Vorlesung 3: Schätzverfahren

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1 Vorlesung 3: Schätzverfahren 1. Beispiel: General Social Survey Auswahl einer Zufallsstichprobe und Illustration des Stichprobenfehlers 3. Stichprobenverteilung eines Regressionskoeffizienten 4. Kriterien zur Beurteilung von Schätzverfahren 5. Exkurs: Totalerhebung 6. Eigenschaften von OLS-Schätzungen a. Unter welchen Voraussetzungen sind OLS-Schätzungen (i) berechenbar und (ii) optimal? b. Ausblick auf die folgenden Vorlesungen: Welche Schwierigkeiten ergeben sich, wenn einzelne dieser Voraussetzungen nicht gegeben sind?

2 Teil 1 Beispiel: General Social Survey 1978

3 Analyse der Lebenszufriedenheit General Social Survey 1978: Zufallsstichprobe der US-Bevölkerung über 18 Jahre Lebenszufriedenheit (Index 1-20) Determinanten: Haushaltseinkommen, Berufsprestige, Ausbildungsdauer, Kirchgangshäufigkeit, Ortsgröße Beispiel aus Berry / Feldman: n=665 analysierbare Fälle Didaktischer Trick: n=665 Fälle sollen die Grundgesamtheit darstellen, aus der Zufallsstichproben ausgewählt werden Frage: Ist der folgende in der Grundgesamtheit gültige Zusammenhang zwischen Lebenszufriedenheit und Einkommen, Prestige usw. auch in einer Zufallsstichprobe beobachtbar? y = x x x x x5 + u

4 Teil 2 Zufallsstichprobe und Stichprobenfehler

5 Geschätzter Einkommenseffekt aus 10 Zufallsstichproben 2 Stichprobenfehler in Stp 2 y Wert in der GG: 0, _b[income] Man liegt im Mittel richtig, wenn der Durchschnitt aller geschätzten Werte 0,065 beträgt (Erwartungstreue der Schätzung) Schließt aber Abweichung im Einzelfall nicht aus: Schätzfehler = geschätzter Wert 0,065 (Stichprobenfehler) Daher wünscht man sich möglichst geringe Stichprobenfehler, also eine möglichst geringe Streuung der Schätzwerte (Effizienz der Schätzung)

6 Teil 3 Stichprobenverteilung eines Regressionskoeffizienten

7 Simulation der Stichprobenverteilung des geschätzten Einkommenseffektes 1000 Stichproben (Replikationen) jeweils mit n=300 Empirische Stichprobenverteilung Einkommenseffekt s. unten Arithmetisches Mittel = 0,061 (noch kleiner Bias), Std.abw. = 0,110 (Theoretische) Stichprobenverteilung: # Replikationen = Bei erwartungstreuem Schätzverfahren: Arithm. Mittel = 0,065 (Bias=0) Density Arithm. Mittel = 0,061 (Bias = 0,061 0,065) Std.abw. = 0, _b[income]

8 Teil 4 Kriterien zur Beurteilung von Schätzverfahren

9 Erwartungstreue (Unbiasedness) unbiased/biased x Ein erwartungstreues Schätzverfahren liefert Schätzwerte, die im Mittel dem Parameter der Grundgesamtheit entsprechen (in dem Beispiel 0,065) 0,065 (unbiased) 0,150 (biased)

10 Effizienz (Efficiency) largesd/smallsd sd=0,05 sd=0,05 sd=0,11 sd=0, x Das Schätzverfahren ist effizienter, dessen Schätzwerte eine kleinere Varianz aufweisen. Das Schätzverfahren mit der kleinsten Varianz der Schätzer heißt absolut effizient (oder kurz: effizient).

11 Konsistenz (Consistency) n10/n50/n100/n x 0,065 n=300 n=100 n=50 n=10 Ein Schätzverfahren ist dann konsistent, wenn die Schätzwerte mit zunehmendem Stichprobenumfang mit dem Parameter der Grundgesamtheit übereinstimmen. Ein konsistentes Schätzverfahren kann bei kleinen Stichproben verzerrt sein.

12 Ein optimales Schätzverfahren sollte unverzerrt und möglichst effizient sein. sollte zumindest mit zunehmendem Stichprobenumfang Schätzwerte liefern, die immer mehr mit dem Parameter der Grundgesamtheit übereinstimmen (also ein konsistentes Schätzverfahren sein). In Ausnahmefällen kann es sinnvoll sein, ein (leicht) verzerrtes Schätzverfahren zu akzeptieren, wenn es effizienter ist als andere (unverzerrte) Schätzverfahren.

13 Teil 5 Exkurs Totalerhebungen

14 Schätzverfahren (und Tests) bei Totalerhebungen notwendig? Beispiele für Totalerhebungen Zeitreihe der Arbeitslosenquote Kindersterblichkeit 1990 für jeden Bundesstaat der USA Wie kann es einen vom Parameter der Grundgesamtheit abweichenden Schätzwert geben, wenn man Daten über alle Elemente der Grundgesamtheit hat?

15 Vorübung: Fehlerterm u y = x x x x x5 + u Modell: y = µ + u systematische Komponente µ: Effekte der theoretisch und empirisch bekannten Determinanten x j (j=1,, k) stochastische Komponente u (unobserved): unbekannte Determinanten, Messfehler der abhängigen Variablen Für alle Beobachtungen i=1,, n gilt: Fehlerterm u i Residuum e i (Stichprobe) Fehlerterm u i normalerweise nicht beobachtbar (unobserved), da Grundgesamtheit unbekannt

16 Stichproben fehler bei Totalerhebungen? Gedankenexperiment Daten zur Kindersterblichkeit (Arbeitslosigkeit) werden nach Abschluss erneut überprüft Erhebung zur Lebenszufriedenheit wird eine Woche später wiederholt Was bedeutet das für die stochastische Komponente u z.b. im Zufriedenheitsmodell? Szenario 1: nur zufällige Messfehler Szenario 2: Messfehler, Optimismus nicht berücksichtigt

17 Stichproben fehler bei Totalerhebungen? Szenario 1: nur zufällige Messfehler gen u2=invnorm(uniform())*.25 u2 und alle x j leicht korreliert leicht abweichende Effekte in der Grundgesamtheit mehrmalige Wiederholung ergibt jeweils andere Schätzwerte (ähnlich Stichprobenverteilung), die im Mittel den tatsächlichen Effekten entsprechen Szenario 2: Messfehler, Einfluss Optimismus Prestige und Optimismus vermutlich korreliert gen u3=invnorm(uniform())* *prestige u3, prestige, income und educ stark korreliert stark abweichende Effekte in der Grundgesamtheit mehrmalige Wiederholung ergibt jeweils andere Schätzwerte (ähnlich Stichprobenverteilung), die im Mittel nicht mehr den tatsächlichen Effekten entsprechen (Bias)

18 Schlussfolgerungen Analysiere die stochastischen Eigenschaften des datengenerierenden Prozesses Zufallsstichprobe u: Messfehler und unbekannte Determinanten Auswahl einer Teilstichprobe aus einer endlichen Grundgesamtheit Totalerhebung u: Messfehler und unbekannte Determinanten Auswahl einer Teilstichprobe aus einer hypothetischen Grundgesamtheit Auch bei Totalerhebungen ist Schätzen (und Testen) sinnvoll!

19 Teil 6 Eigenschaften von OLS-Schätzungen

20 OLS-Schätzungen sind BLUE! Erinnern Sie sich noch einmal! Erwartungstreue (Unbiasedness) Effizienz (Efficiency) Konsistenz (Consistency) Unter bestimmten Voraussetzungen sind OLS- Schätzungen (i) unverzerrt und die berechneten Schätzwerte weisen (ii) die kleinste Varianz von allen linearen Schätzverfahren auf (Gauß-Markov-Theorem). - Best - Linear - Unbiased - Estimator

21 Annahmen

22 Zum Schluss

23 Wichtige Fachausdrücke Deutsch Englisch Deutsch Englisch Stichprobenverteilung Grundgesamtheitsparameter population parameter sampling distribution Geschätzter Regressionskoeffizient estimated regression coefficient Verzerrung bias Stichprobenfehler sampling error Effizienz efficiency Standardfehler standard error Konsistenz consistency

24 Weiterführende Literatur Die Annahmen werden in Kapitel 1 bei Berry und Feldman (BF 10-11) kurz aufgezählt, ohne sie im Einzelnen statistisch abzuleiten. Wooldridge behandelt in Kapitel 3 (WO ) die einzelnen Annahmen ausführlich und zeigt, wie sich auf dieser Basis die BLUE-Eigenschaft ableiten lässt. Er bezeichnet die Annahmen mit MLR.1 bis MLR.6 (MLR steht für multiple linear regression ).