Synchronisation in Natur und Technik

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Jan Melsbach
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1 Am Beispiel des Kuramoto-Modells Jan Baumbach Christoph Schöler Christian Barthel

2 2 Inhalt 1. Einleitung 2. Kuramoto-Modell 3. Simulation und Ergebnisse

3 3 Die Motivation Das Phänomen Synchronisation tritt in vielen verschiedenen Kontexten auf: Applaus Energienetzwerke Neuronale Netze Kreislauf

4 am Beispiel des Kuramoto-Modells 4 Zwei Beispiele - live [1] [2] [1] [2] XWZ8

5 am Beispiel des Kuramoto-Modells 5 Synchronisation: Definition und Bedingungen Unter Synchronisation versteht man die Angleichung der Rhythmen oszillierender Objekte aufgrund ihrer schwachen Wechselwirkung.

6 6 Synchronisation: Definition und Bedingungen Unter Synchronisation versteht man die Angleichung der Rhythmen oszillierender Objekte aufgrund ihrer schwachen Wechselwirkung. Oszillierende Objekte Hier: Selbsterregte Oszillatoren mit Grenzzyklus

7 am Beispiel des Kuramoto-Modells 7 Synchronisation: Definition und Bedingungen Unter Synchronisation versteht man die Angleichung der Rhythmen oszillierender Objekte aufgrund ihrer schwachen Wechselwirkung. Rhythmen Frequenzen Oszillierende Objekte Hier: Selbsterregte Oszillatoren mit Grenzzyklus

8 8 Synchronisation: Definition und Bedingungen Angleichung Einstellung auf gemeinsame Frequenz abhängig zur Kopplungsstärke sowie der Frequenzverstimmung Unter Synchronisation versteht man die Angleichung der Rhythmen oszillierender Objekte aufgrund ihrer schwachen Wechselwirkung. Rhythmen Frequenzen Oszillierende Objekte Hier: Selbsterregte Oszillatoren mit Grenzzyklus

9 9 Synchronisation: Definition und Bedingungen Angleichung Einstellung auf gemeinsame Frequenz abhängig zur Kopplungsstärke sowie der Frequenzverstimmung Unter Synchronisation versteht man die Angleichung der Rhythmen oszillierender Objekte aufgrund ihrer schwachen Wechselwirkung. Rhythmen Frequenzen Oszillierende Objekte Hier: Selbsterregte Oszillatoren mit Grenzzyklus Schwache Wechselwirkung Geringe Veränderung des individuellen Verhaltens bei gleichzeitiger gegenseitiger Beeinflussung

10 10 Bewegungen auf dem Kreis Vektorfelder auf dem Kreis Gleichförmiger Oszillator θ = f θ θ: Phase 0 θ < 2π θ + 2π θ θ = ω Lösung: θ t = ωω + θ 0 Euler: e ii = cos θ + i sin θ Eindeutigkeit von θ erfordert Periodizität von f: f θ + 2π = f θ periodisch mit T = 2π ω: θ t + T = θ(t) harmonische Oszillation e iii

11 11 Schwebung Betrachte zwei verschiedene, nichtwechselwirkende, gleichförmige Oszillatoren θ 1 = ω 1 ω 1 > ω 2 θ 2 = ω 2 T 2 > T 1 = 2π/ω 1 Phasendifferenz: φ = θ 1 θ 2 φ = θ 1 θ 2 = ω 1 ω 2 = Δω in Phase für φ = 2ππ, n Z Im mitrotierenden Bezugssystem Rotation mit ω 2 θ 2 = θ 2 = 0, θ 1 = φ = Δω Rotation mit ω 1 θ 1 = θ 1 = 0, θ 2 = φ = Δω

12 12 Nicht-gleichförmiger Oszillator θ = ω a sin θ Sattel-Knoten- Bifurkation bei θ = π 2 stabiler Fixpunkt instabiler FP halbstabiler FP [3] [3] Strogatz, Steven H.: Nonlinear Dynamics And Chaos, Reading Massachusetts, 1994

13 13 Kuramoto-Modell N schwach gekoppelte Oszillatoren mit Eigenfrequenzen ω i θ i = ω i + K N sin θ N j=1 j θ i i = 1,, N K: Kopplungsstärke 1 N N-unabhängige Ergebnisse im td Limes N ω i : unimodal, symmetrisch verteilt g Ω + ω i = g Ω ω i mit Ω rotierendes Bezugssystem g ω i = g ω i Ordnungsparameter N re iφ = 1 N eiθ j j=1 θ i = ω i + KK sin φ θ i Kopplung der Gleichungen durch r und φ θ i = θ i Ωt Kr: effektive Kopplungsstärke Kohärenz r positive Rückkopplung Kuramoto, Y., and I. Nishikawa: Statistical Macrodynamics of Large Dynamical Systems, J. Stat. Phys. 49, 569, 1987

14 14 Phasenübergang im Kuramoto-Modell Ordnungsparameter re ii = 1 N N eiθ j j=1 0 r(t) 1: Grad der Phasenkohärenz φ t : mittlere Phase Analytische Vorhersagen Für g ω = γ π γ 2 + ω 2 (Lorentz) und N gilt r(t ) = 0 für K K c 1 K c /K sonst mit K c = 2 ππ 0. [4] r 0: Inkohärenz, gleichförmige Phasenverteilung auf dem Kreis r 1: Kohärenz, Phasenpulk um φ [4] [4] Schmietendorf, Katrin: Synchronisation und Spannungsstabilität in einem Netzwerk von Synchronmaschinen, Diplomarbeit, Münster, 2012

15 am Beispiel des Kuramoto-Modells 15 Lösen der DGL mit Runge-Kutta 4 Anfangsverteilung von θ zufällig auf dem Intervall [0,2π] Anfangsverteilung von ω ist eine Lorentz-Verteilung mit γ = 1 und ergibt K c = 2.

16 16 Zeitlicher Verlauf der Kohärenz r für verschiedene K Parameter N = 1000 dd = 0.01 Schritte = für K < K c ist die Anfangsverteilung von θ = 0

17 17 Zeitlicher Verlauf der Kohärenz r für verschiedene K K > K c K < K c

18 18 Kohärenz r in Abhängigkeit von K für N = 1000 Parameter dd = 0.01 Schritte = 5000 Mittelwert von r für die letzten 2000 Schritte 3 Wiederholungen (versch. Symbole in der Grafik)

19 19 Kohärenz r in Abhängigkeit von K für N = Parameter dd = 0.01 Schritte = 5000 Mittelwert von r für die letzten 2000 Schritte 3 Wiederholungen (versch. Symbole in der Grafik)

20 20 Zusammenfassung θ i = ω i + K N sin θ N j=1 j θ i r K

21 21 Ausblick 1. Weitere Charakterisierung des Kuramoto-Modells a) kritische Fluktuationen b) Parameterabhängigkeit 2. Erweiterung auf realistischere Modelle a) elektrische Netzwerke (Swing-Gleichung) b) neuronale Systeme (Delay)

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