Limesmengen in planaren Systemen: Satz von Poincaré-Bendixson

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1 Limesmengen in planaren Systemen: Satz von Poincaré-Bendixson Tobias Bohl 1 Einleitung Im letzten Vortrag haben wir viel von Gleichgewichten gehört, dieser Vortrag handelt von einer anderen Möglichkeit, wie Funktionen im Unendlichen verlaufen können: Den periodischen Lösungen und Limesmengen, bei denen auch im Unendlichen immer wieder unterschiedliche Punkte erreicht werden, in einer Periode jedoch immer wieder dieselben. Dafür wollen wir in diesem Seminarvortrag auf den Satz von Poincaré-Bendixson hinarbeiten. Um den Satz zu verstehen, müssen wir uns erst noch Begrie wie den periodischen Orbit, den lokalen Schnitt und monotone Folgen anschauen. Im Anschluss wollen wir uns noch einige Anwendungen des Satzes ansehen. 2 Limesmengen Denition 2.1 (ω-limesmenge). Die ω-limensenge ist die Menge aller Y, für die es ein X und eine Folge {t n } n N mit t n für ein n gibt, sodass lim n φ tn (X) = Y, wobei φ tn ein dynamisches System ist. Diese Menge wird auch als ω(x) geschrieben. Denition 2.2 (α-limesmengen). Die α-limensenge ist die Menge aller Y, für die es ein X und eine Folge {t n } n N mit t n für ein n gibt, sodass lim n φ tn (X) = Y, φ tn wie oben. Diese Menge wird auch als α(x) geschrieben. Diese beiden Mengen sind meistens Kreise oder andere Figuren, an die sich dann die Lösungen annähern. Als Beispiel kennen wir hier den Einheitskreis, der auch im unendlichen immer wieder von den Funktionen sin und cos erreicht wird, es gibt aber auch Limesmengen, an die die Funktionen sich annähern und sie erst im Unendlichen erreichen. In höheren Dimension ist die Thematik weitaus komplizierter und wird in diesem Kapitel nicht behandelt. Beispiel 2.3. Sei ein planares System gegeben durch: r = 1 2 (r r3 ) θ = 1 Dieses Beispiel haben wir auch im letzten Vortrag bereits behandelt, nur haben wir uns dort mehr für die Lösungen interessiert, die auf ein Gleichgewicht zulaufen. Hier interessieren wir uns für die Lösungen, die in einem periodischen Orbit enden. 1

2 Abbildung 1: Figur zu Beispiel 2.3 Proposition Wenn X und Z auf der selben Lösung liegen, dann ist auch ω(x) = ω(z) und α(x) = α(z) 2. Sei D eine abgeschlossene, positive invariante Menge und Z D, dann ist ω(z) D, genauso für negative invariante Mengen und α-limesmengen 3. Eine abgeschlossene, invariante Menge und, insbesondere, eine Limesmenge, enthält die α- und ω-limesmengen aller ihrer Punkte Beweis. zu 1. Sei Y in ω(x) und φ s (X) = Z. Falls dann φ tn (X) gegen ein Y läuft, dann ist φ tn s(z) = φ tn (X), welches gegen Y läuft, also ist Y in ω(z) zu 2. Sei φ tn Y wenn t n, dann haben wir t n 0 für ausreichend groÿe n, sodass φ tn (Z) D, also ist Y D, da D eine abgeschlossene Menge ist zu 3. Folgt direkt aus 2. 3 Lokaler Schnitt und Flussboxen Denition 3.1 (Lokaler Schnitt in X). Sei l(x 0 ) die zu F (X 0 ) senkrechte Gerade, die X 0 enthält. Nun heiÿt ein oenes Teilintervall S von l(x 0 ), sodass für jedes X S F (X) nicht parallel zu l(x 0 ) ist, lokaler Schnitt in X 0. Ein lokaler Schnitt kann nur in eine Richtung durchstoÿen werden. Abbildung 2: Links: Lokaler Schnitt, Mitte und Rechts: Flussbox Im weiteren Verlauf gebrauchen wir ab und zu den Begri einer Flussbox, hier eine kurze Erklärung: Eine Flussbox gibt das Verhalten der Trajektorien um einen Punkt, der kein Gleichgewichtspunkt ist, wieder. Sie wird in Verbindung mit einem lokalen Schnitt konstruiert und gibt, wie bereits gesagt, eine Beschreibung der Trajektorien, die sich bei fortlaufender und bei rückläuger Zeit von den 2

3 Punkten des lokalen Schnittes aus bilden. Diese Trajektorien schneiden sich nicht (Siehe Abbildung 2). Proposition 3.2. Sei S ein lokaler Schnitt in X 0 und φ t0 (Z 0 ) = X 0. Sei W eine Umgebung von Z 0. Dann gibt es eine oene Menge U W, welche Z 0 beinhaltet und eine stetige Funktion τ : U R, sodass τ(z 0 ) = t 0 und X U : φ τ(x) (X) S (siehe Abbildung 3) Abbildung 3: Figur zu Proposition 3.2 Beweis. Sei F (X 0 ) der Vektor (α, β) 0. Für Y = (y 1, y 2 ) R 2 denieren wir eine Funktion η : R 2 R durch: η(y ) = Y F (X 0 ) = αy 1 + βy 2 Nun stellen wir fest, dass Y genau dann Teil von l(x 0 ) ist, wenn Y = X 0 +V, wobei V die Steigung von l(x 0 ) hat und normiert ist, sodass V F (X 0 ) = 0. Also ist Y l(x 0 ) genau dann wenn η(y ) = Y F (X 0 ) = X 0 F (X 0 ). Jetzt denieren wir eine Funktion G : R 2 R R durch: G(X, t) = η(φ t (X)) = φ t (X) F (X 0 ) Nun haben wir G(Z 0, t 0 ) = X 0 F (X 0 ) da φ t0 (Z 0 ) = X 0. Weiter gilt: G t (Z 0, t 0 ) = F (X 0 ) 2 0 Somit können wir den Satz für implizite Funktionen anwenden um eine glatte Funktion τ : R 2 R zu nden, die auf einer Umgebung U 1 von (Z 0, t 0 ) deniert ist, sodass τ(z 0 ) = t 0 und G(X, τ(x)) G(Z 0, t 0 ) = X 0 F (X 0 ). Also liegt φ τ(x) (X)) auf l(x 0 ). Wenn U U 1 eine ausreichend kleine Umgebung von Z 0 ist, dann ist wie erforderlich φ τ(x) (X) S. 4 Die Poincaré-Abbildung Denition 4.1 (Periodischer Orbit). Sei X ein Punkt, der nicht auf einer Gleichgewichtslösung liegt. Wenn es nun ein t > 0 (Zeit) gibt, sodass φ t (X) = X, dann heiÿt diese Kurve γ periodischer Orbit. Das kleinste solche t > 0 heiÿt Periode der Funktion. Periodische Orbits können entweder stabil, asymptotisch stabil oder instabil sein, die Denitionen sind wie bei Gleichgewichtslösungen, die Bestimmungen allerdings deutlich komplizierter. Ein Werkzeug hierfür ist die Poincaré-Abbildung. Sei nun γ ein periodischer Orbit, dann gibt es eine Poincaré-Abbildung für γ, was in einem periodischen Orbit wie folgt deniert ist: 3

4 Denition 4.2 (Poincaré-Abbildung). Sei X 0 ein gewählter Punkt auf einem periodischen Orbit γ und S ein lokaler Schnitt in X 0. Wir betrachten den Ort der ersten Rückkehr nach S. Dafür haben wir die Funktion P mit, für gegebenes X S, P(X)=φ t (X) S, wobei t die kleinste positive Zeit ist, für die φ t S Allerdings ist dies nicht für jeden Punkt von S der Fall, einige kehren nicht wieder zurück, aber wir wissen sicher, dass P (X 0 ) = X 0 und auch in der Umgebung von X 0 ist diese Funktion deniert. Proposition 4.3. Sei F(X) = X' ein planares System und angenommen, X 0 liege auf dem periodischen Orbit γ. Sei P eine Poincaré-Abbildung, deniert in der Umgebung von X 0 in einem lokalen Schnitt. Falls P'(X) < 1, dann ist γ asymptotisch stabil. Beweis. Übertrage man P in die reellen Zahlen und nehmen wir X 0 = 0 R, sodass P(0) = 0, wie bei einer linearen Abbildung. Nun sei P'(0) < 1, es folgt also P(x) = ax + Terme von höherer Ordnung, wobei a < 1. Also ist für x nahe 0, P(x) näher an 0 als x, also bringt jeder Durchgang durch S die Lösung näher an γ, also ist γ asymptotisch stabil 5 Monotone Folgen in planaren, dynamischen Systemen Denition 5.1 (monoton). Sei X 0, X 1,... R 2 eine endliche oder unendliche Folge von verschiedenen Punkten auf der Lösungskurve durch X 0. Diese Folge ist monoton entlang der Lösung, wenn φ tn (X 0 ) = X n für 0 t 1 < t 2... Sei Y 0, Y 1,... eine endliche Folge von Punkten auf einem Geradenabschnitt I in R 2. Diese Folge ist monoton entlang I, wenn in der natürlichen Ordnung entlang von I Y n zwischen Y n 1 und Y n+1 liegt für alle n 1. Eine Folge von Punkten kann auf dem Schnitt einer Lösungskurve und einem Geradenabschnitt liegen. Die Folge kann auch nur auf einem der beiden monoton sein. Abbildung 4: 2 Beispiele für monotone Folgen, links ist nur die Folge entlang der Lösung monoton, rechts ist die Folge entlang der Lösung und entlang dem lokalen Schnitt monoton Proposition 5.2. Sei S ein lokaler Schnitt für planare Systeme von Dierentialgleichungen und sei Y 0, Y 1,..., eine Folge von disjunkten Punkten auf S, die auf der selben Lösungskurve liegen. Wenn diese Folge monoton entlang der Lösung ist, dann ist sie auch monoton entlang S. Beweis. Es genügt zu prüfen, ob es bei 2 Punkten auf S möglich ist, einen dritten zu setzen, der monoton auf der Lösung ist, aber nicht auf S. Sei D der Bereich, der von der Strecke von Y 0 nach Y 1 und S umschlossen ist (siehe Abbildung 5). Damit zwischen diesen beiden Punkten noch ein dritter gesetzt werden kann, muss der Bereich D erneut betreten werden. Ein lokaler Schnitt kann nur in eine Richtung durchstoÿen werden, also kann D nicht durch S wieder betreten werden. Die 4

5 Stelle von Y 0 nach Y 1 ist selbst Teil einer Lösungskurve und da Lösungskurven eindeutig sind, kann auch auf diesem Weg D nicht wieder betreten werden. Insgesamt kann D also nicht erneut betreten werden, womit gezeigt ist, dass kein dritter Punkt zwischen Y 0 und Y 1 gesetzt werden kann. Abbildung 5: Figur zu Proposition 5.2 Proposition 5.3. Sei in einem planaren System Y ω(x). Dann schneidet die Lösung durch Y jeden lokalen Schnitt in maximal einem Punkt. Dasselbe gilt für Y α(x) Beweis per Widerspruch. Angenommen, Y 1 und Y 2 seien disjunkte Punkte auf der Lösung durch Y und S sei ein lokaler Schnitt, der Y 1 und Y 2 enthält. Weiter sei angenommen, dass Y ω(x) (Argument für Y α(x) ist gleich). Dann ist Y k ω(x) für k = 1,2. Seien υ k Flussboxen an Y k, deniert durch Intervalle J k S. Wir nehmen an, dass J 1 und J 2 disjunkt sind. (siehe Abbildung 6) Abbildung 6: Beweis von Proposition 5.3 Die Lösung durch X betritt jedes υ k unendlich oft, also durchläuft sie J k unendlich oft. So gibt es eine Folge a 1, b 1, a 2, b 2,..., die monoton entlang der Lösung durch X ist mit a n J 1 und b n J 2 für n = 1,2,... Eine solche Folge kann allerdings nicht monoton entlang S sein da J 1 und J 2 disjunkt sind, dies widerspricht der vorherigen Proposition. 6 Satz von Poincaré-Bendixson Satz 6.1. Angenommen, Ω sei eine nichtleere, abgeschlossene und beschränkte Limesmenge eines planaren Systems, die keinen Gleichgewichtspunkt enthält. Dann ist Ω ein periodischer Orbit. Beweis. Idee: Sei Y ω(x), dann zeigen wir zuerst, dass Y auf einem periodischen Orbit γ liegt und dann γ = ω(x) Da Y ω(x), ist ω(y ) eine Untermenge von ω(x) (Proposition 2.4). Nun sei Z ω(y ) und 5

6 S ein lokaler Schnitt in Z und V eine Flussbox, die S zugeordnet ist. Nach Proposition 5.3 trit die Lösung durch Y S in genau einem Punkt. Andererseits gibt es eine Folge t n, sodass φ tn (Y ) Z. Also benden sich unendlich viele φ tn (Y ) in V. Nun gibt es Zeiten r, s R mit r > s und φ r (Y ), φ s (Y ) S. Es folgt, dass φ r (Y ) = φ s (Y ); so gibt es φ r s (Y ) = Y, also muss S auf einem Gleichgewicht oder auf einem periodischen Orbit liegen, da wir die Gleichgewichtslösung allerdings ausgeschlossen hatten, muss S auf einem periodischen Orbit γ liegen. Es bleibt zu zeigen: γ = ω(x), also d(γ, φ t (X)) = 0 für t gegen. Nun sei γ ein periodischer Orbit und S ein lokaler Schnitt in Y γ, ɛ > 0, V ɛ eine Flussbox, die S zugeordnet ist und t 0 < t 1 <... eine Folge sodass: 1. φ tn (X) S 2. φ tn (X) Y 3. φ t (X) / S für t n 1 < t < t n, n = 1, 2... Wenn X n = φ tn (X), dann sind die X n eine monotone Folge in S, welche gegen Y konvergiert (da sie monoton entlang S sein muss, Proposition 5.2). Nun behaupten wir es gebe eine obere Grenze für den Abstand (t n+1 t n ). Um dies zu zeigen nehmen wir φ τ (Y ) = Y, τ > 0. Dann ist für X n, ausreichend nah an Y φ τ (X n ) V ɛ (aber noch nicht in S) und dann φ τ+t (X n ) S für t [ ɛ, ɛ], da dies der Gröÿe der Flussbox entspricht und dann Proposition 3.2 angewandt wird. Daher ist t n+1 t n τ + ɛ Dies beweist die Existenz einer oberen Schranke. Sei β > 0 ausreichend klein. Wegen der stetigen Abhängigkeit der Lösung von den Anfangsbedingungen, existiert ein δ > 0, sodass, wenn Z Y < δ und t τ + ɛ, dann ist φ t (Z) φ t (Y ) < β. Nun wähle man n 0 so groÿ, dass X n Y < δ für alle n n 0. Dann gilt: falls t τ + ɛ und n n 0. Nun sei t t n0 Dann folgt: φ t (X n ) φ t (Y ) < β und n n 0, sodass: t n t t n+1 d(φ t (X), γ) φ t (X) φ t tn (Y ) = φ t tn (X n ) φ t tn (Y ) < β da t t n τ + ɛ. Dies zeigt, dass für groÿe t der Abstand von φ t (X) zu γ kleiner ist als β. Dies vollendet den Beweis des Satzes von Poincaré-Bendixson. Ein weiteres Beispiel für eine ω-limesmenge, die weder periodischer Orbit, noch Gleichgewichtslösung ist, ist eine homokline Lösung. Um dies zu verstehen denieren wir uns zunächst ein hamilitonisches System und dann die homokline Lösung. Denition 6.2 (Hamilitonisches System). Ein Hamilitonisches System H im R 2 ist ein System der Form x = H (x, y) y y = H (x, y) x wobei H : R 2 R eine unendlich oft stetig dierenzierbare Funktion, genannt die Hamilitonische Funktion, ist. 6

7 Beispiel 6.3. Nehmen wir das folgende Hamilitonische System: Es ergibt sich: H(x, y) = x4 4 x2 2 + y2 2 x = y = yh y = x 3 + x = xh Hamilitonische Systeme sind konstant entlang jeder Lösung des Systems, daher kann man das Phasenportrait zeichnen, ohne das System gelöst zu haben. Denition 6.4 (Homokline Lösung). In einem dynamischen System mit dem Ursprung als Gleichgewichtspunkt heiÿen Lösungen, die sowohl bei fortschreitender Zeit, als auch bei zurückgehender Zeit den Ursprung erreichen, homokline Lösungen. Beispiel 6.5. Nehmen wir das System: x = y ( x4 4 x2 2 + y2 2 )(x3 x) = yh H xh y = x 3 x ( x4 4 x2 2 + y2 )y = xh H yh 2 Durch Nachrechnen zeigt sich, dass es drei Gleichgewichtspunkte gibt: (0,0), (-1,0) und (1,0). Der Ursprung ist ein Sattel, die anderen beiden sind Quellen (siehe Abbildung 7). Nun kann man beobachten, dass Lösungen, die weit weg vom Ursprung sind, sich nahe zum Ursprung und einem Paar homokliner Lösungen, von denen jede den Ursprung verlässt und zurückkommt, bewegen und dort anhäufen. Lösungen, die von einer der Quellen ausgehen haben eine ω-limesmenge, die nur aus einer homoklinen Lösung und dem Ursprung besteht. Abbildung 7: Figur zu Beispiel Anwendungen von Poincaré-Bendixson Satz 6.1 bestimmt alle möglichen Verhalten eines planaren Flusses. Denition 7.1 (Grenzzyklus). Sei γ ein periodischer Orbit, sodass γ ω(x) (bzw. α(x)) für ein X, welches nicht auf γ liegt. Dann heiÿt γ ω-grenzzyklus (bzw. α-grenzzyklus). Bemerkung 7.2. Nicht jeder periodische Orbit ist gleichzeitig ein Grenzzyklus, es gibt auch einige peridische Orbits, an die sich nicht angenähert wird, sondern die von Beginn an erreicht sind, wie zum Beispiel der Einheitskreis bei einigen Funktionen. Korollar Sei γ ein ω-grenzzyklus und γ = ω(x), aber X / γ, dann ist für alle Punkte Y aus der Umgebung von X γ = ω(y ) 7

8 2. Eine abgeschlossene und beschränkte Menge K, die positiv oder negativ invariant ist, enthält entweder einen Grenzzyklus oder eine Gleichgewichtslösung 3. Sei γ ein periodischer Orbit und U das Innere von γ, dann enthält U entweder eine Gleichgewichtslösung oder einen Grenzzyklus 4. Sei γ ein periodischer Orbit, der die Grenze einer oenen Menge U bildet. Dann enthält U einen Gleichgewichtspunkt 5. Sei H ein erstes Integral eines planaren Systems, also d dth(x(t)) = 0. Wenn es keine oene Menge gibt, auf der H konstant ist, dann gibt es keinen Grenzzyklus. 6. Sei L eine strenge Liapunov-Funktion in einem planaren System, also eine Funktion L : R 2 R mit d dt L(x(t)) < 0 dann gibt es keine Grenzzyklen. Beweis. zu 1: Angenommen, φ t (X) bewegt sich gegen γ für t. Sei S ein lokaler Schnitt in Z. Dann gibt es ein Intervall T S, welches disjunkt von γ ist und beschränkt wird durch φ t0 (X) und φ t1 (X), wobei t 0 < t 1 und für ein t mit t 0 < t < t 1, trit es die Lösung nicht (Abbildung 8). Die ringförmige Region A, beschränkt durch γ, {φ t (X) t 0 t t 1 } und T, ist nun positiv invariant. Jetzt denieren wir B = A γ. Fall 1: X B: Es ist einfach zu sehen, dass φ t (Y ) gegen γ läuft für alle Y B. Fall 2: X / B: Hier benutzen wir den Stabilitätssatz aus dem Vortrag "Dynamische Systeme I". γ umschlieÿt ein beschränktes Gebiet. Damit ist φ t (X) Lipschitz-Stetig, was u.a. bedeutet, dass Trajektorien nah beieinander bleiben. Nun muss es hier (Fall 2) eine Zeit t 1 geben, sodass φ t (X) A und es eine Umgebung U von φ t (X) gibt, welche in A liegt. Jetzt muss man nur noch O so klein wählen, dass jede Trajektorie, die in O startet nach Zeit t 1 in U liegt. Abbildung 8: Figur zum Beweis von Korollar 1 zu 2: Sei X K, dann muss ω(x) auch in K liegen. Also muss K entweder ein Gleichgewichtspunkt oder einen Grenzzyklus enthalten. zu 3: Sei D die vereinigte Menge von U und γ (abgeschlossen und beschränkt). Dann ist D invariant, da keine Lösung aus U γ übertreten kann (da abgeschlossen und beschränkt). Wenn U weder Grenzzyklen, noch Gleichgewichtslösungen enthält, dann muss für alle X U gelten: ω(x) = α(x) = γ (nach Poincaré-Bendixson) und es muss einen lokalen Schnitt S in Z geben, sodass es t und s geben muss, wobei φ tn (X), φ sn (X) S und φ tn (X), φ sn (X) Z wenn n. Dies ist aber ein Widerspruch gegen die Aussage aus Kapitel 5 über monotone Folgen. 8

9 zu 4: Angenommen, U enthalte keinen Gleichgewichtspunkt, dann unterscheiden wir in 2 Fälle Fall 1: U enthält endlich viele periodische Orbits, dann gibt es einen kleinsten, der keinen periodischen Orbit (oder Gleichgewichtspunkt, Annahme) enthält, dies widerspricht dem letzten Korollar. Fall 2: U enthält unendlich viele periodische Orbits, wenn dann X n gegen X in U läuft und jedes X n auf einem periodischen Orbit liegt, muss auch X auf einem periodischen Orbit liegen, sonst gäbe es einen Grenzzyklus und das widerspräche Korollar 1. Sei nun v 0 die gröÿte untere Schranke an die Fläche der Gebiete, die von Orbits in U umschlossen sind. Sei {γ n } eine Folge von periodischen Orbits, die Gebiete der Fläche v n umschlieÿen, sodass lim n v n = v. Sei X n γ n. Da γ vereinigt U abgeschlossen und beschränkt ist, dürfen wir annehmen, dass X n X U. Dann liegt X, da U keine Gleichgewichtslösung enthält (Annahme), auf einem periodischen Orbit β, der ein Gebiet der Fläche v umschlieÿt. Nun muss v > 0, da es nach Annahme kein Gleichgewichtspunkt sein kann. Dadurch, dass die Folge konvergiert, müssen die einzelnen Startwerte in einer Flussbox liegen und da es unendlich viele Orbits sind, müssen auch unendlich viele ineinander liegen, sie können nicht so in unterschiedliche Richtungen verlaufen, dass sie mit nur endlich vielen ineinander liegen und dann zeigt das gewöhnliche Schnittargument, dass für n, γ n beliebig nah gegen β geht und, dass die Fläche des Gebietes zwischen γ n und β, gegeben durch v n v, gegen 0 konvergiert. Dann beweist das vorherige Argument einen Widerspruch zu Korollar 3. zu 5: Angenommen, es gäbe einen Grenzzyklus γ. Sei c R der konstante Wert von H auf γ. Wenn X(t) eine an γ herangehende Lösung ist, dann ist H(X(t)) c wegen der Stetigkeit von H. Nach Korollar 1 nden wir dann eine oene Menge mit Lösungen, die an γ herangehen; also ist H konstant auf einer oenen Menge. zu 6: Eine strenge Liapunov-Funktion ist streng monoton fallend, dann kann kein Punkt, auch im Unendlichen, doppelt vorkommen, also kann es auch keine Grenzzyklen geben (da Grenzzyklen irgendwann immer bei einem Punkt ankommen, bei dem sie schonmal waren) 8 Chemische Reaktionen, die oszillieren Lange Zeit dachte man in der Chemie, dass alle chemischen Reaktionen monoton gegen ein Gleichgewicht laufen, doch in den 1950er Jahren hat der russische Biochemiker Belousov eine Reaktion zwischen Zitronensäure, Bromat-Ionen und Schwefelsäure, kombiniert mit einem Cer-Katalysator, entdeckt, die lange oszilliert, bevor sie ein Gleichgewicht erreicht. Das Gebräu wechselt sehr lange Zeit den Farbton zwischen gelb und farblos. Die Reaktion heiÿt Belousov-Zhabotinsky-Reaktion (kurz: BZ-Reaktion) und ist ein groÿer Wendepunkt in der Chemie. Inzwischen sind sehr viele solche oszillierende Gleichungen bekannt, auch einige, die deutlich chaotischer ablaufen. Ein einfaches Beispiel einer solchen Gleichung wollen wir uns hier anschauen: Die Wechselwirkung von Chlordioxid-Iod-Malonsäure. Die Formel ist zwar sehr kompliziert, aber es gibt folgende approximative Gleichung, die sehr einfach zu lösen ist: x = a x 4xy 1 + x 2 y = bx(1 y 1 + x 2 ) 9

10 wobei x und y die Konzentrationen von I und CIO2 Parameter. repräsentieren und a und b seien positive Nun kann man ganz grob in vier Fälle unterscheiden. Diese vier Fälle sind auch in Abbildung 9 zu sehen. 5 Fall 1: a 0, b 0, a > 5 3, b = 3 5 a 25 a, Fall 2: a 0, b 0, sonst, Fall 3: a = 0, b 0, Fall 4: a 0, b = 0. Hier kann man nun unterschiedliche Verhalten beobachten: Fall 1: Der Fall, der uns hier am meisten interessiert. Es bildet sich ein Periodischer Orbit um den Punkt mit x = a 5 und y = 1 + x2 Fall 2: Bei x = a 5 und y = 1 + x2 ist ein Gleichgewicht, um welches die Lösungen sich annährend winden und es dann irgendwann erreichen. Fall 3: Hier sind alle Punkte mit x = 0, also die gesamte y-achse Gleichgewichtspunkte, auch hier nähern sich die Kurven an, aber direkter. Fall 4: Hier werden ähnliche Gleichgewichtspunkte erreicht wie in Fall 1, allerdings ist aufgrund von b = 0 jegliche Steigung weg und erst recht gibt es keine periodischen Lösungen zu beobachten. Abbildung 9: Hier haben wir die 4 Fälle alle nebeneinander. Von links nach rechts wie folgt: Fall 1: a = 7, b = 22 35, es bildet sich eine periodische Lösung um den Punkt ( 7 5, ); Fall 2: a = 5, b = 4, Die Kurven laufen alle in das Gleichgewicht bei (1,2); Fall 3: a = 0, b = 4, jeder Punkt auf der y-achse ist eine Gleichgewichtslösung; Fall 4: a = 5, b = 0, die Gleichgewichtspunkte verlaufen auf einer Kurve, jegliche Steigung wurde genommen Abschlieÿend kann man hier also betrachten, dass die Parameter a und b ziemlich ausschlaggebend für den Verlauf der Reaktion sind, auÿerdem erreichen die Kurven unterschiedlich schnell das Gleichgewicht bzw. erreichen bei perfekten Bedingungen überhaupt kein Gleichgewicht, diese Zeit, nach der (wenn überhaupt) die Funktion nicht mehr oszilliert, ist abhängig sowohl vom Mischverhältnis, als auch von der Menge der beiden Stoe I und CIO 2. 10