Poincaré-Schnitte. Ein Vortrag im Rahmen des Proseminars Theoretische Physik von Kai Hühn und Robin Mevert

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1 Poincaré-Schnitte Ein Vortrag im Rahmen des Proseminars Theoretische Physik von Kai Hühn und Robin Mevert

2 Themen 1. Was sind Poincaré-Schnitte?. Anwendung: Poincaré-Schnitte Mathematica-Beispiel: Attraktor 3. Stabilität der Fixpunkte 1-D, -D und viele 4. Hopf Bifurcation Superkritische Subkritische 5. Geschlossene Orbits 6. Quasiperiodizität

3 Was sind Poincaré-Schnitte? Betrachten die Differentialgleichung x t = f x t eines n-dim. Systems mit rotierendem Verlauf Sei S eine (n 1)-dim. Hyperfläche (Poincaré-Schnitt) die transversal zur Trajektorie steht und durch diese geschnitten wird. Dann ist P dies Poincaré-Abbildung die einen Schnittpunkt x k auf P x k = x k+1 abbildet. Liegt ein Fixpunkt, damit eine geschlossene Trajektorie vor so gilt: P x E = x E Reduzierung der Analyse um eine Dimension Weniger kompliziert

4 Was sind Poincaré-Schnitte?

5 Was sind Poincaré-Schnitte?

6 Anwendung: Poincaré-Schnitte Beispiel 1: Ermittlung der Fixpunkte auf Poincaré-Schnitt Suchen also geschlossenen Orbit im Phasenraum. Gegeben: r = r(1 r ), θ = 1 dr dt = r 1 r dr r 1 r P r 0 =r 1 r 0 dr r 1 r = 0 π = dt dt = π P(r) = 1 + e 4π r 0 1 1

7 Anwendung: Poincaré-Schnitte Funktion: P(r) = 1 + e 4π r Schnitt mit der Geraden P r = r gibt FP (hier Limitcycle bei r = 1 und Fixpunkt bei r = 0).

8 Anwendung: Poincaré-Schnitte Warum nicht einfach? : r = r 1 r = 0 r=0 r = 1 Keine Aussage möglich über: Zwischenwerte, damit über Schnelligkeit Stabilität der Fixpunkte (stabil, instabil, halbstabil)

9 Mathematica-Beispiel (Attraktoren)

10 Stabilität der Fixpunkte 1-D Stabilität von Fixpunkten: x = x E x E = P(x E ) mit FP x E Führen Störung ξ ein: x = x E +ξ x i+1 = x E + ξ i+1 P x E + P (x E )ξ i + 1 P (xe )ξ i P (xe )ξ i 3 + Wir benutzen das x E = P(x E ) und führen Koeffizienten C,D,E ein: ξ i+1 Cξ i +Dξ i +Eξ i 3 +

11 Stabilität der Fixpunkte 1-D Für sehr kleine Störungen gilt: ξ i+1 Cξ i ξ i C i ξ 0 Einfluss von C > 0: Bei 0 < C < 1 abnehmende Störung Fixpunkt stabil Bei C = 1 keine Aussage über Stabilität möglich Bei C > 1 zunehmende Störung Fixpunkt instabil

12 Stabilität 1-D Poincaré-Schnitte Für sehr kleine Störungen gilt: ξ i+1 Cξ i ξ i C i ξ 0 Einfluss von C < 0: Bei 1 < C < 0 abnehmende Störung Fixpunkt stabil Bei C = 1 keine Aussage möglich Bei C < 1 wachsende Störung Fixpunkt instabil

13 Stabilität 1-D Poincaré-Schnitte Bemerkung: Bisher wurden periodische Orbits mit n=k vernachlässigt n = 1: x i+1 = P(x i ) = x i n = k: x i+1 = P(x i ) x i+ = P P x i x i+k = P k x i = x i = P x i Bei Taylorapproximation muss Kettenregel beachtet werden: P P x y = P(x) z = P(P x ) [P(P x )] x = P x (x)p x (P(x))!

14 Stabilität -D Poincaré-Schnitte Betrachtung des Problems : x i+1 = F x i, y i y i+1 = G x i, y i Seien x E = F x E, y E und y E = G(x E, y E ) Fixpunkte, sodass : x i = x E + ξ i y i = y E + η i Damit : x i+1 = x E + ξ i+1 = F(x E + ξ i, y E + η i ) y i+1 = y E + η i+1 = G(x E + ξ i, y E + η i )

15 Stabilität -D Poincaré-Schnitte Taylorn liefert: ξ i+1 F x ξ i + F y η i + 1 F xxξ i + F xy ξ i η i + F yy η i + η i+1 G x ξ i + G y η i + 1 G xxξ i + G xy ξ i η i + G yy η i + Kleine Störungen ξ i und η i : ξ i+1 = a ξ i + b η i η i+1 = c ξ i + d η i ξ i+1 = J ξ i J = F x F y G x G y = a b c d λ 1 und λ sind Eigenwerte von der Jacobi-Matrix J.

16 Stabilität -D Poincaré-Schnitte λ 1 und λ reell : u i+1 = λ 1 u i In Eigenbasis der Jacobi-Matrix v i+1 = λ v i Fallunterscheidungen: λ 1, < 1: Fixpunkt ist stabil für kleine Störungen λ 1 und λ oder beide > 1: halbstabiler/instabiler Fixpunkt λ 1 oder λ = 1: keine Aussage durch lin.approx. Möglich Wir können Stabilität in den Eigenbasen der Jacobi-Matrix wie in einer Dimension einzeln betrachten.

17 Stabilität -D Poincaré-Schnitte Beispiel für λ 1 = 0,9 und λ =-1,1 : Papierflieger!

18 Stabilität -D Poincaré-Schnitte komplex konjugierte Eigenwerte: z.b. λ 1, = α ± iβ Eigenwertgleichungen der Störung (lin.approx.): u i+1 = αu i βv i v i+1 = βv i + αu i : : Für i = k folgt in Polarkoordinaten: r k = ρ k r 0 (1) θ k = θ 0 + kφ Gleichung () für Stabilität nicht wichtig, da Phase.

19 Stabilität -D Poincaré-Schnitte Wichtige Gleichung: r k = ρ k r 0 Fallunterscheidung: ρ < 1: Fixpunkt stabil ρ = 1: keine Aussage möglich

20 Stabilität -D Poincaré-Schnitte Wichtige Gleichung: r k = ρ k r 0 Fallunterscheidung: ρ > 1: Fixpunkt instabil Was passiert bei komplexen Eigenwerten?

21 Stabilität in vielen Dimensionen Seien nun x(t) = x t = x E + ξ(t) und x E = x E Vektoren : x t = P x t x E = lim x t = P(x E ) t Führen kleine Störung ξ(t) = ξ(t) mit ξ 1 ein und entwickeln am Punkt x E : x E + P x E + ξ(t) P x E + dp dx ξ(t) + x E P x E + ξ(t) = x E dp dx x E ξ(t) +

22 Stabilität in vielen Dimensionen P x E + ξ(t) dp dx x E ξ(t) + Mit x t = d dt xe + ξ(t) = ξ(t) und x t = P x E + ξ(t) : ξ t = dp dx x E ξ(t) Wir haben also eine lineare DGL 1.Ordnung mit Lösung: ξ t dp = e dxx E t ξ(0)

23 Stabilität in vielen Dimensionen Wir zerlegen ξ 0 = i c i v i in Eigensystem von dp dxx E mit EW α i : ξ t dp = e dxx E t ξ 0 dp = i c i e dxx E t v i = i c i e α i t v i Nehmen wir an kompl. EW α i = Re α i + i Im(α i ) : ξ t = i c i e Re(α i) t e i Im(α i) t v i < 1 relevant Phase (nicht relevant) Wir brauchen nur Realteil betrachten!

24 Hopf Bifurcation Abhängig von Parameter μ Verschiedene Arten Subkritisch Superkritisch Poincaré-Andronov-Hopf Bifurcation

25 Hopf Bifurcation Wann tritt eine Bifurcation auf? Betrachte Eigenwerte (EW) der Jakobimatrix EW schneiden imaginäre Achse: Einzelnd Gleichzeitig Erhalten dort die Bifurcation Superkritisch Subkritisch

26 Hopf Bifurcation: Superkritisch Gedämpfter Oszillator mit Dämpfung abhängig von μ a. Bekannt b. Interessanter Fall

27 Hopf Bifurcation: Superkritisch Betrachte das System μ hat Einfluss auf Stabilität ω : Winkelgeschwindigkeit 3 r r - r br b : Zusätzliche Winkelgeschwindigkeit für große Amplituden

28 Hopf Bifurcation: Superkritisch Wie sieht die Theorie dazu aus? Betrachte die EW der Jacobimatrix Jakobimatrix: ), ( ), ( ]) [ ( ]) [ ( )sin ( )cos ( sin cos 3 y x y x y y x x x y y x b x y x br r r r r r x J i 1,

29 Hopf Bifurcation: Subkritisch In realen Systemen der gefährlichere Fall Sprung bei Bifurcation zu Entfernten Attraktor Fixpunkt Limit circle Unendlich Bsp: Fixpunkt wird unstabil und bildet entfernten limit circle

30 Hopf Bifurcation: Subkritisch 3 r r r br r 5 Plot im Phasenraum für Verschiedene μ: Verschmelzung und Zerstörung von stabilem und instabilen limit circle für μ<0.5. Große Oszillationen können verloren gehen

31 Hopf Bifurcation Kriterium Können uns fragen was für eine Art Bifurcation vorliegt. Antwort: Analytisch kompliziert Einfacher mit Computer Superkritisch: Fixpunkt wird unstabil stabiler limit circle Subkritisch: Alle anderen Fälle

32 Hopf Bifurcation Kriterium Wo liegt die Bifurcation? Jakobimatrix Bifurcation at μ=0 x x y y xy x y y A 1 i 1 3 Superkritisch oder Subkritisch? Betrachte Animation Subkritisch

33 Geschlossene Orbits Betrachte vereinfachte Josephen Junction Φ Phasendifferenz in der Josephen Junction α Bremsstrom y I angelegter Strom Schreibe Gleichung um: Plotte y im Phasenraum I y ( y I sin y I sin y sin) 1

34 Geschlossene Orbits Betrachte Trajektorie in einer Periode Betrachte Zylinder in D Box enthällt alle Informationen Poincaré-Map Höhendifferenz nach einer Periode Suche nun geschlossenen Orbit

35 Geschlossene Orbits y* P( y*) Benutze Zwischenwertsatz mit Funktionen P( y P( y 1 ) ) y y 1 Wichtig für P: P ist monoton Orbits dürfen sich nicht schneiden

36 Geschlossene Orbits Aus Zwischenwertsatz folgt dann: Es muss so ein y* geben. geschlossener Orbit Untersuche nun die Einzigkartigkeit Frage: Kann es mehrere geben?

37 Geschlossene Orbits Definiere zwei geschlossene Orbits Betrachte nun die Energie Widerspruch zur Definition ) ( ) ( L y U y 0 0 cos 1 d d de E y E ) ( d y d y I d y L U

38 Quasiperiode Orbits Untersuche ungekoppeltes System Trage Winkel gegeneinander auf Es treten Fälle auf Rationale Steigung Irrationale Steigung p q Betrachte Box mit periodischen Wänden Plot für p=3, q=

39 Plot auf dem Torus Quasiperiode Orbits

40 Quasiperiodicity Now procced to irrational slope trajectories never close each trajectory is dense Discovered new long-term-behaviour Only on appear on torus

41 Quellen Hauptquellen/Bücher: Strogatz, S. H. - Nonlinear Dynamics And Chaos J. M. T. Thompson, H. B. Stewart - Nonlinear Dynamics and Chaos Paper von Alexander Roth: Internetlinks: ntrekker.html Alle nicht selbst erzeugten Bilder entstammen aus: Strogatz, S. H. - Nonlinear Dynamics And Chaos J. M. T. Thompson, H. B. Stewart - Nonlinear Dynamics and Chaos