Simultane Mehrgleichungssysteme: Parameterschätzung

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1 Simultane Mehrgleichungssysteme: Parameterschätzung Stichwörter: Eigenschaften des OLS-Schätzers Hilfsvariablenschätzer 2SLS limited information Methoden 3SLS FIML full information Methoden o1-21.tex/0

2 Simultane Mehrgleichungsmodelle: Schätzmethoden 1. Methoden bei beschränkter Information (limited information methods) Indirekte OLS-Schätzung (ILS) Zweistufige OLS-Quadrat Schätzung (2SLS) ML-Schätzung bei beschränkter Information (LIML) 2. Methoden bei voller Information (full information methods) Dreistufige Kleinst-Quadrat Schätzung (3SLS) ML-Schätzung bei voller Information (FIML) o1-21.tex/1

3 OLS-Schätzung bei Mehrgleichungsmodellen Wir suchen Schätzer für die Parameter β der i-ten Gleichung y = Xβ + u = Y 1 α + Z 1 γ + u aus dem Mehrgleichungsmodell. Der OLS-Schätzer b = (X X) 1 X y = β + (X X) 1 X u ist im allgemeinen nicht konsistent wegen plim(n 1 X u) = q 0. o1-21.tex/2

4 Beispiel: Angebot und Nachfrage Q t Q t = α 2 P t + α 3 Y t + u 1t = β 2 P t + u 2t endogen: Q, P ; exogen: Y u it IID(0, σ 2 i ), E{u 1t u 2t } = 0 Reduzierte Form: P t = Schätzung von β 2 : α 3 β 2 α 2 Y t + v 1t = π 1 Y t + v 1t Q t = β 2α 3 β 2 α 2 Y t + v 2t = π 2 Y t + v 2t OLS-Schätzung: (p p) 1 p q; nicht konsistent Cov{P t, u 1t } = 0 Hilfsvariablenschätzer: (y p) 1 y q; konsistent; beachte: 1. indirekte OLS-Schätzung: (y p) 1 y q = ˆπ 2 ˆπ 1 ; ˆπ i OLS- Schätzer von π i aus reduzierter Form 2. 2-stufige OLS-Schätzung: wegen ˆp = [(y y) 1 y p]y und ˆp p = ˆp ˆp ergibt sich der Schätzer für β 2 aus der Regression von Q t auf ˆP t o1-21.tex/3

5 Bedeutung der OLS-Schätzung Trotz Mängel ist der OLS-Schätzer wichtig: nicht erwartungstreu, aber hat minimale Varianz robust gegen nicht erfüllte Voraussetzungen (in anderen Gleichungen) asymptotisch unverzerrt bei rekursiven Mehrgleichungsmodellen Anwendung auf reduzierte Form [Indirekter OLS-Schätzer oder ILS (indirect least squares)-schätzer]; der Schätzer ist konsistent o1-21.tex/4

6 Notation Für i-te Gleichung der Strukturform: die (n k)-matrix y i = X i β i + u i, u i IID(0, σ 2 i I) X i = [ Y i Z i ] enthält endogene Variable [Y i : (n (m i 1))-Matrix] und prädeterminierte Variable [Z i : (n K i )-Matrix]; wir können schreiben y i = Y i α i + Z i γ i + u i mit β i = α i γ i o1-21.tex/5

7 Notation, Forts. Für i-te Gleichung der reduzierten Form: Y = ZΠ + V mit Π: (m K)-Matrix Zerlegung für i-te Gleichung: Y = [ y i Y i Y Z = [ Z i Z i i ] ] und Z i sind aus der i-ten Gleichung ausge- Variable aus Yi schlossen. Die Variablen aus Y i können aus der reduzierten Form erhalten werden: Y i = Z(Π ) i + V i die Matrix (Π ) i bzw. V i = U[(A 1 ) ] i enthält die entsprechenden Spalten aus Π bzw. V Die Verteilung von v t ergibt sich aus v t = A 1 u t IID[0, A 1 Σ(A 1 ) ] o1-21.tex/6

8 Notation, Forts. Darstellung des simultanen Gleichungssystem als eine Gleichung i-te Gleichung sei y i = Y i α i + Z i γ i + u i = X i β i + u i mit u i IID(0, σ 2 i ) und Cov{u i, u j } = σ ij I für i, j = 1,..., m. mit y = und y 1. y m, X = Var{u} = Σ = y = Xβ + u X X m, β = σ 11 I... σ 1m I..... σ m1 I... σ mm I β 1. β m, u = = Σ I u 1. u m o1-21.tex/7

9 Der 2SLS-Schätzer Er ist ein Hilfsvariablen Schätzer mit den exogenen bzw. den prädeterminierten Variablen Z als natürliche Instrumente: plim(n 1 Z u) = q = 0 (die Variablen in Z sind unabhängig von aktuellen und künftigen Störgrößen) Der 2SLS-Schätzer ergibt sich zu b = ( ˆX ˆX) 1 ˆX y mit oder ˆX = Z(Z Z) 1 Z X ˆX = Z(Z Z) 1 Z (Y i Z i ) = (Z(ˆΠ ) i Z i ) ˆΠ ist der OLS-Schätzer aus der reduzierten Form des Modells o1-21.tex/8

10 Eigenschaften der 2SLS-Schätzer Identifizierbarkeit: Die Zahl K der Instrumente muß mindestens gleich der Zahl der Regressoren sein: K k = (m i 1) + K i oder K K i m i 1 Beachte! Voraussetzung der 2SLS-Schätzung ist, daß die Gleichung identifiziert (oder überidentifiziert) ist! Andernfalls liegt exakte Multikollinearität vor! Eigenschaften: b ist (unter allgemeinen Bedingungen) konsistent (plim b = β) asymptotisch normal-verteilt b N(β, σ 2 ( ˆX ˆX) 1 ) mit (ẽ = y X b) σ 2 = 1 n kẽ ẽ o1-21.tex/9

11 Modifikationen Zur OLS-Schätzung von Ŷi aus der reduzierten Form kann auch eine Teilmenge der Variablen Zi verwendet werden, wenn die Identifizierbarkeit sichergestellt ist. Anstelle des Kleinst-Quadrat-Prinzips kann das Maximum Likelihood-Prinzip angewendet werden: Maximieren der Likelihoodfunktion, die sich aus der i-ten Strukturgleichung für y i und den Gleichungen der reduzierten Form für die Variablen aus Y i ergibt (LIML-Schätzer). o1-21.tex/10

12 Simultanes Schätzen der Koeffizienten mehrerer Gleichungen: full information Schätzmethoden 3SLS-Schätzer: Erweiterung des 2SLS-Schätzers im Sinn der feasible GLS Schätzung (vergl. SUR-Schätzer) die m Gleichungen des Mehrgleichungsmodells können geschrieben werden als oder y 1 y 2. y m = mit Var{ū} = Σ I n. X X X m ȳ = X β + ū β 1 β 2. β m Der GLS-Schätzer b G für β ergibt sich zu + u 1 u 2. u m bg = [ X (Σ 1 I n ) X] 1 X (Σ 1 I n )ȳ berücksichtigt nicht stochastische Regressoren Σ unbekannt o1-21.tex/11

13 3SLS-Schätzung Die Schätzung erfolgt in folgenden Schritten: Für jede Gleichung i = 1,..., m: 1. berechne die Instrumentvariablen ˆX i = Z(Z Z) 1 Z X i = P Z X i, 2. und die 2SLS-Residua ẽ i = y i X i bi berechne Σ mit den Schätzern σ ij = nẽ 1 iẽ j für i, j = 1,..., m ermittle den feasible GLS-Schätzer b G zu b G o1-21.tex/12

14 3SLS-Schätzung, Forts. Der 3SLS-Schätzer b G ergibt sich zu bg = [ ˆ X ( Σ 1 I n ) ˆ X] 1 ˆ X ( Σ 1 I n )ȳ = [ X (I P Z ) ( Σ I n ) 1 1 (I P Z ) X] X (I P Z ) ( Σ I n ) 1 ȳ = [ X ( Σ 1 P Z ) X] 1 X ( Σ 1 P Z )ȳ wegen ˆ X = = ˆX ˆX ˆXm P Z P Z P Z X = (I P Z ) X o1-21.tex/13

15 Eigenschaften des 3SLS Schätzers b G unter allgemein erfüllten Regularitätsbedingungen gilt b G ist konsistent b G ist näherungsweise normalverteilt mit Var{ b G } = [ X ( Σ 1 P Z ) X] 1 Beachte! wenn 3SLS Schätzer ist äquivalent zu 2SLS Schätzer, alle Gleichungen exakt identifiziert sind Σ diagonal o1-21.tex/14

16 Iterative 3SLS-Schätzung Bei der 3SLS-Schätzung ist der Schätzer Π = Ã 1 Γ verschieden von den Koeffizienten zur (nichtrestringierten) Schätzung von ˆX i im 1. Schritt der Schätzer von Σ aus 2SLS-Residua verschieden von dem aus 3SLS-Residua Iterative 3SLS-Schätzung: Äußere Iteration: 1. Schritt wird wiederholt mit Π = Ã 1 Γ zur Berechnung der ˆXi Innere Iteration: 2. und 3. Schritt werden wiederholt mit Σ aus 3SLS-Residua o1-21.tex/15

17 FIML-Schätzung Wenn u t IIN(0, Σ), so ist die Likelihood-Funktion log L(A, Γ, Σ) = c + n log A n 2 log Σ 1 2 Sp[Σ 1 (Y A ZΓ) (Y A ZΓ)] ML-Schätzer für Σ ˆΣ = 1 n (Y Â Z ˆΓ) (Y Â Z ˆΓ) = 1 n t û t û t FIML-Schätzer (full information maximum likelihood) durch Maximieren der konzentrierten Likelihood-Funktion log L = n log A n 2 log 1 n (Y A ZΓ) (Y A ZΓ) nichtlineares Problem; numerisches Maximieren Eigenschaften der FIML-Schätzung: konsistent asymptotisch normalverteilt asymptotisch effizient asymptotisch äquivalent der (iterativen) 3SLS-Schätzung o1-21.tex/16

18 Klein s Modell 1 (1950) C t = α 1 + α 2 P t + α 3 P t 1 + α 4 (W p t + W g t ) + u 1t Konsum I t W p t = β 1 + β 2 P t + β 3 P t 1 + β 4 K t 1 + u 2t Investitionen = γ 1 + γ 2 X t + γ 3 X t 1 + γ 4 t + u 3t Nachfrage nach Arbeit Y t + T t = C t + I t + G t (gesamte Produktion) K t = I t + K t 1 (Kapitalbestand) Y t = Wt p + Wt g + P t (Einkommen) X t = Y t + T t Wt g (private Produktion) mit C: Ausgaben für Konsum, P : Gewinne, W p : private Löhne+Gehälter, W g : öffentliche Löhne+Gehälter, X: private Produktion, I: Investitionen, K: Kapitalbestand, Y : Einkommen nach Steuern, G: Ausgaben der öffentlichen Hand, T : Steuern, t: Zeit (Trend) endogen: C t, P t, W p t, I t, X t, K t, Y t exogen: 1, W g t, G t, T t, t vorherbestimmt: P t 1, K t 1, X t 1 o1-21.tex/17

19 Beispiel: Klein s Modell 1 Konsumfunktion Int P P 1 Wt p + Wt g 2SLS (1.32) (0.118) (0.107) (0.040) LIML (1.93) (0.212) (0.182) (0.058) OLS (1.30) (0.091) (0.091) (0.040) 3SLS (1.30) (0.108) (0.100) (0.033) FIML (2.12) (0.096) (0.101) (0.047) I3SLS (1.22) (0.096) (0.090) (0.035) o1-21.tex/18

20 System-Schätzer in EViews Verfügbare Verfahren 1. OLS-Schätzung 2. Gewichtete OLS-Schätzung (equation weighted regression) 3. SUR-Schätzung 4. (Gewichtete) 2SLS-Schätzung 5. 3SLS-Schätzung 6. FIML 7. GMM (generalized method of moments) Vorgangsweise 1. Generieren eines system objects: Objects/New Object/System 2. Eingeben der einzelnen Gleichungen 3. Schätzen der Parameter (system estimation); Auswahl der Schätzmethode 4. Wahl der Iterationsoptionen o1-21.tex/19

21 Praxis des System-Schätzens 1. Spezifikation der Gleichungen Identitäten werden nicht berücksichtigt die Zahl der Instrumentvariablen ist mindestens so gross wie die Zahl der Variablen der rechten Seite (Identifizierbarkeit) o1-21.tex/20