Zeitreihenanalyse. H.P. Nachtnebel. Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau. Definitionen und Anwendung

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1 .. Zeitreihenanalyse H.P. Nachtnebel Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau Definitionen und Anwendung Definition Zeitreihe zeitliche Abfolge von Messwerten, deren Auftreten statistischen Gesetzmäßigkeiten unterliegt Anwendung: Zeitreihenanalyse und -synthese Für die Dimensionierung, die Beurteilung der Zuverlässigkeit von Systemen und die Vorhersage werden ZR.A. und Simulationen angewandt Art der Messwerte Kontinuierlich Schreiber X (t) Diskret Terminwerte X i ( t i ) Mittelwerte einer Zeitsp Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite

2 .. Darstellung: Ganglinien kontinuierlich diskret Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite Zeitreihenanalyse Methodik Zerlegung in wesentliche Anteile und quantitative Beschreibung Trend X T (t) Beispiel: Rückläufige Abflüsse südlich des Alpenhauptkamms Periode... X P (t) Beispiel: in Ö die Frühahrshochwässer Stochastischer Anteil X R (t) X = X T + X P( T) + X R Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite

3 .. Methodik Zweck der Zeitreihenanalyse Ermittlung der einzelnen Anteile Parametrisierung des Informationsgehaltes in einer Zeitreihe Simulation (Generierung) Dann können Reihen generiert werden, die den gleichen Informationsgehalt (gleiche Auftrittswahrscheinlichkeit) wie beobachtete Reihe haben Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite Homogenität / Stationärität Homogenität Unterteilung einer Reihe in Teilreihen Bestimmen der Parameter Mittelwert Varianz Schiefe Parameter der Teilreihen weichen nicht signifikant voneinander ab dieselbe Grundgesamtheit Homogen Stationärität Mittelwerte von Teilabschnitten weichen nicht signifikant voneinander ab Stationärität. Ordnung Mittelwerte und Kovarianz von Teilabschnitten weichen nicht signifikant voneinander ab Stationärität. Ordnung Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 6

4 .. Beispiel für Trendanalyse: Extreme Niederschlagsereignisse in Wien 6 Zahl der Tage mit mehr als mm Niederschlag in Wien Reihe 96 - Tage Ja!!!! Jahr (Rudel, ZAMG ) Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 7 Beispiel für Trendanalyse: Extreme Niederschlagsereignisse in Wien 6 Zahl der Tage mit mehr als mm Niederschlag in Wien Reihe 9 - Tage Nein!!!! Jahr (Rudel, ZAMG ) Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 8

5 .. Trends in Niederschlag und Abfluss Abfluss Annual precipitation Moser et al., Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 9 Schätzung Trendanteil X T (t) Annahme Linearer Trend X T = A + B* t Schätzung von A und B durch Regressionsrechnung (t) X T Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite

6 .. Annahme Nichtlineares Verhalten Trendanteil X T (t) X T = A + B* t + C * t Beispiel: Nachfragefunktion zuerst stark ansteigend mit anschließender Sättigung Sprungstellen X(t) T x I x II xi xii t T Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite Trends in der Streuung Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 6

7 .. Trendeliminierung X (t) = X(t)-X T (t) = X P (t)+x R (t) Oder nicht parametrisch durch numerisches Differenzieren X (t) = (X(t+)-X(t))/ bei linearem Trend Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite Periodische Komponente Hintergrund der Periodizität Meist klimatische Faktoren Tagesschwankungen von Abflussmengen ährliche Schwankungen durch saisonale Klimabedingungen zuvor wichtig ist Elimination des Trendanteils Bestimmung des Periodenanteils bei bekannter Periodenlänge Fourieranalyse Mittelungsmethode bei unbekannten Periodenlänge Autokorrelation Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 7

8 .. Fourieranalyse Approximation einer beliebigen Funktion durch eine Überlagerung von Sinus- und Cosinus-Funktionen X = X P ( C A P ( C cos( π * f * t) + D sin( π * f * t ) cos ωt + D sin ωt) = + ΣA sin ( ω t + ϕ ) Amplitude C, D bzw. A Frequenz f = /T Phasenwinkel ϕ X t Messwerte C ω = π T = xt cos ωt D = n xt sin ωt n t= t= = Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite Autokorrelation Definition Vergleich der Reihe mit sich selbst Feststellen von Zusammenhängen innerhalb der Reihe Anwendung Feststellung eines periodischen Verhaltens zb Jahresgang Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 6 8

9 .. Berechnung der Autokorrelation Analog zu Kapitel Korrelation und Regression Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 7 Autokorrelationskoeffizient / Periodogramm Autokorrelationskoeffizient: Korrelationskoeffizient als Funktion der Verschiebung τ Kann auch direkt aus den Fourierkomponenten berechnet werden ( C cos( π * f * t) D sin ( * f ) ( C + D ) cos( π * f * τ ) i= ( C + D ) X P = + π * t r τ = = F²/= ( C + D )/ Periodogramm Ablesen der Amplitudenquadrate bei den Frequenzen Strichlierte Linie = Signifikanzniveau f f f f f f f 6 f Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 8 9

10 .. Stochastischer Anteil X '' = X X T X P = X R Random = zufällige Größe Ursache zumeist durch kurzfristige, zufällige Witterungserscheinungen Überlegung Zeitreihenwert ist vom vorhergehenden Wert abhängig plus einer zufälligen Schwankung r X R (t) X R = r * X ( t ) + ε Autokorrelationskoeffizient ε (t) Zufallsanteil R Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 9 Zeitreihensynthese Anwendung auf Zeitreihensynthese Bei gegebenen Parametern kann eine Zeitreihe generiert werden Parameter Trendanteil A,B Jahresgang C,D Stochastischer Anteil r, σ ε Die generierte Zeitreihe hat die gleiche statistische Wahrscheinlichkeit wie die beobachtete Reihe, aber eine andere zeitliche Abfolge Trockenahre / Nassahre Man kann damit Wasserwirtschaftssysteme testen Versorgungsanlagen Speicher Hochwasserrückhaltebecken Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite

11 .. Beispiel Simulation Zeitreihe Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite Anwendung der Synthese Simulation für Bemessungszwecke Simulation zur Prüfung der Funktionsweise von Bauwerken Simulation liefert keine neue Information, aber generiert Reihen, die gleich wahrscheinlich sind wie beobachtete Reihe Es können daher Nassahre, Trockenahre, Extremereignisse etc. in der Simulation auftreten Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite

12 .. Zusammenfassung Zeitreihenanalyse Definitionen Zeitreihe und ihre Anwendung in der Hydrologie Art der Messwerte Grafische Darstellung der Zeitreihe = Ganglinie Zeitreihenanalyse Wesentliche Anteile Linear Trend Periode Fourieranalyse Autokorrelation - Periodogramm Stochastischer Anteil Zeitreihensynthese Beispiel Nichtlinear Sprungstellen Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite