Zur Erinnerung: Annahmen

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1 Zur Erinnerung: Annahmen

2 Vorlesung 6: Heteroskedastizität. Beispiele mit heteroskedastischen Fehlertermen. Auswirkungen von Heteroskedastizität auf OLS-Schätzungen. Wie erkennt man das Vorliegen von Heteroskedastizität? 4. Gegenmaßnahmen 5. Logik der verschiedenen Tests

3 Teil Modelle mit heteroskedastischen Fehlertermen Einige Beispiele

4 Beispiel : Idealfall Fitted values/stundenlohn in Dollar (Logarithmus) - 0 lwage = 0,5 0,09 educ Var( u educ) = σ = 0, n = 5 ( wage. dta) u years of education lwage: Logarithmus des durchschnittlichen Stundenlohns in Dollar educ: Ausbildung in Jahren

5 Beispiel : Messfehler Fitted values/stundenlohn in Dollar (Logarithmus) years of education lwage = 0,5 0,09 educ u Var( u σ educ) = 0,5 educ σ = 0, Messfehler beim Stundenlohn nehmen mit der Ausbildung zu, weil besser Qualifizierte nicht auf Stundenlohnbasis entlohnt werden. Der Stundenlohn muss daher aus Angaben über Arbeitszeit und Monatsgehalt errechnet werden, was mit Fehlern verbunden ist.

6 Beispiel : Fehlspezifikation 0 4 Fitted values/stundenlohn in Dollar (Logarithmus) years of education Fitted values/stundenlohn in Dollar (Logarithmus) 0 4 Männer Frauen years of education Graphs by = if female Irrtümlicherweise werden die unterschiedlichen Bildungsrenditen von Männern und Frauen ignoriert. lwage = 0,7 0, educ u lwage = 0, 0,05 educ u Var( u m educ, female) = σ = 0, f

7 Beispiel 4: Aggregatdaten Fitted values/infant mortality rate US Staaten,987, n = 50 y =, 0,000 u Kindersterblichkeit y = = Pro - Kopf - Einkommen per capita income Die Datenwerte sind Aggregatinformationen für jeden Staat. Raten, prozentuale Anteile und Durchschnittswerte beruhen je nach Einwohnerzahl auf unterschiedlichen Fallzahlen. Sie sind daher unterschiedlich präzise (vgl. z.b. Standardfehler des arithmetischen Mittels).

8 Beispiel 5: Schiefe Verteilungen Fitted values/hy h 78 Fitted values hy Density Density hy h Anmerkung: Es handelt sich um fiktive Daten (n=00). Zur Illustration des methodischen Problems sind sie jedoch vollkommen ausreichend.

9 Teil Auswirkungen von Heteroskedastizität auf OLS-Schätzungen

10 Erwartungstreue, aber geringere Effizienz Fitted values/stundenlohn in Dollar (Logarithmus) Fitted values/stundenlohn in Dollar (Logarithmus) years of education years of education Beispiel (Messfehler): Je nach Stichprobe sind innerhalb des roten Bandes alle Regressionsgeraden möglich. Im Mittel entspricht ihre Steigung der Steigung der (schwarzen) Geraden in der Grundgesamtheit. Im Einzelfall weicht die Steigung jedoch stärker ab als in Beispiel. Beispiel (Idealfall): Je nach Stichprobe sind innerhalb des grünen Bandes alle Regressionsgeraden möglich.

11 Teil Wie erkennt man das Vorliegen von Heteroskedaszität

12 Allgemeines Vorgehen. Frage: Liegt eine Fehlspezifikation vor? - Unterspezifikation: Hat man eine wichtige unabhängige Variable vergessen? - Nicht-Linearität: Variieren die Effekte mit dem Wert der jeweiligen unabhängigen Variablen? - Nicht-Additivität: Variieren die Effekte mit dem Wert der anderen unabhängigen Variablen? Ramsey s Spezifikationstest. Frage: Liegt Heteroskedastizität vor? Breusch-Pagan-Test, White s Test

13 Testergebnisse für die Beispiele Test Idealfall Fehlspezifikation Messfehler Aggregatdaten Schiefe Ramsey F,57 =0,75 p=0,5 F,57 =,6 p=0,49 F,57 =, p=0,057 F,45 =,7 p=0,76 F,95 =,84 p=0,04 Breusch -Pagan χ =,6 p=0,8 χ =7,7 p=0,0000 χ =4,56 p=0,08 χ =,0 p=0,944 χ =6,69 p=0,0000 White χ =,9 p=0,555 χ =6,05 p=0,0000 χ =9,0 p=0,00 χ =,4 p=0,885 χ =5,8 p=0,054

14 Teil 4 Gegenmaßnahmen

15 Allgemeines Vorgehen. Spezifikation des Regressionsmodells verbessern. Berechnung robuster Standardfehler. Gewichtete Kleinste-Quadrate- Schätzung (WLS) 4. Variablentransformation

16 Spezifikation eines Interaktionseffektes in Beispiel malehat/femhat/stundenlohn in Dollar (Logarithmus) years of education lwage ˆ = 0,6 0,8 educ 0,7 female 0, 08 female educ Ramsey Breusch-Pagan White F,55 =0,97; p=0,404 χ =,47; p=0,5 χ =,4; p=0,6784

17 Robuste Standardfehler in Beispiel Fitted values/stundenlohn in Dollar (Logarithmus) years of education Grundlagen und Technik siehe Wooldridge (00: 58-64) mit weiteren Literaturhinweisen. Stata: regress lwage educ, robust Parameter Schätzwert Standardfehler klassisch robust Education Konstante

18 Gewichtete Kleinste-Quadrate- Schätzung (WLS) in Beispiel 4 Fitted values/infant mortality rate per capita income Stata: regress infmort pcinc [aw=popul] Parameter OLS WLS Schätzwert Std.fehler Schätzwert Std.fehler Einkommen Konstante

19 Wahl der Gewichte für WLS Begründung: Wooldridge (00: 70-76) gew = / f ( z) Beispiel σ = σ / für σ u = f ( z) für arithmetisches Mittel n gew = n / σ n als abhängige Variable Stata: reg [aw=n]

20 Transformation der Variablen in Beispiel 5 Fitted values/y Fitted values y 9 Density Density y y = ln( hy) = ln( h) - 0 y Ramsey Breusch-Pagan White F,95 =0,5; p=0,67 χ =0,0; p=0,878 χ =0,4; p=0,96

21 Teil 5 Logik der verschiedenen Tests

22 Ekurs: Hierarchische Modelle Zwei Modelle A und a sind hierarchisch (nested), wenn die Parameter des Modells a eine Teilmenge der Parameter des Modells A sind. Das (restringierte) Modell a ergibt sich aus dem (nicht restringierten) Modell A, indem man für die Parameter in A lineare Restriktionen formuliert. (nicht restringiertes) Modell A: Zwei Restriktionen : ergibt (restringiertes) Modell a : y = 0 = 0 und = 0 y = u 0 u

23 Ekurs: Test linearer Restriktionen mit einem F-Test (nicht restringiertes) Modell A: Zwei Restriktionen : ergibt (restringiertes) Modell a : y = 0 = 0 und = 0 y = u 0 u H 0 : = 0 und = 0 H : H 0 trifft nicht zu F = ( SSR SSR r ur SSR ( n k ur ) q ) q = Anzahl der Restriktionen SSRr = Summe der quadrierten Residuen im restringierten Modell a SSRur = Summe der quadrierten Residuen im nicht restringierten Modell k = Anzahl der Regressionskoeffizienten (ohne Konstante) in Modell A n = Stichprobenumfang A

24 Ekurs: Test linearer Restriktionen mit einem LM-Test Wooldridge (00: 75-77) als Kopie verteilt

25 Ramseys Test auf Fehlspezifikation der funktionalen Form mit F-Test. Weglassung -Variablen. Weglassung Modellprognosen Stata : ovtest 0 : ˆ ˆ Schritt : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Prognose : Schritt : = = = = = δ δ δ δ δ δ δ δ H v y y y y u y rhs Stata : ovtest, 0 : = = = = = = = H u y

26 Breusch-Pagan Test auf Heteroskedistizität Wooldridge (00: 64-68) Stata: hettest Achtung: Der in Stata implementierte BP-Test unterstellt nicht eine linear-additive Funktion für die quadrierten Residuen (WO 66: Formel 8.4), sondern eine log-lineare.

27 Whites Test auf Heteroskedistizität Wooldridge (00: 68-70) Stata: imtest, White Hinweis: Der in Stata implementierte White Test verwendet die vereinfachte Fassung dieses Tests (WO 69: Formel 8.0).

28 Zum Schluss

29 Zusammenfassung Definition Heteroskedastizität Folgen von Heteroskedastizität Alternativen Tests auf Heteroskedastizität Varianz der Fehlerterme ist nicht konstant erwartungstreue, aber weniger effiziente Schätzer Richtige Spezifikation Robuste Standardfehler WLS statt OLS Breusch-Pagan White

30 Wichtige Fachausdrücke Deutsch Englisch Deutsch Englisch heteroskedasticity Heteroskedastizität Breusch-Pagan Test auf Heteroskedaszität Breusch-Pagan test for heteroskedasticity Gewichtete Kleinste- Quadrate Schätzung weighted least squares estimation Whites Test auf Heteroskedaszität White test Ramseys Spezifikationstest Ramsey s regression specification test robuste Standardfehler robust standard error

31 Weiterführende Literatur Berry / Feldman 985 Kapitel 6 (BF 7-88) ist ausreichend zur Einführung in die Problematik. In Bezug auf robuste Schätzverfahren und Tests auf Heteroskedastizität aber etwas veraltet. Wooldridge (00) Kapitel 8 (WO 57-88) stellt den state of the art dar. Der Lagrange-Multiplikator Test (LM- oder auch Score-Test genannt) wird in Abschnitt 5. (WO 75-77) erläutert.