B. Regressionsanalyse [progdat.sav]

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1 SPSS-PC-ÜBUNG Seite 9 B. Regressionsanalyse [progdat.sav] Ein Unternehmen möchte den zukünftigen Absatz in Abhängigkeit von den Werbeausgaben und der Anzahl der Filialen prognostizieren. Dazu wurden über 15 Perioden folgende Daten ermittelt: Jahr Umsatz in TSD Werbeausg. in Mio Anzahl Filialen ,80 2,30 19, ,10 2,10 22, ,50 2,50 21, ,80 2,60 18, ,90 2,40 21, ,20 2,70 24, ,50 2,60 23, ,00 2,40 22, ,40 2,50 22, ,60 2,60 28, ,30 3,20 30, ,70 3,80 32, ,90 3,90 31, ,00 3,60 28, ,10 3,70 29,00 Prognose Deskriptive Statistiken Zunächst werden die Daten mit Hilfe von deskriptiven (beschreibenden) Methoden analysiert. ANALYSIEREN/ DESKRIPTIVE STATISTIKEN / DESKRIPTIVE STATISTIKEN... Alle Variablen auswählen Optionen... Mittelwert Summe Std.-Abweichung Varianz Minimum Maximum Weiter OK Ergebnis: N Minimum Maximum Summe Mittelwert Standardabweichung ANZFIL 15 18,00 32,00 370,00 24,6667 4,5617 UMSATZ 15 90,80 118, ,80 102,1867 9,5328 WERBEAUS 15 2,10 3,90 42,90 2,8600,6057

2 SPSS-PC-ÜBUNG Seite 10 Neben den univariaten Statistiken sind auch die Korrelationen und die Varianzen bzw. Covarianzen der Variablen von Interesse. Speziell die Korrelationsmatrix zeigt die Abhängigkeiten zwischen den Variablen. ANALYSIEREN / KORRELATION / BIVARIAT... Alle Variablen auswählen Optionen... Kreuzproduktabweichungen und Kovarainzen Weiter OK Formel für Kreuzproduktabweichung: x y Tx y ) Ergebnis: ( i j i j ANZFIL UMSATZ WERBEAUS Korrelation nach Pearson Signifikanz (2-seitig) Quadratsummen und Kreuzprodukte Kovarianz N ANZFIL 1,000,904**,858** UMSATZ,904** 1,000,920** WERBEAUS,858**,920** 1,000 ANZFIL,,000,000 UMSATZ,000,,000 WERBEAUS,000,000, ANZFIL 291, ,233 33,200 UMSATZ 550, ,237 74,332 WERBEAUS 33,200 74,332 5,136 ANZFIL 20,810 39,302 2,371 UMSATZ 39,302 90,874 5,309 WERBEAUS 2,371 5,309,367 ANZFIL UMSATZ WERBEAUS ** Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 (2-seitig) signifikant. 2. Graphische Darstellungen Grafische Darstellungen geben wichtige Hinweise für die Interpretation der Daten. Im folgenden werden werden mehrere Formen der Korrelations- bzw. Streuungsdiagramme dargestellt. GRAFIKEN / STREUDIAGRAMM... Einfach... Definieren Als Y-Achse "umsatz" auswählen Als X-Achse "werbeaus" auswählen OK Diagramm doppelklicken und im Diagramm-Editor auf DIAGRAMM / OPTIONEN... Anpassungslinie: Gesamt Anpassungs-Optionen...

3 SPSS-PC-ÜBUNG Seite 11 Lineare Regression Linien für Regressionsschätzer: Mittelwert Weiter OK UMSATZ 90 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 WERBEAUS GRAFIKEN / STREUDIAGRAMM... Matrix... Definieren Variablen "anzfil, umsatz und werbeaus" auswählen OK ANZFIL UMSATZ WERBEAUS Diese Grafik stellt alle bivariaten Streuungsdiagramme in einer Matrix dar. Die Darstellung entspricht grafisch der Korrelationsmatrix.

4 SPSS-PC-ÜBUNG Seite 12 GRAFIKEN / STREUDIAGRAMM... 3D... Definieren Als Y-Achse "werbeaus" auswählen Als X-Achse "anzfil" auswählen Als Z-Achse "umsatz" auswählen OK 4,0 3,5 WERBEAUS 3,0 2, UMSATZ ANZFIL 18 Diese 3D-Grafik bietet die Möglichkeit eine Punktewolke im 3-dimensionalen Raum darzustellen. Zur besseren Darstellung der Ergebnisse kann die Grafik im Diagramm-Editor (doppelklicken) nach den Achsen X,Y,Z rotiert werden: FORMAT / 3D-ROTATION Um den 3-dimensionalen Eindruck zu verstärken, können die einzelnen Punkte zusätzlich nach unten projiziert werden: DIAGRAMM / OPTIONEN... Projektionslinien: parallel OK

5 SPSS-PC-ÜBUNG Seite Lineare Regression Zwischen dem Absatz (abhängige Variable) und den Werbeausgaben / Anzahl der Filialen (unabhängige Variablen) soll nun ein linearer Zusammenhang, d. h. eine multiple Regression berechnet werden. ANALYSIEREN / REGRESSION / LINEAR... Als abhängige Variable "umsatz" auswählen Als unabhängige Variablen "anzfil" und "werbeaus" auswählen Statistik... Regressionskoeffizienten: Anpassungsgüte des Modells Residuen: Durbin-Watson Schätzer Konfidenzintervalle Fallweise Diagnose: Alle Fälle Weiter Diagramme... Diagramme der standardisierten Residuen: Histogramm Normalverteilungsdiagramm Weiter Speichern... Vorhergesagte Werte: Nicht standardisiert Vorhersageintervalle: Mittelwert Residuen: Nicht standardisiert Weiter OK Die Ergebnisse des o. g. Beispiels werden nun im einzelnen erläutert: Modellzusammenfassung b Modell R R-Quadrat Korrigiertes R-Quadrat Standardfehler des Schätzers Durbin-Watson- Statistik 1,946 a,895,878 3,3299 1,141 a: Einflußvariablen: (Konstante), WERBEAUS, ANZFIL b: Abhängige Variable: UMSATZ ANOVA b (Analysis of Variance) Modell Quadratsumme df Mittel der Quadrate F Signifikanz 1 Regression 1139, ,589 51,368,000 a Residuen 133, ,088 Gesamt 1272, a: Einflußvariablen: (Konstante), WERBEAUS, ANZFIL b: Abhängige Variable: UMSATZ R-Quadrat ist das Bestimmtheitsmaß Durch die Analyse der Varianz wird der empirische F-Wert berechnet; das Signifikanzniveau Signifikanz gibt an, mit welchem statistischen Risiko (α), die Hypothese H 0 : B = 0 verworfen werden kann (je kleiner dieser Wert, desto besser).

6 SPSS-PC-ÜBUNG Seite 14 Koeffizienten a Modell Nicht standardisierte Koeffizienten B Beta T Standardisierte Koeffizienten 95%-Konfidenzintervall für B Standardfehler Signifikanz Untergrenze Obergrenze 1 (Konstante) 55,178 4,890 11,283,000 44,523 65,833 ANZFIL,909,380,435 2,391,034,081 1,737 WERBEAUS 8,597 2,863,546 3,003,011 2,359 14,835 a: Abhängige Variable: UMSATZ B entspricht den Regressionskoeffizienten T ist der t-wert für die einzelnen Regressionskoeffizienten Signifikanz ist das Signifikanzniveau der Regressionskoeffizienten bezüglich des t-wertes. Dieser Wert gibt an, mit welchem statistischen Risiko (α), die Hypothesen H 0 : β ˆ j = 0 verworfen werden können. Bsp.: Die Hypothese H 0 : β Anzfil = 0 könnte bei α = 0,01 nicht verworfen werden, d. h. dieser Regressionskoeffizient wäre nicht signifikant von Null verschieden. Fallweise Diagnose a Fallnummer Standardisierte Residuen UMSATZ Nicht standardisierter vorhergesagter Wert Nicht standardisierte Residuen 1 -,427 90,80 92,2215-1, ,339 92,10 93,2290-1, ,279 91,50 95,7589-4, ,028 93,80 93,8917-9,1669E-02 5,301 95,90 94,8992 1, ,902 97,20 100,2052-3,0052 7,019 98,50 98,4365 6,350E-02 8,658 98,00 95,8081 2,1919 9,820 99,40 96,6678 2, , ,60 102,9813 3, , ,30 109,9575-1, , ,70 116,9336-5, , ,90 116,8844-1, , ,00 111,5784 4, , ,10 113,3470 4,7530 a: Abhängige Variable: UMSATZ

7 SPSS-PC-ÜBUNG Seite 15 Residuenstatistik a Nicht standardisierter vorhergesagter Wert Minimum Maximum Mittelwert Standardabweichung 92, , ,1867 9, Standardisierter vorhergesagter Wert -1,105 1,635,000 1, Standardfehler des Vorhersagewerts,9022 2,1257 1,4392, Korrigierter Vorhersagewert 92, , ,1185 9, Nicht standardisierte Residuen -5,2336 4,7530-1,8000E-14 3, Standardisierte Residuen -1,572 1,427,000, Studentisierte Residuen -1,826 1,616,008 1, Gelöschtes Residuum -7,0658 6,1075 6,816E-02 3, Studentisierte ausgeschlossene Residuen -2,058 1,749,011 1, Mahalanobis-Abstand,094 4,772 1,867 1, Cook-Distanz,000,457,104, Zentrierter Hebelwert,007,341,133, a: Abhängige Variable: UMSATZ Der fallweise Ausdruck der Residuen gibt Hinweise, ob die Residuen autokorreliert sind. Genauere Informationen, ob Autokorrelation vorliegt, gibt die Durbin-Watson- Testgröße (wenn keine Autokorrelation vorliegt, ist diese Größe bei ca. 2) N 5 Histogramm Abhängige Variable: UMSATZ Häufigkeit 1 0 Std.abw. =,93 Mittel = 0,00 N = 15,00-1,50-1,00 -,50 0,00,50 1,00 1,50 Regression Standardisiertes Residuum Die Häufigkeitsverteilung der Residuen gibt Hinweise, ob die Residuen normalverteilt sind (dies ist Voraussetzung für den F- unt t-test). Außerdem wird die Standardabweichung der Residuen s u an der Seite der Grafik angegeben.

8 SPSS-PC-ÜBUNG Seite 16 P-P-Diagramm von Standardisiertes Residuum 1,00 Abhängige Variable: UMSATZ,75 Erwartete Kum. Wahrsch.,50,25 0,00 0,00,25,50,75 1,00 Beobachtete Kum. Wahrsch. Der Normal-Probability Plot des Standardisierten Fehlers macht ebenfalls Aussagen über eine mögliche Normalverteilung der Residuen. Je näher die Punkte an der Gerade liegen, desto Wahrscheinlicher sind die Residuen normalverteilt. Zum Testen der Normalverteilungshypothese der Residuen wird weiter unter der Kolmogorov-Smirnov-Test durchgeführt. Zur weiteren Analyse wurden folgende Variablen bereits berechnet: Pre_1 sind die geschätzten Werte mit Hilfe der Regressionsgleichung Res_1 sind die Residuen LMCI_1 und UMCI_1 sind die Prognoseintervalle für die geschätzten Werte. Sollen für spezielle Werte eine Punkt- und Intervallprognose durchgeführt werden, so müssen bereits vor der Berechnung entsprechende Werte für die unabhängigen Variablen in die Liste des Dateneditors eingegeben werden. Das Ergebnis kann dann in der entsprechenden Spalte des Dateneditors abgelesen werden. (vgl. Prognose für Werbeausgaben = 4; Anzahl Filialen = 30) ANALYSIEREN / NICHTPARAMETRISCHE TESTS / K-S BEI EINER STICHPROBE... Als Testvariable "res_1" auswählen OK Zur Überprüfung der Normalverteilung der Residuen wird der Kolmogorov-Smirnov- Anpassungstest durchgeführt.

9 SPSS-PC-ÜBUNG Seite 17 Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest Unstandardized Residual N 15 Parameter der Normalverteilung a, b Mittelwert 3,476937E-08 Standardabweichung 3, Extremste Differenzen Absolut,110 Positiv,110 Negativ -,095 Kolmogorov-Smirnov-Z,424 Asymptotische Signifikanz (2-seitig),994 a: Die zu testende Verteilung ist eine Normalverteilung. b: Aus den Daten berechnet. Das Ergebnis zeigt, daß die Nullhypothese (H 0 : X ~ N(µ, σ)) nicht verworfen werden muß (2-seitige Asymptotische Signifikanz = 0,994). Eine signifikante Abweichung von der Normalverteilung besteht bei einer asymptotischen Signifikanz < 0,05 (zweiseitiger Test). 4. Strukturbrüche Zunächst wird der Umsatz in einem Streuungsdiagramm der Zeit gegenübergestellt. (Jahr in neue Variable Zeit kopieren und als numerischen Typ umdefinieren) UMSATZ ZEIT Das Streuungsdiagramm gibt Hinweise, daß ein Strukturbruch in den Daten vorliegen könnte. Zur Überprüfung bieten sich folgende Testmöglichkeiten an (vgl. Skript S. 32f.): Test auf Strukturbruch der Residualvarianz Test auf Strukturbruch der Regressionskoeffizienten. SPSS bietet nicht die Möglichkeit diese Tests direkt durchzuführen. Vielmehr müssen die Datenreihen im Dateneditor getrennt werden und auch getrennt analysiert werden.

10 SPSS-PC-ÜBUNG Seite 18 DATEN / FÄLLE AUSWÄHLEN... Auswählen: Nach Zeit- oder Fallbereich Bereich... Bereich der ausgewählten Fälle eingeben (z. B. 1-9) Weiter OK Die nicht ausgewählten Fälle sind nun durch eine gestrichene Fallnummer im Dateneditor zu erkennen. 5. Linearisierung [linearis.sav] SPSS bietet mehrere Möglichkeiten Variablen zu linearisieren. Am Beispiel der Investitionen I in Abhängigkeit des Zinssatzes r soll dies verdeutlicht werden: Zeit Investitionen I Zins r in Mrd. 1,0 9,00 2,00 2,0 5,50 3,00 3,0 8,50 2,00 4,0 4,00 4,00 5,0 3,50 5,00 6,0 2,50 6,00 7,0 3,00 4,00 8,0 1,50 6,00 9,0 1,20 8,00 10,0 1,80 7,00 11,0 1,50 9,00 Grafisch läßt sich der Zusammenhang durch ein Steuungsdiagramm darstellen: INVEST ZINS Das theoretische Modell für diesen Zusammenhang lautet: I = β 0 r β1 e u Linearisiert wird durch den natürlichen Logarithmus: ln(i) = ln(β 0 ) + β 1 ln(r) + u

11 SPSS-PC-ÜBUNG Seite 19 Mit: I* = ln(i); b 0 = ln(β 0 ); b 1 = β 1 ; r* = ln(r). Damit ergibt sich: I* = b 0 + b 1 r* + u. Um diese Gleichung zu berechnen muß zunächst der ln für I und r berechnet werden. TRANSFORMIEREN / BERECHNEN... Zielvariable: (neuer Name: Istern) Numerischer Ausdruck: (Funktion der Linearisierung: ln[invest]) OK Die gleiche Prozedur muß mit dem Zinssatz r ebenfalls durchgeführt werden (neuer Name: rstern). Die neuen Variablen sind dann im Dateneditor unter dem entsprechenden Namen gespeichert, so daß eine normale Regression berechnet werden kann (vgl. Lineare Regression). Eine zweite Möglichkeit, bei der allerdings nur die unabhängige Variable linearisiert werden kann ist: ANALYSIEREN / REGRESSION / KURVENANPASSUNG... Abh. Variable: Istern Unabh. Variable: Zins Logarithmisch D. h. bei dieser Vorgehensweise wird nur die Abhängige Variable linearisert; die Linearisierung der unabhängigen Variable erfolgt vom System und kann auch grafisch dargestellt werden: MODEL: MOD_1. Independent: ZINS 2,5 Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1 ISTERN LIN, ,75,000 2,5398 -,2797 ISTERN LOG, ,65,000 3,0811-1,2964 ISTERN 2,0 1,5 1,0,5 0,0 Beobachtet Linear -, Logarithmisch ZINS