Prof. Dr. Marc Gürtler WS 2015/2016. Prof. Dr. Marc Gürtler. Klausur zur 10/12 SWS-Vertiefung Empirische Finanzwirtschaft Finanzwirtschaft

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1 Prof. Dr. Marc Gürtler WS 015/016 Prof. Dr. Marc Gürtler Klausur zur 10/1 SWS-Vertiefung Empirische Finanzwirtschaft Finanzwirtschaft Lösungsskizze

2 Prof. Dr. Marc Gürtler WS 015/016 Aufgabe 1: ( =56 Punkte) 1) Heteroskedastizität: Verletzung der Annahme der Homoskedastizität: Var(u x,..., x ) 1 k Beispiel: Mit zunehmende Werten von x steigt auch die Varianz von y: y Problem der Heteroskedastizität: Heteroskedastizität hat Einfluss auf die (geschätzte) Varianz der mit OLS geschätzten Steigungsparameter in linearen Regressionsmodellen. Da die OLS-Standardfehler unmittelbar von den Varianzen abhängen, kann bei Heteroskedastizität auf Basis der Standardfehler kein Konfidenzintervall und keine t- Statistik gebildet werden. Bei Heteroskedastiztität folgen die t-statistiken (F-Statistiken) auch bei großen Stichproben nicht mehr einer t-verteilung (F-Verteilung). Die bisher verwendeten Test-Statistiken lassen sich bei Heteroskedastizität nicht anwenden. ) Breusch-Pagan-Test für Heteroskedastizität Nullhypothese (für Homoskedastizität): H : Var(u x,..., x ) H : E(u x,..., x ) E(u ) 0 1 k 0 1 k (MLR.4) Im Weiteren gehen wir davon aus, dass die Beziehung zwischen u und x1,, xk durch folgende lineare Regression beschrieben werden kann: u = δ + δ x δ x + v mit E(v x,..., x ) = k k 1 k Dann ist die Nullhypothese äquivalent zu: H : δ =... = δ = k Da die ui unbekannt sind, werden diese durch die entsprechenden Schätzer ersetzt, d.h. den Residuen u, so dass diese quadrierten Residuen auf die erklärenden Variablen regressiert werden: u ˆ = δ + δ x δ x + vˆ k k x

3 Prof. Dr. Marc Gürtler WS 015/016 Falls das Bestimmtheitsmaß R dieser Regression nahe bei null liegt, ist von der Gültigkeit der Nullhypothese auszugehen, da dann u nahezu unkorreliert von den unabhängigen Variablen x1,, xk vorliegt. Dies führt zur Breusch-Pagan-Teststatistik: BP = n R u ˆ Bei Gültigkeit der Nullhypothese (d.h. bei Homoskedastizität) ist BP asymptotisch - verteilt mit k Freiheitsgraden, d.h. BP ~ k. Damit wird die Nullhypothese der Homoskedastizität zugunsten der Alternativhypothese der Heteroskedastizität auf einem Signifikanzniveau a verworfen, falls für die Teststatistik gilt: BP k,1 Breusch-Pagan-Test für Heteroskedastizität Relevante Parameter: n=891 (Anzahl Beobachtungen), R 0,133 (Bestimmtheitsmaß der Regression der Residuen), û k=4 (Freiheitsgrade (Anzahl unabhängiger Variablen)), 0,05 / 0,01 (Signifikanzniveau) Berechnung der Teststatistik: k,1 4/ 0,95 9, 49 BP 8910, ,71 BP (da 118,71 > 13,8 > 9,49) 4/0,99 4/0,95 4/ 0,99 13,8 Ablehnung von H0 zum Sigifikanzniveau 1% Vorliegen von Heteroskedastizität Notwendigkeit heteroskedastizitäts-robuster Standardfehler Statabefehl: estat hettest Darlehenshoehe Alter DV DD, iid 3) Allgemein: Var( ˆ j) SST (1R ) x j White-Schätzer (im allgemeinen Modell k 1) : n rˆ ij uˆ i i1 j SSRj Var( ˆ ), wobei r das Residuum für Beobachtung i bezeichnet, das sich bei einer Regression von xj auf die anderen erklärenden Variablen ergibt und SSR r. β Var β = (heteroskedastizitäts-)robuster Standardfehler

4 Prof. Dr. Marc Gürtler WS 015/016 Wird nun in der t-statistik der OLS-Standardfehler durch den robusten Standardfehler ersetzt, erhält man die heteroskedastizitäts-robuste t-statistik. t-statistik: Mit den Werten aus Tabelle 1 gilt z.b.:, = -1,99,,, = -1,83, Laufzeit (L) nicht-robust robust coeff std err t std err t Darlehenshöhe (D) 0,0051 0, ,00 0, ,84 Alter (A) -0, ,0754-1,99 0,0300-1,83 Darlehenshöhe*V1 (DV) 0, ,0001 5,4 0,0004 4,54 Darlehenshöhe*D1 (DD) 0, , ,91 0,0001 0,63 _const (alpha) 13, ,0818 1,65 1, ,78 4) p-wert (zweiseitig):,,,..., Anzahl Freiheitsgerade: ,99 0,047; talter =1,99 > 1,96 Ablehnung von H0 zu α=0,05, 1,83 0,068; talter,robust =1,83 1,96 keine Ablehnung von H0 zu α=0,05 Darlehenshöhe jeweils p-wert von p=0,000.

5 Prof. Dr. Marc Gürtler WS 015/016 Aufgabe : ( =30 Punkte) 1) Der Schätzer lässt sich durch,, darstellen. Dabei ist f eine Funktion der Beobachtungen X1,, Xn. ) Unverzerrter Schätzer: Bias:,,, Asymptotisch unverzerrter Schätzer: lim Grafik: unverzerrter Schätzer verzerrter Schätzer 3) Ein Schätzer ist effizienter als wenn gilt: mit V,,. Die stellen dabei die Realisierungen der dar.

6 Prof. Dr. Marc Gürtler WS 015/016 Effizienz: V( ) < V( ) < V( ) Bias: E( ) 0 E( ) 0 E( ) 0 4) Die mittlere quadratische Abweichung berechnet sich durch: ² Der MSE besteht aus dem Bias sowie der Varianz des Schätzers: ² ² ²² ² ) ² Der RMSE ist die Wurzel aus dem MSE. Er berechnet sich folglich als ². Andere Begriffe für den RMSE sind auch Root Mean Square Deviation (RMSD) oder Standardfehler (standard error [se]).

7 Prof. Dr. Marc Gürtler WS 015/016 Aufgabe 3: (14 Punkte) Regressionsmodell Abhängige Variable Erklärende Variable Interpretation des Steigungsparameters level-level level-log ln ln log-level ln log-log ln ln ln ln ln Falls y auf xj regressiert wird, gibt bj die (absolute) Veränderung des OLS- Regressionswertes y an, falls xj ceteris paribus um eine marginale Einheit (absolut) steigt. Falls y auf ln(xj) regressiert wird, gibt bj die (absolute) Veränderung des OLS- Regressionswertes y an, falls xj ceteris paribus um eine marginale relative Einheit steigt. Falls y auf ln(xj) regressiert wird, gibt bj näherungsweise die (absolute) Veränderung des OLS-Regressionswertes y an, falls xj ceteris paribus um 1 % steigt. Falls ln(y) auf xj regressiert wird, gibt bj die (relative) Veränderung des OLS- Regressionswertes y an, falls xj ceteris paribus um eine marginale absolute Einheit steigt. Falls ln(y) auf ln(xj) regressiert wird, gibt bj die relative Veränderung des OLS- Regressionswertes y an, falls xj ceteris paribus um eine marginale relative Einheit steigt. bj stellt in diesem Fall eine Elastizität der entsprechenden erklärenden Variablen dar. Falls ln(y) auf ln(xj) regressiert wird, gibt bj näherungsweise die prozentuale Veränderung des OLS-Regressionswertes y an, falls xj ceteris paribus um 1 % steigt.