Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg. PROGNOSE II - Vertiefung Aufgaben und Lösungen Sommersemester 2004

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1 Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg PROGNOSE II - Vertiefung Aufgaben und Lösungen Sommersemester 2004

2 Aufgabe 1 U t bedeute weißes Rauschen und B den Backshift Operator. a) Ein stochastischer Prozeß sei durch Y t = α + βt + U t gegeben. Ist der Prozeß Y t stationär? Ist der Prozeß Z t = (1 B)Y t stationär? b) Ein Prozeß sei durch Y t = (α + βt) + s t + U t gegeben, wobei s t = s t 12 = s t 24 usw. gelte. Stellen Sie den Prozeß Z t = (1 B 12 )Y t explizit (d.h. ohne Verwendung von B) dar und untersuchen Sie ihn auf Stationarität. c) Ein Prozeß sei durch Y t = (α + βt)s t + U t gegeben; s t erfülle die Bedingung aus b). Ist der Prozeß stationär? Z t = (1 B 12 ) 2 Y t Aufgabe 2 Für einen stationären Prozeß seien die Kovarianzen γ 0 = 10, γ 1 = 5, γ 2 = 8 bekannt. Legen Sie einen AR(2) Prozeß Y t = a 1 Y t 1 + a 2 Y t 2 + U t zugrunde und berechnen Sie sowohl die Prozeßparameter a 1 und a 2 als auch die Varianzen von U t und Y t. Aufgabe 3 Für welche Werte des Parameters c ist 1

3 a) Y t = Y t 1 + c Y t 2 + U t ein stationärer AR(2) Prozeß? b) Y t = Y t 1 + c Y t 2 c Y t 3 + U t ein stationärer AR(3) Prozeß? c) Y t = U t U t 1 + cu t 2 ein invertierbarer MA(2) Prozeß? Aufgabe 4 Sind die stochastischen Prozesse a) b) Y t = 0,7 U t 1 0,2 U t 2 + U t Y t = 0,6 Y t 1 + 0,2 Y t 2 + U t stationär? Ermitteln Sie jeweils die Autokorrelationsfunktion ACF für k = 0, 1, 2, 3, 4 die partielle Autokorrelationsfunktion PACF für k = 0, 1, 2, 3. Aufgabe 5 Wendet man das Kleinst Quadrate Prinzip auf eine Zeitreihe y 1,..., y n an, um die Parameter µ und a 1 eines stationären AR(1) Prozesses (mit unbekanntem Erwartungswert µ) zu schätzen, so erhält man eine quadratische Zielfunktion Q(µ, a 1 ). Ermitteln Sie durch Ableiten nach µ und Nullsetzen die Schätzfunktion ˆµ für µ. Vergleichen Sie ˆµ mit dem traditionellen Schätzer ȳ. Aufgabe 6 Es sei Z t mit Z t = (1 B) 2 Y t ein stationärer Prozeß (B = Backshift Operator). Es seien die entsprechenden Beobachtungswerte bis t = 25 bekannt, wobei insbesondere gelte. Ferner seien die Prognosewerte y 24 = 300, y 25 = 310 ẑ 25 (1) = 5, ẑ 25 (2) = 15 bekannt. Berechnen Sie hieraus die Prognosen für den nichtstationären Prozeß Y t. ŷ 25 (1) und ŷ 25 (2) 2

4 Aufgabe 7 a) Die Realisationen eines stochastischen Prozesses Y t pendeln um das Niveau 15. Der Prozeß (Y t - 15) sei als ARMA(2,1) Prozeß identifiziert worden, wobei gelte a(b)(y t 15) = b(b)u t a(b) = 1 0,5B 0,1B 2, b(b) = 1 0,3B. Ferner seien die Zeitreihenwerte y 9 = 16, y 10 = 18 sowie das Residuum û 10 = 1 bekannt. Stellen Sie Prognosen ŷ 10 (1) und ŷ 10 (2) für y 11 und y 12 auf. b) Für einen Prozeß Y t gelte a(b)(1 B)Y t = b(b)u t mit denselben Lagpolynomen wie in a). Erstellen Sie auch hier die Prognosen ŷ 10 (1) und ŷ 10 (2), wobei folgende Daten benutzt werden können: y 8 = 6, y 9 = 7, y 10 = 10, û 10 = 1. Aufgabe 8 Für einen stationären Prozeß seien die Kovarianzen ermittelt worden. a) Kann ein MA(2) Prozeß vorliegen? b) Legen Sie einen AR(2) Prozeß γ 0 = 6, γ 1 = 3, γ 2 = 3, γ 3 = 2 Y t = a 1 Y t 1 + a 2 Y t 2 + U t zugrunde und berechnen Sie die Prozeßparameter a 1 und a 2, ferner die Varianzen von U t und Y t sowie schließlich den sich aus dieser Spezifikation ergebenden Korrelationskoeffizienten ρ 3. Aufgabe 9 Ein verallgemeinertes lineares Modell mit autokorrelierten Störvariablen führt für n = 10 Beobachtungen auf folgende KQ Residuen û t : t û t

5 a) Berechnen Sie die Durbin Watson Teststatistik DW. Spricht der Wert eher für oder gegen eine positive Autokorrelation? (Ein exakter Test ist nicht verlangt.) b) Berechnen Sie den Faktor ˆρ, mit dem gemäß dem Cochran/Orcutt Verfahren die verallgemeinerten Differenzen y t ˆρy t 1 etc. zu bilden sind. Aufgabe 10 Die Ausgaben (y) für Forschung und Entwicklung sollen durch ein lineares Regessionsmodell mit einem absoluten Glied und dem Regressor x = Umsatz erklärt werden. In einer Stichprobe von n = 8 Unternehmen wurde registiert: Unternehmen F&E Ausgaben Umsatz Die Störvariablen seien unkorreliert.die Störvarianz für die Unternehmen mit einem Umsatz über 60 betrage das Dreifache derjenigen für kleinere Unternehmen. Bestimmen Sie a) die für den AITKEN Schätzer erforderliche Matrix Ω 1 b) die Faktorisierung von Ω 1 gemäß A T A = Ω 1 c) die bei der Zurückführung auf ein klassisches Regressionsmodell resultierenden Datenmatrizen y und X. Aufgabe 11 Für mittelfristige Prognosen wurde ein Regressionsmodell der Form y t = β 0 + β 1 t + β 2 t 2 + β 3 x t3 + u t mit einem quadratischen Zeittrend sowie der Dummy Variablen 1, falls t ein erstes Halbjahr ist x t3 = 0, sonst zugrunde gelegt. Für die Halbjahre t = 1, 2,..., 16 liegen die x t3 und y t Werte vor, aus denen die Koeffizienten geschätzt, die KQ Residuen û t ermittelt und die Durbin Watson Teststatistik DW = 0,22 berechnet wurde. 4

6 a) Testen Sie zum Signifikanzniveau α = 0,05, ob die Störvariablen positiv korreliert sind. b) Ermitteln Sie aus DW eine Schätzung für den Korrelationskoeffizienten ρ, mit dem die Daten für die Cochrane Orcutt Prozedur von Autokorrelation bereinigt werden. Wie lauten die ersten drei Zeilen der bereinigten Matrix X (wenn t = 1 ein erstes Halbjahr betrifft)? Aufgabe 12 Welche der folgenden Funktionstypen lassen sich mit multipler linearer Regression bearbeiten? Geben Sie falls möglich das linearisierte Modell an. x (1) y = β β x β 2 2 x β 3 3 x 1, x 2, x 3 > 0 (2) y = β β 0 β 1 x 1 + β 2 1x 2 1; x 1 > 0 (3) y = β 0 β 2 x 2 + β 1 β 2 x 1 x 2 ; x 1, x 2 > 0 5

7 Lösung zu Aufgabe 1 a) Wegen E(Y t ) = α + βt ist (für β 0) der Prozeß nicht mittelwertstationär.damit ist er instationär, obwohl er die Varianz und Kovarianzstationarität besitzt. Z t = (1 B)Y t = α + βt + U t [α + β(t 1) + U t 1 ] = β + U t U t 1 ist MA(1) Typ, also stationär. b) Z = (1 B 12 )Y t = α + βt + s t + U t [α + β(t 12) + s t 12 + U t 12 ] = 12β + U t U t 12 ist vom MA(12) Typ, also stationär. c) (1 B 12 ) 2 Y t = (1 B 12 )[(α + βt)s t + U t (α + β(t 12)s t 12 + U t 12 )] = (1 B 12 )[12βs t 12 + U t U t 12 ] = U t 2U t 12 + U t 24 ist MA(24) und damit stationär. Lösung zu Aufgabe 2 Yule Walker Gleichungen: haben die Lösung Wegen ρ 1 = γ 1 γ 0 = 1 2, ρ 2 = 8 10 erhält man 1 a 1 + ρ 1 a 2 = ρ 1 ρ 1 a a 2 = ρ 2 a 2 = ρ 2 ρ ρ 2 1 a 1 = ρ 1 (1 a 2 ) a 2 0, 73, a 1 0, 14. Ferner ergibt sich Var(Y t ) = γ 0 = 10 sowie aus γ 0 = a 1 γ 1 + a 2 γ 2 + Var(U t ) schließlich Var(U t ) = 10 0, , 73 8 = 3, 46 6

8 Lösung zu Aufgabe 3 a) Die allgemeine Stationaritätsbedingung für einen AR(2) Prozeß ist: a 1 + a 2 < 1, a 1 a 2 > 1, a 2 > 1 Für a 1 = 1, a 2 = c erhält man die Bedingung 1 < c < 0. b) Das Lagpolynom 1 B cb 2 + cb 3 hat eine Nullstelle für B = 1, also liegen (für jedes c) nicht alle Nullstellen außerhalb des Einheitskreises. Folglich ist der Prozeß für keinen c Wert stationär. c) Wegen Y t = (1 B + cb 2 )U t sind die Ungleichungen aus a) für a 1 = 1, a 2 = c auszuwerten. Für 0 < c < 1 liegt Invertierbarkeit vor. Lösung zu Aufgabe 4 Identifikation der Prozesse: a) MA(2) Prozeß mit b 1 = 0,7 und b 2 = 0,2 b) AR(2) Prozeß mit a 1 = 0,6 und a 2 = 0,2 Stationarität: a) MA(q) Prozesse sind immer stationär! b) AR(2) Prozeß ist stationär, wie man aus den expliziten Stationaritätsbedingungen (Stabilitätsdreieck) direkt ersieht. ACF, PACF: MA(2) Prozeß AR(2) Prozeß k ρ k π k ρ k π k 0 1,00 1,00 1,00 1,00 1 0,37 0,37 0,75 0,75 2 0,13 0,31 0,65 0, ,23 0,54 0, ,45 7

9 Lösung zu Aufgabe 5 Der AR(1) Prozeß ist Y t µ = a 1 (Y t 1 µ) + U t bzw. Y t = a 1 Y t 1 + µ(1 a 1 ) + U t. Die zu minimierende Quadratsumme ist n Q(µ, a 1 ) = [y t a 1 y t 1 µ(1 a 1 )] 2 t=2 Ableiten nach µ und Nullsetzen (â 1 1 vorausgesetzt) liefern n y t â 1 2 n 2 y t 1 = (n 1)ˆµ(1 â 1 ) 1 n 1 n 2 n 1 1 y t â 1 y t = ˆµ(1 â 1 ) n 1 1 ˆµ = ȳ(2) â 1 ȳ (1) 1 â 1 wobei ȳ (1) bzw. ȳ (2) das Mittel über die (n 1) ersten bzw. letzten Beobachtungswerte bedeutet. Für große n gilt natürlich ȳ (1) ȳ (2) ȳ und damit ˆµ ȳ. 8

10 Lösung zu Aufgabe 6 Es gilt z t = (1 B) 2 y t = (1 B)(y t y t 1 ) = y t y t 1 y t 1 + y t 2 = y t 2y t 1 + y t 2. Insbesondere ist z 26 = y 26 2y 25 + y 24 bzw. y 26 = z y 25 y 24. Die Einschritt Prognose ŷ 25 (1) ergibt sich deshalb als ŷ 25 (1) = ẑ 25 (1) + 2y 25 y 24 = = 325. Analog erhält man die Zweischritt Prognose wegen y 27 = z y 26 y 25 gemäß ŷ 25 (2) = ẑ 25 (2) + 2ŷ 25 (1) y 25 = = 355. Lösung zu Aufgabe 7 a) Sei Ỹt = Y t 15. Dann gilt Ỹ t = 0,5Ỹt 1 + 0,1Ỹt 2 + U t 0,3U t 1 Einschritt-Prognose für Ỹt: ˆỹ 10 (1) = 0,5ỹ ,1ỹ ,3û 10 = 0, ,1 1 0,3 1 = 1,3 ŷ 10 (1) = 15 + ˆỹ 10 (1) = 16,3 Analog für die Zweischritt-Prognose ˆỹ 10 (2) = 0,5ˆỹ 10 (1) + 0,1ỹ = 0,95 ŷ 10 (2) = ,95 = 15,95 b) Für Z t = (1 B)Y t ergeben sich dieselben Prognosen wie für Ỹt aus Teil a, d.h. ẑ 10 (1) = 1,3 und ẑ 10 (2) = 0,95 Wegen z t = y t y t 1 gilt y t = z t + y t 1. Die Prognosen bzw. des Y t Prozesses sind deshalb: ŷ 10 (1) = ẑ 10 (1) + y 10 = 11,3 ŷ 10 (2) = ẑ 10 (2) + ŷ 10 (1) = 12,25 9

11 Lösung zu Aufgabe 8 a) Ein MA(2) Prozeß müßte γ 3 = 0 haben. Es kann kein MA(2) Prozeß vorliegen; natürlich kann auch kein MA(1) Prozeß vorliegen. b) Yule Walker Gleichungen haben die Lösung 1 a 1 + ρ 1 a 2 = ρ 1 ρ 1 a a 2 = ρ 2 mit ρ 1 = 0, 5, ρ 2 = 0, 5 (ρ 3 = 1 3 ) a 2 = ρ 2 ρ ρ 2 1 = 0, 5 0, , 25 = 0, 25 0, 75 = 1 3 a 1 = ρ 1 (1 a 2 ) = 0, = 1 3. Var(Y t ) = γ 0 = 6. γ 0 = a 1 γ 1 + a 2 γ 2 + Var(U t ) Var(U t ) = = 4 Der Korrelationskoeffizient ρ 3 ist ebenfalls durch die Yule Walker Gleichungen bestimmt: ρ 3 = ρ 2 a 1 + ρ 1 a 2 = = 1 3 Lösung zu Aufgabe 9 a) DW = nt=2 (û t û t 1 ) 2 nt=1 û 2 t = = 24 8 = 3 b) Der Wert spricht gegen eine positive Autokorrelation. ˆρ = n 1 t=1 û t û t+1 n 1 t=1 û 2 t = =

12 Lösung zu Aufgabe 10 a) Ω 1 = / / /3 b) A ist eine 8x8 Diagonalmatrix mit den Hauptdiagonalelementen 1, 1, 1/ 3, 1, 1, 1/ 3, 1, 1/ 3 c) y = / / / 3 X = / 3 108/ / 3 144/ / 3 72/ 3 11

13 Lösung zu Aufgabe 11 a) Wenn von autokorrelierten Störvariablen die Rede ist, wird üblicherweise ein autoregressiver Prozeß erster Ordnung, d.h. u t = ρu t 1 + ε t unterstellt. Es ist dann zu testen H 0 : ρ = 0 gegen H 1 : ρ > 0. Es ist H 0 abzulehnen (und damit H 1 zu bestätigen), wenn DW < d u (α) Laut Tabelle (n = 16, k = 3) ist d u (0,05) = 0,86. H 0 ist demnach abzulehnen. b) Mittels DW wird ρ gemäß ˆρ = 1 DW 2 = 1 0,11 = 0,89 geschätzt. Die ersten 4 Zeilen von X sind Die ersten 3 Zeilen von X sind demnach 1 0, , , , , , , , , , , 89 = 0, 11 1, 11 3, 11 0, 89 0, 11 1, 12 5, , 11 1, 33 7, 99 0, 89 Lösung zu Aufgabe 12 (1) ln(y) = ln(β 0 ) + β 1 ln(x 1 ) β 2 ln(x 2 ) β 3 ln(x 3 ) (2) y = (β 0 + β 1 x 1 ) 2 y = β 0 + β 1 x 1, y 0 (3) y = (β 0 + β 1 x 1 )β 2 x 2, nicht zu linearisieren! 12

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