Kompaktskript zur Vorlesung Prognoseverfahren

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1 Kompaktskript zur Vorlesung Prognoseverfahren Friedrich-Schiller-Universität Jena Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Wirtschafts- und Sozialstatistik Prof. Dr. P. Kischka Sommersemester 20

2 Inhaltsverzeichnis Bedingte Verteilungen von Zufallsvariablen 2 Stochastische Prozesse 2. Stochastische Prozesse und Prognosen Stochastische Prozesse für klassische Prognosemodelle White-Noise-Prozess Random-Walk-Prozess Weitere Prozesse Stationarität 2 3. Momentfunktionen stochastischer Prozesse Stationarität Moving-Average-Prozesse 3 4. Grundlagen Momentfunktionen Komplexe Zahlen Invertierbarkeit Autoregressive Prozesse 4 5. Grundlagen Stationarität Autoregressiver Prozesse Autoregressive Moving-Average-Prozesse 4 6. Grundlagen und Momentfunktionen ARIMA-Prozesse Partielle Autokorrelation Kennzeichnung von ARMA(p,q), AR(p), MA(q) durch ρ(τ), π(τ) Prognose und Prognosegüte für ARMA-Prozesse 6 7. Überprüfung auf Stationarität Bestimmung von p, q des ARMA(p,q)-Prozesses Schätzung der Autokorrelationen aus y,..., y T Schätzung der partiellen Autokorrelationen aus y,..., y T Schätzung der Parameter Schätzung der Parameter eines AR(p)-Prozesses Schätzung der Parameter eines MA()-Prozesses Schätzung der Parameter eines ARMA(p,q)-Prozesses Prognosewerte Prognosewerte für AR(p)-Prozesse Prognosewerte für MA(q)-Prozesse Prognosewerte für ARMA(p,q)-Prozesse Prognose- und Modellgüte Vergleich von Kenngrößen Residualanalyse Overfitting Semiautomatische Verfahren Ex post/ex ante Prognosen i

3 8 Instationäre Zeitreihen 2 8. Trendbeseitigung Deterministische und stochastische Trends Trendbereinigung Instationarität auf Grund von Strukturbrüchen ii

4 Bedingte Verteilungen von Zufallsvariablen Sei (X, Y ) eine 2-dimensionale diskrete Zufallsvariable mit gemeinsamer Verteilung P (X = x, Y = y). Dann heißen P (Y = y X = x) = P (Y = y, X = x) P (X = x) () bedingte Verteilung von Y gegeben X = x und E(Y X = x) = y y P (Y = y X = x) (2) bedingter Erwartungswert von Y gegeben X = x. Im stetigen Fall werden die Wahrscheinlichkeiten durch Dichtefunktionen ersetzt. 2 Stochastische Prozesse 2. Stochastische Prozesse und Prognosen Seien Y t (t L) Zufallsvariablen, die eine gemeinsame Verteilung besitzen. Dann heißt (Y t ) t L stochastischer Prozess. ŷ T+h (T ), eine Prognose zum Zeitpunkt T für T +h, h =, 2, 3,..., auf Grund der Beobachtungen (Zeitreihe) y,..., y T, kann eine sein. - Aussage über die Verteilung von Y T +h gegeben Y = y,..., Y T = y T : ŷ T +h (T ) = P (Y T +h = y T +h Y = y,..., Y T = y T ) - Aussage über den Erwartungswert von Y T +h gegeben Y = y,..., Y T = y T : ŷ T +h (T ) = E(Y T +h Y = y,..., Y T = y T ) 2.2 Stochastische Prozesse für klassische Prognosemodelle Idee Modellierung, so dass zu prognostizierende Größen unabhängig sind. In einem klassischen Prognosemodell ist Y t = f(t) + U t mit einer beliebigen gegebenen Funktion f(t) und unabhängigen Zufallsvariablen U t, für die E(U t ) = 0 und V ar(u t ) = σ 2 gelten. 2.3 White-Noise-Prozess Als White-Noise-Prozess oder weißes Rauschen wird ein stochastischer Prozess (U t ) t L mit identisch verteilten und unabhängigen Zufallsvariablen U t bezeichnet.

5 2.4 Random-Walk-Prozess Sei (U t ) t N ein White-Noise-Prozess. Ein Random-Walk-Prozess (Y t ) t N ist definiert durch Y t = t U i. i= Gilt E(U t ) = 0, so heißt (Y t ) t N Random-Walk ohne Drift, andernfalls Random-Walk mit Drift. 2.5 Weitere Prozesse - Seien U i identisch verteilte Zufallsvariablen, U t und U t+ abhängig, U t und U t+h unabhängig für h > und t Y t = U i. - Sei (U t ) t L weißes Rauschen und - Sei (U t ) t L weißes Rauschen und 3 Stationarität i= Y t = b Y t + U t. Y t = U t a U t. 3. Momentfunktionen stochastischer Prozesse Sei (Y t ) t L ein stochastischer Prozess. Dann heißen - µ(t) := E(Y t ) Mittelwertfunktion - σ 2 (t) := V ar(y t ) Varianzfunktion - γ(s, t) := cov(y s, Y t ) = E((Y s E(Y s )) (Y t E(Y t ))) Kovarianzfunktion - ρ(s, t) := corr(y s, Y t ) = γ(s,t) Korrelationsfunktion 3.2 Stationarität σ 2 (s) σ 2 (t) µ(t) σ 2 (t) γ(s, t) ρ(s, t) Weißes Rauschen µ σ 2 0 für s t 0 für s t σ 2 für s = t für s = t Random Walk t µ t σ 2 σ 2 min(s, t) Ein stochastischer Prozess (Y t ) t L heißt min(s,t) s t - mittelwertstationär, falls µ(t) = µ t L - varianzstationär, falls σ 2 (t) = σ 2 t L - kovarianzstationär, falls γ(s, t) = γ(τ) s, t L mit s t = τ (Y t ) heißt (schwach) stationär, falls (Y t ) mittelwert- und kovarianzstationär ist. Für (schwach) stationäre Prozesse gilt: ρ(τ) = corr(y t, Y t+τ ) = γ(τ) γ(0) 2

6 4 Moving-Average-Prozesse 4. Grundlagen Idee Gewichtet aufsummierte vergangene Zufallseinflüsse bestimmen den gegenwärtigen Zustand. Seien (U t ) weißes Rauschen und a,..., a q R. Dann heißt der Prozess (Y t ) mit Moving-Average-Prozess der Ordnung q (MA(q)-Prozess). Für einen MA(q)-Prozess gilt mit a 0 := : 4.2 Momentfunktionen Y t := U t a U t... a q U t q. (3) Y t = q ( a k )U t k. Satz Für einen MA(q)-Prozess (Y t ) mit E(U t ) = µ und Var(U t ) = σ 2 gilt: k=0 E(Y t ) = µ q ( a k ) (4) k=0 0 für τ > q γ(τ) = cov(y t, Y t+τ ) = σ 2 q τ a k a k+τ für 0 τ q k=0 γ( τ) für τ < 0 (5) Es gilt für einen MA()-Prozess: ρ() Komplexe Zahlen (x, y) R 2 heißt komplexe Zahl mit Realteil x und Imaginärteil y. Analoge Schreibweise: x + iy Rechenoperationen mit komplexen Zahlen: (x + iy) + (x + iy ) := (x + x ) + i(y + y ) (6) (x + iy) (x + iy ) := (xx yy ) + i(xy + x y) (7) Lösen quadratischer Gleichungen innerhalb der komplexen Zahlen C: Die Gleichung az 2 + bz + c = 0 besitzt die Lösungen z,2 = ( 2a b ± ) b 2 4ac z,2 = ( b 2a ± i ) 4ac b 2 falls b 2 4ac (8) falls b 2 < 4ac (9) 3

7 4.4 Invertierbarkeit Ein MA(q)-Prozess heißt invertierbar, falls die Nullstellen von A(z) = a z... a q z q außerhalb des Einheitskreises liegen. Satz Jeder invertierbare MA(q)-Prozess lässt sich als AR( )-Prozess darstellen. 5 Autoregressive Prozesse 5. Grundlagen Seien (U t ) weißes Rauschen und b,..., b p R. Dann heißt der stochastische Prozess (Y t ) mit Autoregressiver Prozess der Ordnung p (AR(p)-Prozess). 5.2 Stationarität Autoregressiver Prozesse Sei (Y t ) t L ein AR(p)-Prozess. Dann heißt die Funktion charakteristisches Polynom zu (Y t ). Y t = b Y t b p Y t p + U t (0) A(z) = b z... b p z p (z C) () Satz Liegen alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu (Y t ) außerhalb des Einheitskreises, so ist (Y t ) stationär. Satz Liegen die Koeffizienten b und b 2 eines AR(2)-Prozesses innerhalb des Dreiecks mit den Eckpunkten (0, ), ( 2, ) und (2, ), dann ist der Prozess stationär. Satz Für einen stationären AR(p)-Prozess (Y t ) mit Korrelationsfunktion ρ(τ) gelten die Yule- Walker-Gleichungen: ρ(τ) = b ρ(τ ) + b 2 ρ(τ 2) b p ρ(τ p) für alle τ > 0. (2) 6 Autoregressive Moving-Average-Prozesse 6. Grundlagen und Momentfunktionen Definition Ein stochastischer Prozess (Y t ) heißt Autoregressiver Moving-Average-Prozess der Ordnung (p, q) (ARMA(p, q)-prozess), wenn für Konstanten b,..., b p, a,..., a q R und weißes Rauschen (U t ) gilt: Y t = b Y t b p Y t p + U t a U t... a q U t q (3) 4

8 Momentfunktionen Sei (Y t ) ein ARMA(p,q)-Prozess. Dann gelten (Y t ) ist stationär. Der AR(p)-Teil ist stationär. A(z) = b z... b p z p hat nur Nullstellen, die außerhalb des Einheitskreises liegen. Beispiel Für einen stationären ARMA(,)-Prozess Y t = b Y t + U t a U t gelten: E(Y t ) = E(U t)( a ) b (4) V ar(y t ) = 2a b + a 2 b 2 V ar(u t ) = γ(0) (5) 6.2 ARIMA-Prozesse Ein stochastischer Prozess (Y t ) heißt γ() = ( a b )(b a ) b 2 V ar(u t ) (6) γ(τ) = b τ γ() für τ 2 (7) ρ() = ( a b )(b a ) 2a b + a 2 (8) ρ(τ) = b τ ρ() für τ 2 (9) ARIMA(p,,q)-Prozess, falls (Y t Y t ) ein ARMA(p,q)-Prozess ist, ARIMA(p,2,q)-Prozess, falls (Y t Y t ) (Y t Y t 2 ) ein ARMA(p,q)-Prozess ist, u.s.w. 6.3 Partielle Autokorrelation Sei (Y t ) ein stationärer stochastischer Prozess. Dann heißt π(τ) := corr(y t, Y t+τ Y t+ = const.,..., Y t+τ = const.) (20) partielle Autokorrelationsfunktion von (Y t ). Es gilt: π(0) =, π() = ρ() und π( τ) = π(τ) für τ < 0. Satz Sei (Y t ) ein stationärer ARMA(p,q)-Prozess mit Autokorrelationsfunktion ρ(τ). Dann gilt: π(τ) ist Lösung von ρ() ρ()... ρ(τ ) ρ(2). = ρ()... ρ(τ 2)... ρ(τ) ρ(τ ) ρ(τ 2)... x x 2. π(τ) (2) 5

9 6.4 Kennzeichnung von ARMA(p,q), AR(p), MA(q) durch ρ(τ), π(τ) Idee Identifikation des Prozess-Typs durch Bestimmung der empirischen Entsprechung von ρ und τ. Theoretisch gilt: ρ(τ) π(τ) AR(p)-Prozess exponentiell fallend oder π(τ) = 0 für τ > p sinusartig fallend MA(q)-Prozess ρ(τ) = 0 für τ > q exponentiell fallend oder sinusartig fallend ARMA(p,q)- Prozess wie AR(p) ab τ > q wie MA(q) ab τ > p 7 Prognose und Prognosegüte für ARMA-Prozesse Grundidee Gesucht ist ein stochastischer Prozess (Y t ), so dass die Beobachtungen y,..., y T (gegebene Zeitreihe) als Realisation von Y,..., Y T aufgefasst werden können. Dazu wird angenommen, dass ein mittelwertstationärer ARMA(p,q)-Prozess vorliegt. 7. Überprüfung auf Stationarität Für n (n T ) zufällig ausgewählte Werte aus y,..., y T eines mittelwertstationären Prozesses muss gelten: n n y i T i= y t. (22) Für n (n T ) zufällig ausgewählte Werte aus y,..., y T eines kovarianzstationären Prozesses muss gelten: n n (y t+τ y)(y t y) T τ 7.2 Bestimmung von p, q des ARMA(p,q)-Prozesses Ergodizität τ (y t+τ y)(y t y). (23) Definition: (Y t ) sei ein stationärer stochastischer Prozess mit E(Y t ) = µ und cov(y t, Y t+τ ) = γ(τ). (Y t ) heißt mittelwertergodisch, falls ( ) 2 lim E Y t µ = 0. (24) T T 6

10 (Y t ) heißt kovarianzergodisch, falls ( ) 2 lim E (Y t µ) (Y t+τ µ) γ(τ) = 0. (25) T T Satz: Sei (Y t ) ein stationärer stochastischer Prozess mit τ=0 γ(τ) <. Dann ist (Y t) mittelwertergodisch. Es gilt: Ein stationärer ARMA(p,q)-Prozess ist mittelwertergodisch. Ein stationärer ARMA(p,q)- Prozess mit normalverteilten U t ist kovarianzergodisch Schätzung der Autokorrelationen aus y,..., y T Γ(τ) := T τ (Y t+τ Y )(Y t Y ) (26) ist eine (nicht erwartungstreue) Schätzfunktion für die Kovarianzfunktion γ(τ) = cov(y t, Y t τ ). Die Realisation von Γ(τ) bzgl. y,..., y T wird mit γ(τ) bezeichnet. Alternativ wird auch die (nicht erwartungstreue) Schätzfunktion verwendet. Γ (τ) := τ (Y t+τ Y )(Y t Y ) (27) T τ P (τ) := Γ(τ) Γ(0) (28) ist eine Schätzfunktion für die Autokorrelationsfunktion ρ(τ). Die Realisation von P (τ) bzgl. y,..., y T wird mit ρ(τ) bezeichnet. Gilt: [ P (τ)ɛ T, 96 T, T ], 96 + T (29) (95-%-Konfidenzintervall), so kann ρ(τ) = 0 angenommen werden. Zur Identifikation der Ordnungen p und q eines ARMA(p,q)-Prozesses nutzt man den Vergleich von ρ(τ) und der theoretischen Korrelationsfunktion ρ(τ). Dies ist im Allgemeinen nicht ausreichend. Hinzu kommt der Vergleich der theoretischen partiellen Autokorrelationsfunktion π(τ) mit der empirisch gewonnenen partiellen Autokorrelation π(τ). Für die Gewinnung von π(τ) kann der Durbin-Levinson-Algorithmus genutzt werden. 7

11 7.2.2 Schätzung der partiellen Autokorrelationen aus y,..., y T Π(τ) ist eine Schätzfunktion für die partielle Autokorrelationsfunktion π(τ). Die Realisation von Π(τ) bzgl. y,..., y T wird mit π(τ) bezeichnet. Möglichkeiten zur Schätzung von π(τ):. Schätzung aus ρ(τ) mit Hilfe der Yule-Walker-Gleichungen 2. Schätzung mit Hilfe der linearen Regression (Box-Jenkins) 3. Durbin-Levinson-Algorithmus: mit Φ, := ρ() (30) Φ k+,k+ := ρ(k + ) k j= Φ kj ρ(k + j) k j= Φ kj ρ(j) (3) Φ k+,j := Φ kj Φ k+,k+ Φ k,k+ j k =, 2,... (32) π(τ) Φ k+,k+ für τ = k +, k =, 2,... (33) Gilt: [ ], 96, 96 Π(τ)ɛ, + T T (34) (95-Prozent-Konfidenzintervall), so kann π(τ) = 0 angenommen werden. 7.3 Schätzung der Parameter 7.3. Schätzung der Parameter eines AR(p)-Prozesses Die Schätzung der Parameter b,..., b p eines AR(p)-Prozesses Y t = b Y t b p Y t p + U t erfolgt mit Hilfe der Yule-Walker-Gleichungen unter Verwendung der empirischen Korrelationskoeffizienten: ρ() ρ()... ρ(p ) b ρ(2). = ρ()... ρ(p 2)... b2 (35). ρ(p) ρ(p ) ρ(p 2)... bp Eine Schätzung für die Varianz des weißen Rauschens σ 2 U folgt aus σ 2 U = σ 2 Y ( b ρ()... b p ρ(p)) mit σ 2 Y = 8 V ar(y t ) = T yt 2. (36)

12 Alternativ kann die Schätzung der Parameter b,..., b p auch mit Hilfe des KQ-Ansatzes erfolgen. min (b,...,b p) t=p+ (y t (b y t b p y t p )) 2 (37) Schätzung der Parameter eines MA()-Prozesses Sei Y t = U t a U t. Der Parameter a wird unter Verwendung des empirischen Korrelationskoeffizienten ρ() durch Annahme von ρ() = ρ() geschätzt: ρ() = a + a 2 a = ( ± ) 4( ρ()) 2 ρ() 2 (38) Gewählt wird die Lösung a, für die a < gilt Schätzung der Parameter eines ARMA(p,q)-Prozesses Die Schätzung der Parameter von Y t = b Y t b p Y t p + U t a U t... a q U t q, kann mit dem Durbin-Verfahren erfolgen. Seien k die nächstgrößere ganze Zahl zu T und Zunächst erfolgt die Schätzung von ĉ,..., ĉ k wie in Danach werden die Residuen zum Zeitpunkt t Y t = c Y t c k Y t k + U t. (39) û t := y t ĉ y t... ĉ k y t k (40) berechnet, um anschließend b,..., b p, â,..., â q als Kleinste-Quadrat-Schätzwerte von min (b,...,b p,a,...,a q) t=k+ bestimmen zu können. 7.4 Prognosewerte 7.4. Prognosewerte für AR(p)-Prozesse Sei (y t (b y t b p y t p + û t a û t... a q û t q )) 2 (4) Y t = b Y t b p Y t p + U t ein geschätzter AR(p)-Prozess mit E(U t ) = 0 und V ar(u t ) = σ 2. Dann gelten: ŷ T + (T ) = E(Y T + Y = y,..., Y T = y T ) = b y T + b 2 y T b p y T p+ (42) ŷ T +2 (T ) = E(Y T +2 Y = y,..., Y T = y T ) = b ŷ T + (T ) + b 2 y T b p y T p+2 (43) 9

13 7.4.2 Prognosewerte für MA(q)-Prozesse Sei Y t = U t â U t... â q U t q ein aus den Beobachtungen y,..., y T geschätzter MA(q)-Prozess mit E(U t ) = 0 und û t := y t ŷ t (t ) für t T mit ŷ (0) := 0, (44) ŷ t (t ) := E(Y t U = û,..., U t = û t ) = â û t â 2 û t 2... â q û t q. (45) Dann gilt: ŷ T + (T ) = E(Y T + U = û,..., U T = û T ) = â û T â 2 û T... â q û T q+. (46) Prognosewerte für ARMA(p,q)-Prozesse Sei Y t = b Y t b p Y t p + U t â U t... â q U t q ein geschätzter ARMA(p,q)-Prozess mit E(U t ) = 0. Dann gilt: ŷ T + (T ) = E(Y T + Y = y,..., Y T = y T ) = b y T + b 2 y T b p y T p+ â û T... â q û T q+ (47) ŷ T +2 (T ) = b ŷ T + (T ) + b 2 y T b p y T p+2 â 2 û T... â q û T q+2. (48) 7.5 Prognose- und Modellgüte 7.5. Vergleich von Kenngrößen Seien y,..., y T Realisationen eines ARMA(p,q)-Prozesses mit der empirischen Autokorrelation ρ(τ). Weiterhin sei ρ(τ) die theoretische Autokorrelation des aus den Beobachtungen y,..., y T geschätzten Prozesses Vorgehen Y t = b Y t b p Y t p + U t â U t... â q U t q. H 0 : Das geschätzte Modell ist richtig. H : Das geschätzte Modell ist nicht richtig. Festlegung des Signifikanzniveaus α und einer natürlichen Zahl M Durchführung von (M ) Simulationen des geschätzten ARMA(p,q)-Prozesses und Berechnung der empirischen Autokorrelation ρ(τ i ) von y i,..., y T i für jede Simulation i ( i M ) d(τ i ) = T (ρ(τ) ρ(τ i )) für i M D i = m (d(τ i )) 2 für i M und m T τ= d(τ) = T (ρ(τ) ρ(τ)) D = m (d(τ)) 2 τ= Ist D unter den α M größten Werten der D i, so wird die Nullhypothese H 0 abgelehnt. 0

14 7.5.2 Residualanalyse Seien Y t = b Y t b p Y t p + U t â U t... â q Y t q ein aus den Beobachtungen y,..., y T geschätzter ARMA(p,q)-Prozess, Realisationen der U t und ĉ(τ) = û t = y t ŷ t (t ) T τ T τ û t û t+τ T û 2 t ein Schätzer für corr(u t, U t+τ ). Die Box-Pierce Portmanteau-Statistik Q = T (49) m (ĉ(τ)) 2 mit m 2 T (50) τ= ist unter Regularitätsbedingungen χ 2 -verteilt mit (m p q) Freiheitsgraden. Die Nullhypothese H 0 : Das geschätzte ARMA(p,q)-Modell ist richtig wird abgelehnt, falls gilt Overfitting Q > χ 2 ( α),(m p q). (5) Vergleich des aus den Beobachtungen y,..., y T geschätzten ARMA(p,q)-Prozesses mit einem ARMA(p+,q)-Prozess bzw. ARMA(p,q+)-Prozess. Ablehnung von H 0 : Das geschätze ARMA(p,q)-Modell ist richtig, falls sich die Koeffizienten b,..., b p des ARMA(p,q)-Prozesses und die Koeffizienten b,..., b p des ARMA(p+,q)-Prozesses bzw. die Koeffizienten â,..., â q des ARMA(p,q)-Prozesses und die Koeffizienten â,..., â q des ARMA(p,q+)-Prozesses unterscheiden. b p+ 0 bzw. a q+ 0 die Varianz der Residuen des ARMA(p+,q)-Prozesses gegenüber der Varianz der Residuen des ARMA(p,q)-Prozesses bzw. die Varianz der Residuen des ARMA(p, q+)-prozesses gegenüber der Varianz der Residuen des ARMA(p,q)-Prozesses wesentlich gesunken ist Semiautomatische Verfahren Für alle als möglich erachteten Kombinationen (p,q) wird das Akaike-Informations-Kriterium AIC(p, q) = ln σ 2 pq + 2 p + q T mit (52) σ 2 pq = T û 2 t (53)

15 bestimmt. Alternativ kann auch das Schwarz-Bayes-Kriterium SBC(p, q) = ln σ 2 pq + (p + q) ln T T herangezogen werden. Es erfolgt die Auswahl der Kombination (p,q), die AIC(p,q) bzw. SBC(p,q) minimiert Ex post/ex ante Prognosen Seien y,..., y k,..., y T Realisationen eines ARMA(p,q)-Prozesses und ŷ k+ (k), ŷ k+2 (k + ),..., ŷ T (T ) - Schritt-Prognosen auf Grund der aus den Realisationen y,..., y k geschätzten Parameter des ARMA(p,q)-Prozesses. Die Differenzen ŷ k+ (k) y k+,..., ŷ T (T ) y T sollten weißes Rauschen sein. Nachtrag Ist U t weißes Rauschen, so liegen α% aller empirischen Korrelationen außerhalb des Bandes (54) T ± z α 2. (55) T 8 Instationäre Zeitreihen 8. Trendbeseitigung 8.. Deterministische und stochastische Trends Der stochastische Prozess Y t = f(t) + U t, (56) mit (U t ) weißes Rauschen, wird als Prozess mit deterministischen Trend bezeichnet. Es besteht ein deterministischer Zusammenhang mit der Zeit t. Die Varianz von Y t ist konstant. Ein stochastischer Trend ist zufällig und variiert mit der Zeit t, z. B. der random walk mit Trend Y t = δ + Y t + U t = Y 0 + t δ + t U i (57) mit U i weißes Rauschen. Die Varianz eines solchen Prozesses variiert mit der Zeit t Trendbereinigung Nach Anwendung des Dickey-Fuller Tests zur Unterscheidung der Trendarten wird bei Vorliegen eines deterministischen Trends die Differenz Y t f(t) oder bei Vorliegen eines stochastischen Trends die Differenz gebildet. Y t Y t i= 2

16 8.2 Instationarität auf Grund von Strukturbrüchen Sei Y t = b 0 + b Y t + U t der Ausgangsprozess. Bei Vorlage eines Strukturbruches zum Zeitpunkt τ gilt { b 0 + b Y t + U t für t τ Y t = (b 0 + γ 0 ) + (b + γ )Y t + U t für t > τ. (58) Das Testproblem H 0 : γ 0 = γ = 0 gegen H : γ 0 0 oder γ 0 kann mit dem Chow-Test untersucht werden. 3