Mehrgleichungsmodelle

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Nadine Gehrig
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1 Mehrgleichungsmodelle Stichwörter: Typen von Mehrgleichungsmodellen multivariates Regressionsmodell seemingly unrelated Modell interdependentes Modell Schätzen der Parameter Bestimmtheitsmass Spezifikationstests o1-19.tex/0

seemingly unrelated Modell interdependentes Modell

2 Mehrgleichungsmodelle 1. Mehrgleichungsmodelle mit (gemeinsamen) fixen Regressoren (multivariates Regressionsmodell) Nachfrage nach Gütern durch Haushalte capital asset pricing model Modell für Investitionen von Unternehmen von Grunfeld- Griliches 2. Mehrgleichungsmodelle mit stochastischen (endogenen) Regressoren (simultaneous equation model, interdependente Modelle) Marktmodell Klein s Modell o1-19.tex/1

nach Gütern durch Haushalte capital asset pricing model Modell für Investitionen von Unternehmen von

3 Beispiel: Investitionsmodell nach Grunfeld (1958), Grunfeld & Griliches (1958) I it = β 1 + β 2 F it + β 3 C it + u it mit I t : Investitionen (gross investment), F t : Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode, C t : Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode Daten für fünf Unternehmen (i = 1,..., 5) o1-19.tex/2

F t : Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode, C t : Anlagenwert des

4 Ein multivariates Regressionsmodell seemingly unrelated regression (SUR) model, Modell scheinbar unverbundener Gleichungen Y 1t Y 2t = x 1tβ 1 + u 1t, u 1t IID(0, σ 2 1), t = 1,..., n = x 2tβ 2 + u 2t, u 2t IID(0, σ 2 2), t = 1,..., n Regressoren identisch, Spaltenzahl k unterschiedlich, Spaltenzahl k i, i = 1, 2 Störgrößen unabhängig: Cov{u it, u jt } = 0 für alle i, j, t, t Abhängigkeit zwischen u 1t und u 2t (t = 1,..., n): Cov{u 1t, u 2t } = E{u 1t, u 2t } = σ 12 (contemporaneous covariance), aber Cov{u 1t, u 2t } = 0 (t t ) und Cov{u it, u it } = 0 (t t ) für i = 1, 2 Wir schreiben mit u t = (u 1t, u 2t ) E{u t u t} = Var{u t } = Σ = σ2 1 σ 12 σ 12 σ2 2 o1-19.tex/3

.., n Regressoren identisch, Spaltenzahl k unterschiedlich, Spaltenzahl k i, i = 1, 2 Störgrößen unabhängig: Cov{u it, u jt } = 0 für alle i, j, t, t Abhängigkeit

5 m Gleichungen i-te Gleichung Matrixnotation mit n-vektoren y i, u i, und n k i -Matrix X i, i = 1,..., m mit Var{u i } = σ 2 i I n y i = X i β i + u i gemeinsame Darstellung der m Gleichungen ȳ = vec(y ) = y 1. y m ist ein mn-vektor; analog mn-vektor ū = vec(u) und K-Vektor β = vec(b) mit K = i k i mit X: (mn K)-Matrix und X = ȳ = Xβ + ū X X X m V = Var{ū} = Σ I n o1-19.tex/4

6 Das Kronecker-Produkt Definition A = a a 1m a nm a n1, B = b b 1q b pq b p1 A B = a 11 B... a 1m B..... a n1 B... a nm B = a 11 b a 1m b 1q..... a n1 b p1... a nm b pq mit Ordnung np mq. Eigenschaften: A 1, A 2 : n m, B 1, B 2 : p q 1. A 1 B 1 + A 2 B 1 = (A 1 + A 2 ) B 1 A 1 B 1 + A 1 B 2 = A 1 (B 1 + B 2 ) 2. k(a 1 B 1 ) = ka 1 B 1 = A 1 (kb 1 ) 3. (A 1 B 1 )(A 2 B 2) = A 1 A 2 B 1 B 2 4. Sp(A 1 B 1 ) = Sp(A 1 ) Sp(B 1 ) 5. (A 1 B 1 ) 1 = A 1 1 B 1 1, wenn m = n, p = q und A 1,B 1 invertierbar o1-19.tex/5

A 1 B 1 + A 2 B 1 = (A 1 + A 2 ) B 1 A 1 B 1 + A 1 B 2 = A 1 (B 1 + B 2 ) 2. k(a 1 B 1 ) = ka 1 B 1 = A 1 (kb 1 ) 3.

7 OLS- und GLS-Schätzung von B Als OLS-Schätzer für β i aus der i-ten Gleichung y i = X i β i + u i ergibt sich für i = 1,..., m ˆβ i = (X ix i ) 1 X iy i mit ˆβ i berücksichtigt nicht Σ! Var{ ˆβ i } = σ 2 i (X ix i ) 1 Alternativ ergibt sich aus ȳ = Xβ + ū der GLS-Schätzer β = [ X V 1 1 X] X V 1 ȳ = [ X (Σ 1 I) X] 1 X [ X (Σ 1 I) X] 1 ȳ = σ 11 X 1X 1 σ 12 X 1X 2... σ 1m X 1X m σ 21 X 2X 1 σ 22 X 2X 2... σ 2m X 2X m σ m1 X mx 1 σ m2 X mx 2... σ mm X mx m 1 i σ 1i X 1y i i σ 2i X 2y i. i σ mi X my i Standardfehler von β aus Var{ β} = [ X (Σ 1 I) X] 1 o1-19.tex/6

Var{ ˆβ i } = σ 2 i (X ix i ) 1 Alternativ ergibt sich aus ȳ = Xβ + ū der GLS-Schätzer β = [ X V 1 1 X] X V 1 ȳ = [ X (Σ 1 I) X] 1 X [ X (Σ 1

8 Vergleich von OLS- und GLS-Schätzung 1. OLS-Schätzer ˆβ i und GLS-Schätzer β i sind identisch, wenn σ ij = 0, i j 2. OLS-Schätzer ˆβ i und GLS-Schätzer β i sind identisch, wenn X i = X, i = 1,..., m Beachte! In diesen beiden Situationen bringt die GLS- Schätzung keinen Effizienzgewinn! Effizienzgewinn ist umso größer, 1. je stärker die Korrelationen zwischen den Störgrößen 2. je geringer die Korrelationen zwischen den Regressorvariablen Bei identischen X i = X, i = 1,..., m, gilt Var{ β} = (Σ 1 X X) 1 = Σ (X X) 1 o1-19.tex/7

In diesen beiden Situationen bringt die GLS- Schätzung keinen Effizienzgewinn! Effizienzgewinn ist umso größer, 1.

9 Feasible GLS-Schätzung Aus der i-ten Gleichung leiten wir ab und ˆσ 2 i = 1 n û iû i ˆσ ij = 1 n û iû j Mit ˆū = (û 1,..., û m ) können wir schreiben ˆΣ = 1 n ˆū ˆū Wenn ˆβ = β, können die Standardfehler von ˆβ und β aus Var{ β} = (Σ 1 X X) 1 = Σ (X X) 1 durch Ersetzen von Σ durch ˆΣ ermittelt werden. Alternative Schätzer sind ˆσ ij = û iû j n ki n kj, û iû j n max (k i, k j ) o1-19.tex/7

.., û m ) können wir schreiben ˆΣ = 1 n ˆū ˆū Wenn ˆβ = β, können die Standardfehler von ˆβ und β

10 ML-Schätzung Voraussetzung: ū N(0, Σ I) Die log-likelihood Funktion lautet mit log L = nn 2 log 2π 1 2 log Σ I 1 2 S(β) S(β) = [ȳ Xβ] (Σ 1 I)[ȳ Xβ] Bei identischen X = X i, i = 1,..., m ergibt sich S(β) = [ȳ (I X)β] (Σ 1 I)[ȳ (I X)β] Minimieren von S(β) ergibt die GLS-Schätzer β i bzw. die OLS-Schätzer ˆβ i. o1-19.tex/8

11 Bestimmtheitsmass und Spezifikationstests Einsetzen von β und ˆΣ in gibt S(β) = (ȳ Xβ) (Σ 1 I)(ȳ Xβ) S g ( β) = (ȳ X β) (ˆΣ 1 I)(ȳ X β) = n Sp(ˆΣ 1 Σ) mit Σ = ( ū ū)/n Bestimmtheitsmass für Mehrgleichungsmodelle R 2 I = 1 S g( β) S g (0) mit S g (0) als S(β) für den Fall, dass β nur aus einem Interzept besteht Test der Nullhypothese, dass r Restriktionen für die Parameter β gelten S g ( β R ) S g ( β) χ 2 (r) Test auf serielle Korrelation o1-19.tex/9

g( β) S g (0) mit S g (0) als S(β) für den Fall, dass β nur aus einem Interzept besteht Test der Nullhypothese,

12 SUR-Schätzung in EViews 1. Generieren eines system objects: Objects/New Object/System 2. Eingeben der einzelnen Gleichungen 3. Schätzen der Parameter (system estimation) Ordinary Least Squares: Schätzt Einzelgleichungen unter Berücksichtigung von cross-equation Restriktionen Cross-Equation Weighting: Schätzt Einzelgleichungen unter Berücksichtigung von cross-equation Heteroskedastizität Seemingly Unrelated Regression: Berücksichtigung von cross-equation Heteroskedastizität und contemporaneous Korrelation o1-19.tex/10

cross-equation Restriktionen Cross-Equation Weighting: Schätzt Einzelgleichungen unter Berücksichtigung von cross-equation

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