Prüfungsliteratur: Rudolf & Müller (2012), S

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Susanne Franke
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1 0 Beispiel 1 Zeitreihendarstellung 2 Stationarität 3 Trendanalyse 4 Schwingungsanalyse 4.1 Autokorrelationsanalyse 4.2 Spektralanalyse 5 Weitere Verfahren Prüfungsliteratur: Rudolf & Müller (2012), S Folie Nr. 1

9 Daten aus Rudolf & Müller, Kapitel 7 Folie Nr. 9

10 n Messzeitpunkte: t 1, t 2,..., t n mit t 1 < t 2 <... < t n n Messwerte y (t 1 ), y (t 2 ),..., y (t n ) gleichabständige (äquidistante) Stützstellen t n t n-1 = t n-1 t n-2 = = t 2 t 1 = t Normierung t =1 Zeitreihendarstellung: {y t, t = 1,...,n} bzw. {y t, t = 0,...,n 1} Folie Nr. 10

11 Stationäre Zeitreihe: keine langfristigen Änderungen im Mittel (Trend) keine langfristigen Änderungen der Varianz Beispiel für nichtstationäre Zeitreihe: Befinden in der Kontrollphase Folie Nr. 11

12 Unterschiedliche Ziele der Trendanalyse: A) Eliminierung der Trendkomponenten und damit Schaffen der Voraussetzung für die Anwendung weiterer zeitreihenanalytischer Verfahren (zum Beispiel Schwingungsanalyse) B) die Bestimmung und Untersuchung der Trendkomponenten, die wesentliche Aussagen über das Verhalten der Zeitreihendaten und über eventuelle Veränderungen in den Daten durch die Wirkung von Behandlungen enthalten können Folie Nr. 12

13 A) Nichtparametrische Glättungsverfahren z.b. Gleitende Durchschnitte ŷ t (y t 1 y t y t 1) / 3 (t = 2,...,n 1) Folie Nr. 13

14 B) Parametrische Trendanalyse z.b. lineare Trendanalyse y t = b 0 + b 1 t + e t (t = 1,...,n) Prinzip: MkQ Folie Nr. 14

16 Ziel: Identifizierung und Analyse von Schwingungskomponenten (rhythmischen Veränderungen) in Zeitreihen eine Schwingungskomponente Autokorrelationsanalyse Eine oder mehr Schwingungskomponenten Spektralanalyse Folie Nr. 16

17 Prinzip: Korrelation der Zeitreihe mit sich selbst bei Berücksichtigung einer schrittweisen Verschiebung c k 1 n n k t 1 (y t k y) (y t y) r k c c k 0 Folie Nr. 17

18 Folie Nr. 18

19 Folie Nr. 19

20 Folie Nr. 20

21 Folie Nr. 21

22 Folie Nr. 22

23 Schwingungsgrundform: y t = A cos (2 π f t + Φ), (t = 1,,n) y Tag = 4 cos (2 π (1/80) Tag) (Tag = 1,...,160). Folie Nr. 23

24 Grundmodell: Überlagerung von Cosinusschwingungen: y t = A 1 cos (2 π f 1 t + Φ 1 ) + A 2 cos(2 π f 2 t + Φ 2 ), (t=1,,n) Beispiel: y t = 1 cos (2 π 1/10 t π/2 ) cos (2 π 1/2 t π/2) = 1 sin (2 π 1/10 t) sin (2 π 1/2 t), (t = 1,,n) Folie Nr. 24

25 Modell der Fourier-Analyse (für ungerade n; für gerade n analog) y (n 1) / 2 t y Ai cos (2 fi t i ) i 1 mit f i = i / n; t = 1,...,n; n ungerade Parsevalsche Gleichung (Varianzzerlegung): n i 1 (y (n 1) / t y) n A i / 2 i 1 Folie Nr. 25

26 Periodogramm: I(f i ) = n A i2 / 2 (i=1,,(n-1)/2) Folie Nr. 26

27 Folie Nr. 27

28 Periodogramm: I(f i ) = n A i2 / 2 (i=1,,(n-1)/2) Folie Nr. 28

29 Periodogramm der Original-Befindensdaten in der Kontrollphase) Folie Nr. 29

30 Periodogramm der trendbereinigten Befindensdaten in der Kontrollphase) Folie Nr. 30

31 Fenstertechniken Filtertechniken Parametrische Zeitreihenmodellierung, z.b. autoregressives Modell erster Ordnung Y t = a Y t-1 + E t (t = 2,,n) a : autoregressiver Parameter erster Ordnung E t : unabhängige normalverteilte ZV Zusammenhangsanalyse von Zeitreihen: z.b. Kreuzkorrelationsanalyse Modellierung von Interventionseffekten / Therapieeffekten bei Zeitreihen- / Einzelfallanalysen Folie Nr. 31

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