3 Trend- und Saisonkomponenten

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1 3 Trend- und Saisonkomponenten Schritte bei der Analyse von Zeitreihendaten : Plot ; Identifikation von Strukturbrüchen, Ausreißern etc. ; Modellansatz, z.b. klassisches Komponentenmodell X t = m t + s t + X t, wobei m t = Trendkomponente, s t = Saisonkomponente, { X t } stationäre Zeitreihe. Dann : Statistische Analyse der stationären Zeitreihe { X t } und Rückschlüsse auf {X t } ; Alternativ (vgl. Box und Jenkins, 970) : Transformation von {X t } durch Differenzenbildung bis stationäre Zeitreihe vorliegt. Die obigen Methoden zur Elimination von Trend- und Saisonkomponenten werden hier kurz diskutiert : a) Elimination von Trendkomponenten (bei Modellen ohne Saisoneffekt) : X t = m t + X t, t =,...,n.. Methode (Kleinste-Quadrate-Schätzung) : Annahme eines parametrischen Modells für m t, z.b. m t = a 0 + a t + a 2 t 2, und Schätzung der unbekannten Parameter, hier a 0,a,a 2, aus den Daten x,...,x n nach der KQ-Methode : n ( xt a 0 a t a 2 t 2) 2! = min â0,â,â2 a 0,a,a 2 Normalgleichungen [ partielle Ableitungen = 0 ] : Mit x =(x,...,x n ), a =(a 0,a,a 2 ) und 2 2 B = 2 folgt aus... n n 2 8

2 x Bâ 2! =min a x Ba 2 notwendig : a x Ba 2 â = a (x Ba) (x Ba) B Bâ = B x Normalgleichung â = 2B (x Bâ) = 0 Falls B B regulär : â = (B T B) B T x KQ-Schätzer. Im Beispiel : B B = n Σt Σt 2 Σt Σt 2 Σt 3 Σt 2 Σt 3 Σt 4. Bemerkung 3.. B regulär = B B regulär. 2. Methode (Moving-Average-Filter) : Schätzung von m t durch Elimination der stochastischen Komponente über Mittelung benachbarter Werte, etwa W t = 2q + X t+j (2q + -Punkte-Mittel) Effekt : Bei X t = m t + X t folgt W t = 2q + m t+j + 2q + m t + 0, X t+j falls {m t } (lokal) linear ist und die stochastischen Fluktuationen im Mittel verschwinden (E X t =0). Also ist W t =ˆm t ein brauchbarer Schätzer für m t und Y t := X t ˆm t eine trendbereinigte Zeitreihe. 9

3 Bemerkung 3.2. Falls x,...,x n beobachtet wurden, kann ˆm t als symmetrisches Mittel nur für t = q +,...,n q gebildet werden. In den übrigen Punkten kann man einseitige Mittel benutzen, z.b. ˆm t = n t ˆm t = t (α konstant, 0. α 0.3 geeignet). α( α) j X t+j, t =,...,q, bzw. α( α) j X t j, t = n q +,...,n Schematisch : Linearer Filter {x t} Linearer Operator (y t = ) a j x t+j j= {y t}={ ˆm t} MA-Filter : low-pass filter Linearer Trend bleibt erhalten (niedrige Frequenzen, s.u.) ; Stochastische Fluktuationen werden eliminiert. Bemerkung 3.3. Bei geschickter Wahl der Gewichte bleiben nicht nur lineare Trends erhalten, z.b. Spencer s-5 Punkte-MA : a j = a j (j =,...,7), a j =0 (j = ±8, ±9,...), [ a 0,...,a 7 ]= [74, 67, 46, 2, 3, 5, 6, 3]. 320 Effekt : Ein kubischer Trend m t = a + bt + ct 2 + dt 3 bleibt erhalten (vgl. Brockwell-Davis (99), Problem.2). 0

4 3. Methode (Differenzenbildung) : Moving average u.a. : Elimination des Rauschens ; Differenzenbildung : Elimination des Trends. (Backward) Shift-Operator : BX t := X t ;. Differenzenoperator : DX t := ( B)X t := X t X t. Rekursiv : D 0 :=,D k+ := D(D k ) (k =0,,...). Beispiel 3.. ) m t = a 0 + a t, t =0, ±,..., Dm t a, t =0, ±,.... Aus X t = m t + X t mit m t = a 0 + a t wird Y t = DX t = a + D X t (konstanter Trend). 2) m t = a 0 + a t + a 2 t 2, Dm t = (a a 2 )+2a 2 t, D 2 m t 2a 2. Allgemein (für k ) : Ist X (k) t stationär, so ist = m (k) t + X t mit m (k) t = k a j t j, { X t } t=0,±,... Y t := D k X (k) t = k! a k + D k X(k) t = k! a k + Xt, wobei { Xt } wieder stationär ist. Bemerkung 3.4. In der Praxis genügt oft - oder 2-malige Differenzenbildung. Anwendung (z.b. für k = ) : Finde Modell für {Y t }, z.b. ARMA (p, q)-modell, Schätzungen, Vorhersagen ; aus X t = Y t + X t = Y t + + Y + X 0 (t N) dann statistische Aussagen über {X t }. b) Elimination von Trend- und Saisoneffekt Modell : X t = m t + s t + X t, t =,...,n, mit s t+p = s t, s t =0,E X t = 0 und bekannter Periode p =2q ;2q +. n = kp (z.b. Monatswerte (p = 2) über k Jahre beobachtet).

5 . Schritt : Vorabschätzen der Trendkomponente (MA) p = 2q + : m t := x t+j p p = 2q : m t := p { 2 (x t q + x t+q )+ q j= (q ) x t+j } q<t n q. 2. Schritt : Schätzen der Saisonkomponente (i) Mittelwerte über trendbereinigte Daten y t = x t m t : s t := y t+jp, t =,...,p, wobei J t j J t J t := {j Z q<t+ jp n q} (zulässige Beobachtungen), J t = Anzahl der Elemente in J t. Nicht notwendigerweise s t =0, daher (ii) Mittelwertskorrektur : ŝ t := s t s, wobei s := p s t. 3. Schritt : Schätzen des Trends aus saisonbereinigten Daten, d.h. bilde z t := x t ŝ t (t =,...,n) und schätze den Trend ˆm t wie im Modell ohne Saisoneffekt (s.o.). 4. Schritt : Statistische Analyse des (geschätzten) stationären Anteils ˆx t := ˆm t ŝ t. Alternative Methode : Differenzenbildung ( zum Lag p ) Modell : X t = m t + s t + X t (w.o.), Periode p bekannt. Lag-p-Differenzenoperator : D p X t := X t X t p Effekt : D p X t =(m t m t p ) +( X t }{{} X t p ) }{{} Trend stationär Dann : Elimination des Trends wie in a). Die oben behandelten (heuristischen) Methoden dienen dazu, Zeitreihen in stationäre Zeitreihen zu transformieren. Letztere werden im Folgenden eingehend behandelt. 2