv.

27 Ruhelagen:

28 Ruhelagen: (0, 0) für β < 0, d.h. schwache Magnete

29 Ruhelagen: (0, 0) für β < 0, d.h. schwache Magnete ( β 2, 0), (0, 0), (β 2, 0) für β > 0, d.h. starke Magnete

30 v Inhalt Trajektorien für γ = 0, δ = 0.25 und β = u

31 v Inhalt Trajektorien für γ = 0, δ = 0.25 und β = u

32 Zum Vergleich der Fall ohne Reibung: δ = 0 :

33 Zum Vergleich der Fall ohne Reibung: δ = 0 : Mit H(u, v) := v 2 2 β u2 2 + u4 4 gilt: u = v H = v v = u H = βu u 3

34 Zum Vergleich der Fall ohne Reibung: δ = 0 : Mit H(u, v) := v 2 2 β u2 2 + u4 4 gilt: u = v H = v v = u H = βu u 3 Das System ist also Hamilton sch.

35 1.5 Phasenportrait für γ, δ = 0 und β = x x

36 1.5 Phasenportrait für γ, δ = 0 und β = x x

37 Wirkung der Reibung:

38 Wirkung der Reibung: Das Geschwindigkeitsfeld wird nach innen gedreht.

39 v Inhalt Trajektorien für γ = 0, δ = 0.25 und β = u

40 v Inhalt Trajektorien für γ = 0, δ = 0.25 und β = u

41 β = 1, θ = t

42 β = 1, θ = t Wir erhalten ein autonomes System: u = v v = u u 3 δv + γcos(ωθ) θ = 1 für (u, v, θ) R 2 S 1.

43 Hyperebene im Phasenraum: S = {(u, v, θ) R 2 S 1 θ = 0}.

44 Hyperebene im Phasenraum: S = {(u, v, θ) R 2 S 1 θ = 0}. Poincaré Abbildung: P γ : S S

45 Hyperebene im Phasenraum: S = {(u, v, θ) R 2 S 1 θ = 0}. Poincaré Abbildung: P γ : S S P 0 = Zeit- 2π ω Abbildung

46 Erklärungsansatz für das komplexes Verhalten: invariante Mannigfaltigkeiten des hyperbolischen Fixpunkts p nahe (0, 0).

47 Erklärungsansatz für das komplexes Verhalten: invariante Mannigfaltigkeiten des hyperbolischen Fixpunkts p nahe (0, 0). W s (p) = {(u, v) d(p n γ (u, v), p) 0 für n } W u (p) = {(u, v) d(p n γ (u, v), p) 0 für n }

48 siehe dazu Abbildung in [Guckenheimer, Holmes]

49 Sei B der Abschluß einer offenen Menge in S mit der Eigenschaft P n γ (B) B für n > 0.

50 Sei B der Abschluß einer offenen Menge in S mit der Eigenschaft Pγ n (B) B für n > 0. Weiter sei A γ = Pγ n (B). n=0

51 Divergenz der Duffing-Gleichung: u (v) + v (u u 3 δv + γcos(ωθ)) + θ (1) = δ

52 Divergenz der Duffing-Gleichung: u (v) + v (u u 3 δv + γcos(ωθ)) + θ (1) = δ Der Fluss und damit P γ kontrahieren also Volumen.

53 Divergenz der Duffing-Gleichung: u (v) + v (u u 3 δv + γcos(ωθ)) + θ (1) = δ Der Fluss und damit P γ kontrahieren also Volumen. A γ ist also eine Nullmenge im R 2.

54 siehe dazu Abbildung in [Guckenheimer, Holmes]

55 Vermutung: A γ = W u (p)

56 Vermutung: A γ = W u (p) Annahme: γ hinreichend klein.

57 Vermutung: A γ = W u (p) Annahme: γ hinreichend klein. Poincaré-Bendixson: alle Orbits für Punkte x B W s (p) streben gegen eine der asymptotischen Ruhelagen

58 Vermutung: A γ = W u (p) Annahme: γ hinreichend klein. Poincaré-Bendixson: alle Orbits für Punkte x B W s (p) streben gegen eine der asymptotischen Ruhelagen A γ enthält also die Ruhelagen.

59 Idee: Verbinde x W s (p) mit y B durch eine Kurve.

60 Idee: Verbinde x W s (p) mit y B durch eine Kurve. x strebt gegen p und y gegen eine der stabilen Ruhelagen.

61 Idee: Verbinde x W s (p) mit y B durch eine Kurve. x strebt gegen p und y gegen eine der stabilen Ruhelagen. Aus dem Satz über Graphen-Transformation folgt das

62 Idee: Verbinde x W s (p) mit y B durch eine Kurve. x strebt gegen p und y gegen eine der stabilen Ruhelagen. Aus dem Satz über Graphen-Transformation folgt das alle Punkte der Kurve gegen Punkte aus W u (p) konvergieren.

63 Für große γ ist die Aussage noch nicht bewiesen.

64 Literatur Inhalt John Guckenheimer, Philip Holmes, Nonlinear Oscillation, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer Verlag