Einführung in Quantitative Methoden
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- Luisa Kirchner
- vor 8 Jahren
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1 in Quantitative Methoden Mag. Dipl.Ing. Dr. Pantelis Christodoulides & Mag. Dr. Karin Waldherr SS 2011 Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 1/47
2 Historisches Regression geht auf Galton (1889) und seine Studien zur Vererbung zurück; Galton formulierte das Gesetz der universalen Regression Jede vom normalen abweichende Eigenschaft eines Menschen wird in der nachfolgenden Generation zwar übernommen, aber im Durchschnitt in einem geringeren Ausmaß. Es tritt also bzgl. dieser Eigenschaft ein Rücktritt (Regression) ein Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 2/47
3 Historisches Karl Pearson hat bei 1078 Familien die Größe von Vater und Sohn untersucht Obwohl große Väter dazu neigen große Söhne zu haben, sind die Söhne von großen Vätern im Durchschnitt kleiner als ihre Väter Ebenso wird die Besonderheit der Kleinheit von Vätern nicht in vollem Maße an die Söhne vererbt, denn diese sind durchschnittlich größer als ihre Väter Es ist eine Regression oder ein Rücktritt in Bezug auf die Größe bei Söhnen sichtbar Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 3/47
4 Ziele Empirische Repräsentation großer Datenmengen Erkennen eines funktionalen Zusammenhanges Nachweis einer bereits bekannten Beziehung zwischen den Variablen Spezifizierung eines funktionalen Zusammenhanges zwischen zwei Variablen Schätzen der Parameter einer funktionalen Beziehung Interpolation fehlender bzw. Prognose zukünftiger Werte Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 4/47
5 Ausgangslage Zusammenhang zwischen 2 metrischen Variablen X und Y mit Ausprägungen x i und y i Spezifizierung einer funktionalen Beziehung Y = f (X ): Y wird mithilfe von X und f geschätzt Stichprobe mit n Objektpaaren - (x 1, y 1 ) (x n, y n ) Objektpaare (x 1, y 1 ) (x n, y n ) darstellbar als Punkte in kartesischem Koordinatensystem mit Koordinaten (x i, y i ) = Streudiagramm Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 5/47
6 Ausgangslage Y ist der Regressand (abhängige Variable); X ist der Regressor (unabhängige Variable); Regression von Y auf X Annahmen - die abhängige Variable ist mit Zufallsfehlern überlagert; die unabhängige Variable gilt als fehlerfrei Einfache Regression weil ein Regressor, im Vergleich zu multipler Regression mit mehr als einem Regressor Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 6/47
7 Funktion f (X ) Linear: Y = a + bx, a und b reelle Zahlen, höchster Polynomgrad ist 1 Quadratisch: Y = c + wx + dx 2, c, w, und d reelle Zahlen, höchster Polynomgrad ist 2 Exponentiell: Y = q ( e gx ), q und g reelle Zahlen ( ) Logarithmisch: Y = h ln X p, h und p reelle Zahlen, p zusätzlich positiv Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 7/47
8 Beispiel 1: Lineare Funktion f (X ) Treibstoffverbrauch (Y ) und Leistungsabgabe eines Motors (X ) bei konstanter Drehzahl: Y X Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 8/47
9 Beispiel 2: Quadratische Funktion f (X ) Körnerertrag (Y ) und Düngung (X ): Y X 0.09X 2 Bis zu einer bestimmten Düngungsgrenze steigt der Körnerertrag an, um wieder abzufallen Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 9/47
10 Beispiel 3: Logarithmische Funktion f (X ) Weber-Fechner sches Gesetz: Bei einem linearen Anstieg der Reizstärke (X ), wächst die Empfindung im Sinnesorgan (Y ) logarithmisch an b = Schwellenreiz ( ) X Y = c ln b c = Konstante abhängig von der Reizart Weber-Fechner sches Gesetz allgemein bekannt durch die Dezibel-Skala, die das logarithmische Verhältnis zwischen Reiz und Lärmempfindung überträgt Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 10/47
11 Beispiel 3: Logarithmische Funktion f (X ) Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 11/47
12 Vermutet wird ein zumindest näherungsweise linearer Zusammenhang zwischen zwei Variablen Y und X Die Variable Y soll näherungsweise durch eine lineare Funktion von X beschrieben werden Y Ŷ = bx + a mit a, b reelle Zahlen a (Schnitt mit Y -Achse) und b (Anstieg) sind unbekannt a und b so wählen, dass Zusammenhang (Streudiagramm) zwischen Y und X am besten beschrieben wird Die Methode der kleinsten Quadrate ermittelt beste Schätzungen â und ˆb für a und b Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 12/47
13 Kleinste Quadrate Schätzung (KQS) Residuum e i = y i ŷ i ; n Residuen (Abweichungen von der Regressionsgerade in Richtung abhängiger Variable) Zentrale Idee bei KQS ist, a und b derart zu wählen, dass die Summe der quadrierten Differenzen (Quadratsumme aller Residuen) minimal wird Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 13/47
14 Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 14/47
15 Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 15/47
16 Kleinste Quadrate Schätzung (KQS) Bestimme a und b derart, dass die Quadratsumme aller Residuen minimal wird, d.h. n S 2 = (y i ŷ i ) 2 = i=1 n (y i a bx i ) 2 Min i=1 Partielles Differenzieren von S 2 nach den Unbekannten a und b und anschließendes Nullsetzen der Ableitungen liefert ˆb = c XY s 2 X, â = ȳ ˆb x ˆb = Verhältnis zwischen Kovarianz und Varianz des Regressors â ist abhängig von den Mittelwerten, x, ȳ, und ˆb Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 16/47
17 Beispiel Bei einer Stichprobe von n = 40 Personen wurden Körpergröße (X ) und Gewicht (Y ) gemessen 40 i=1 40 i=1 y i = 2722, x i = 6814, 40 y 2 i=1 i=1 40 i=1 x 2 i = , s 2 X = i = , sy 2 = , x i y i = i=1 c XY = ( x i y i 40 xȳ) = ( ) Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 17/47
18 Beispiel c XY = 74.52, s 2 X = ˆb = c XY s 2 X = â = ȳ ˆb x = = Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 18/47
19 Beispiel Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 19/47
20 Produktmomentkorrelation r XY steht im engen Zusammenhang zum Schätzer ˆb Es gilt r XY = c XY s X s Y, ˆb = c XY s X s X = c XY s Y s Y s X s X = r XY s Y s X Aus der Korrelation kann der Steigungsparameter geschätzt werden und umgekehrt Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 20/47
21 Maß für Güte der Anpassung einer Regression ist das Bestimmtheitsmaß B B misst das Verhältnis der Varianz der geschätzten Werte ŷ i zur Varianz der beobachteten Werte y i B misst den Anteil der Varianz der abhängigen Variable Y, der durch die unabhängige Variable X (bzw. die Regression) erklärt werden kann Achtung verursacht nur bei Kausalität Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 21/47
22 B = s2 Ŷ s 2 Y mit 0 B 1 Je näher die Punkte zur Regressionsgerade liegen, desto größer ist B Liegen alle Punkte auf der Regressionsgerade, dann ist B = 1 und Y wird durch die Regression völlig erklärt Das Bestimmtheitsmaß ist gleich dem Quadrat der Korrelation Es gilt also B = r 2 Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 22/47
23 B und Streudiagramm Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 23/47
24 Beispiel Gewicht und Körpergröße ˆb = ; r = = B = r 2 = = % der Varianz vom Gewicht wird durch die lineare Regression mit Körpergröße erklärt deswegen Korrelation von mittelmäßiger Höhe Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 24/47
25 Regression von X auf Y Vertauschen von abhängiger und unabhängiger Variable; Vertauschen des Koordinatensystems X -Y X approximativ als lineare Funktion von Y darstellen X b Y + a Wie ändern sich unsere Parameter? Vertauschen von X undy in den Formeln, d.h. ˆb = c XY s 2 Y â = x ˆb ȳ 2 Regressionsgeraden, je nach Fragestellung; beide gehen durch den Schwerpunkt des Punktschwarms ( x, ȳ) Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 25/47
26 Regression von X auf Y bzw. Y auf X Verschiedenheit beider Regressionsgeraden hat ihre Ursache in der Annahme, dass die unabhängige Variable als fehlerfrei angesehen wird, während die abhängige Variable durch einen Zufallsfehler überlagert wird Darstellung beider Geraden im X -Y Koordinatensystem Y = ˆbX + â (1) X = ˆb Y + â Y = 1ˆb X â ˆb (2) Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 26/47
27 Beispiel Y = 0.624X (1) X = 0.789Y Y = X Y = 1.27X (2) Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 27/47
28 Bemerkungen Korrelation und Bestimmtheitsmaß ändern sich nicht, da sie symmetrisch bzgl. X und Y sind Vorzeichen der Steigungsparameter bleibt auch unverändert Steigungsparameter ändert sich um die jeweilige Varianz des Regressors X bzw.y Regressionsgeraden fallen zusammen bei perfektem linearen Zusammenhang zwischen X und Y, d.h. bei r XY = ±1 Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 28/47
29 Prognose von Y Y als abhängige Variable; für gegebenes x in die Modellgleichung ŷ = ˆbx + â einsetzen und ŷ ausrechnen Prognose von X X als abhängige Variable; für gegebenes y in die Modellgleichung ˆx = ˆb y + â einsetzen und ˆx ausrechnen Die zu prognostizierende Variable ist die im jeweiligen Modell abhängige Variable Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 29/47
30 Beispiel Prognose von y bei x = 125 ŷ = (0.624)(125) , d.h. ŷ = Prognose von x bei y = 125 ˆx = (0.789)(125) , d.h. ˆx = Überprüfung der Güte der Prognose mithilfe der Abweichung des beobachteten Wertes y i vom geschätzten ŷ i (bzw. analog für X ) Betragsmäßig kleine Abweichungen sprechen für eine gute Prognose Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 30/47
31 Allgemeine Richtlinien Grafische Überprüfung der Daten und der Regressionsgerade im Streudiagramm; Daten sollten annähernd auf einen linearen Zusammenhang hinweisen Größe und Struktur der Residuen: Betragsmäßig kleine Residuen, die in einem Streudiagramm mit den geschätzten Werten ŷ i keine erkennbare Struktur zeigen, weisen auf ein gutes Modell hin Hohes Bestimmtheitsmaß: Dieses Kriterium sollte im Zusammenhang mit einer Residualanalyse und grafischen Überprüfung der Daten verwendet werden Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 31/47
32 Residualanalyse Betragsmäßig kleine Residuen e i = y i ŷ i weisen auf ein gutes Regressionsmodell hin Residuen sind aber abhängig von den Maßeinheiten in Y und X n i=1 e i = 0 und auch ē = 0, d.h. der Mittelwert der Residuen ist 0 Standardisieren der Residuen mit n s 2 e = 1 n 2 i=1 e 2 i, also ẽ i = e i s 2 e ẽ i sind die normierten Residuen, welche bei einem guten Modell im Intervall [ 2.5, 2.5] liegen sollten Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 32/47
33 Beispiel Datei bspreg.sav, n = 61, Y sei die abhängige Variable Streudiagramm spricht eher für einen positiven linearen Zusammenhang Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 33/47
34 Beispiel ŷ = 0.92x , B = 0.86, r XY = 0.93 Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 34/47
35 Beispiel Berechnung der Residuen und normierten Residuen mit s 2 e = 1.45 i y i x i ŷ i e i ẽ i Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 35/47
36 Beispiel Graph der normierten Residuen mit Konfidenzbereich [ 2.5, 2.5] i auf der X Achse, ẽ i auf der Y Achse Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 36/47
37 Beispiel Graph der normierten Residuen gegen die geschätzten Werte ŷ i ŷ i auf der X Achse, ẽ i auf der Y Achse Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 37/47
38 Problematische Darstellungen Graph der normierten Residuen gegen die geschätzten Werte ŷ i linearer Trend, Hinweis auf Messfehler oder inadäquates Modell Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 38/47
39 Problematische Darstellungen Graph der normierten Residuen gegen die geschätzten Werte ŷ i Ansteigende Varianzen mit ansteigendem ŷ i Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 39/47
40 Problematische Darstellungen Graph der normierten Residuen gegen die geschätzten Werte ŷ i Nicht-linearer Verlauf der Residuen, inadäquates Modell Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 40/47
41 Regression mit Standardmesswerten Wir betrachten die Regression von Y auf X mit standardisierten Variablen t Y und t X Kovarianz, Korrelation und Regressionskoeffizient ˆb sind gleich dem mittleren Messwertprodukt, und die Regressionskonstante â = 0. c t Y t X = r t Y t X = ˆb t Y t X = 1 n 1 n ty i tx i Regressionseffekt (bei r XY < 1: ŷ i ȳ < x i x ) leichter erkennbar, da x, y und ŷ standardisiert sind i=1 Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 41/47
42 Partielle Korrelation r XY Z Berechnung der partiellen Korrelation mithilfe der Residuen Regression von X auf Z durchführen und die Residuen e i = (x i ˆx i ) berechnen; diese Residuen drücken jene Variation von X aus, die durch Z nicht erklärt wird Regression von Y auf Z durchführen und die Residuen ě i = (y i ŷ i ) berechnen; diese Residuen drücken jene Variation von Y aus, die durch Z nicht erklärt wird r XY Z ist identisch mit r E, Ě Einfachere Berechnung mit Formel von letzter Einheit Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 42/47
43 Einfluss von Ausreissern Einzelne Ausreisser können die Regressionsgerade beeinflussen ˆb und â werden sehr stark durch Ausreisser verfälscht Schlimmster Fall, wenn Ausreisser nicht in Richtung des Punktschwarms liegen Leichtes Erkennen von Ausreissern im Streudiagramm der Daten Nur in manchen Fällen sind Ausreisser auch durch große normierte Residuen erkennbar (Residuengraphs) Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 43/47
44 Einfluss von Ausreissern Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 44/47
45 Einfluss von Ausreissern Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 45/47
46 Einfluss von Ausreissern Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 46/47
47 Nichtlineares f (X ) Quadratisch: Y = c + dx 2 KQS Exponentiell: Y = qe gx Logarithmieren ergibt ln(y ) = ln(q) + gx also ln(y ) = q + gx KQS für ˆq und ĝ Logarithmisch: Y = ln (hx p ) Y = p ln(x ) + ln(h); KQS für ˆp und ln(h) Achtung auf richtige Interpretation der Parameter! Christodoulides / Waldherr in Quantitative Methoden- 2.VO 47/47
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