Einleitung. Kapitel 1

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1 Kapitel 1 Einleitung Die mathematische Analyse von Zeitreihen gewinnt wegen ihrer vielseitigen Anwendungsmöglichkeiten zunehmend an Bedeutung. Zu den wichtigsten Zeitreihen in der Ökonometrie zählen Preisverläufe, Arbeitslosenzahlen und Wirtschaftskennziffern. Wasserstandsänderungen eines Gewässers, monatliche Niederschlagsmengen oder der Ozongehalt der Luft beschäftigen Hydrologen und Ökologen, während das Wachstum von Populationen oder Geburtenraten in der Biologie von Interesse sind. Weitere Anwendungsgebiete liegen in der Physik, der Medizin und der Spracherkennung. Zeitreihen sind dadurch charakterisiert, dass die Observablen zufälligen Fluktuationen unterworfen sind und zudem nicht nur wie in der Regressionsanalyse von exogenen Variablen abhängen, sondern die Abhängigkeiten der Beobachtungen untereinander von Bedeutung sind. Im mathematischen Sinne entspricht eine Zeitreihe einem stochastischen Prozess mit diskreter Indexmenge, die in den meisten Fällen als Zeitkoordinate aufgefasst wird. Das Hauptziel der Zeitreihenanalyse besteht darin, einem vorliegenden Datensatz ein geeignetes Modell anzupassen, das den zugehörigen Prozess hinreichend präzise beschreibt, um anschließend unter Verwendung des Modells die zukünftige Entwicklung des Prozesses vorherzusagen. Manchmal sind auch die Eigenschaften der Zeitreihe selbst von Bedeutung. Zum Beispiel ist es Astronomen gelungen, anhand von Messungen des zeitlichen Verlaufs der elektromagnetischen Strahlung weitentfernter Spiralnebel die Existenz eines Neutronensterns im Sternbild des Stiers nachzuweisen (crab nebula, PSR ). Ein sehr allgemeiner Ansatz zur Modellierung von stochastischen Prozessen (Z t ) t Z geht von der funktionalen Beschreibung des bedingten Erwartungswertes auf der Grundlage vorangegangener Beobachtungen sowie äußerer Einflüsse (X t1 ) t Z,..., (X tr ) t Z aus: Z t = m(z t 1,..., Z t p, X t1,..., X tr ) + σ(z t 1,..., Z t p )ε t. (1.1) Dabei ist (ε t ) t Z eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen mit Erwar- 1

2 2 KAPITEL 1. EINLEITUNG tung 0 und konstanter Varianz 1. Ausgehend von den Beobachtungen z 1,..., z p, x 1,..., x r sind die bedingte Erwartung durch E(Z t Z t 1 = z 1,..., X tr = x r ) = m(z 1,..., x r ) und die bedingte Varianz durch Var(Z t Z t 1 = z 1,..., Z t p = z p ) = σ 2 (z 1,..., z p ) gegeben. Die bedingte Erwartung ist die (mittels der Methode der kleinsten mittleren quadratischen Abweichung bestimmte) 1-Schritt-Vorhersage von Z t und kann daher zur Vorhersage zukünftiger Beobachtungen verwendet werden; zur Bestimmung von Vorhersageintervallen wird zusätzlich die bedingte Varianz benötigt. Viele gängige parametrische Modelle werden durch diesen Ansatz erfasst, unter anderem das lineare Regressionsmodell der Ordnung r mit der Regressionsfunktion m(z t 1,..., Z t p, X t1,..., X tr ) = r ϑ i X ti, ϑ i R (1.2) und das lineare autoregressive Modell der Ordnung p, kurz AR(p), mit der Regressionsfunktion m(z t 1,..., Z t p, X t1,..., X tr ) = p φ i Z t i, φ i R. (1.3) Durch geeignete Wahl der Funktion m ergeben sich eine Vielzahl anderer klassischer (auto-) regressiver Modelle wie beispielsweise exponential AR-, Logistic AR- und Threshold AR-Modelle. Während in diesen Modellen σ meist als konstant und somit zeitunabhängig angenommen wird, lassen sich Zeitreihen in der Finanzmathematik besser modellieren, wenn die auf die Vergangenheit bedingte Varianz zeitabhängig ist. Für σ(z 1,..., z p ) = α 0 + p α izt i 2 ergibt sich das von Engle (1982) eingeführte autoregressive Modell mit bedingter Heteroskedastizität der Ordnung p, kurz ARCH(p)-Modell, das in der Finanzmathematik als Ausgangspunkt für komplexere Modellklassen dient (vgl. Gouriéroux (1997)). Charakteristisch für die Zeitreihenanalyse ist eine durchgehende Dualität zweier Betrachtungsweisen. Die Analyse im Zeitbereich ist dadurch motiviert, dass die Korrelation zwischen zeitlich aufeinander folgenden Beobachtungen am besten dadurch beschrieben wird, wie der gegenwärtige Wert von den vergangenen abhängt. Insofern konzentriert sie sich darauf, zukünftige Werte einer Zeitreihe als Funktion des gegenwärtigen und vergangener Werte zu modellieren, zum Beispiel unter Verwendung des allgemeinen Modells (1.1) oder eines parametrischen Modells wie (1.3). Im Gegensatz dazu basiert die Analyse im Frequenzbereich auf der Vorstellung, dass eine Zeitreihe als Überlagerung deterministischer oder stochastischer Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen entsteht. In den Naturwissenschaften ist diese Darstellung aus der Beobachtung zahlreicher Naturphänomene her bekannt. Zum Beispiel erwärmt sich die Wasseroberfläche des Pazifiks alle drei bis sieben Jahre in Folge des El Ninõ-Effekts und scheint ihrerseits einen Einfluss auf die lokalen Fischbestände auszuüben. Das menschliche Ohr zerlegt die Zeitreihe der am Trommelfell registrierten Luftdruckschwankungen in ihre Frequenzkomponenten, wodurch die Wahrnehmung von Tönen möglich wird.

3 3 Das wichtigste Instrument bei der Analyse im Frequenzbereich ist die Spektraldichte f, auch Spektrum genannt, die für einen zentrierten, reellwertigen stationären Prozess (Z t ) t Z im Falle der Existenz wie folgt definiert ist: f(λ) = 1 2π k= γ k e iλk = 1 2π (γ γ k cos(λk)), k=1 λ [ π, π], dabei bezeichnen γ k = E(Z t Z t+k ) für k Z die Autokovarianzen des Prozesses. Zu jeder Frequenz λ im Intervall [ π, π] kann f(λ) als gewichtete Summe zyklischer Komponenten gedeutet werden. Umgekehrt sind die Autokovarianzen zu jedem Lag k eindeutig durch die Spektraldichte bestimmt, so dass die Eigenschaften eines stationären Prozesses bis zur 2. Ordnung durch Kenntnis der Spektraldichte vollständig erklärt werden. Insofern kann die Analyse im Frequenzbereich als Regression auf die erzeugenden Frequenzen interpretiert werden, während die Analyse im Zeitbereich eine Regression auf die Vergangenheit darstellt. In der vorliegenden Arbeit werden beide Ansätze weiter verfolgt. Wie eingangs erwähnt, dient die Betrachtung von Zeitreihen zum einen der Beschreibung des zeitlichen Vorgangs selbst sowie der Prognose der zukünftigen Entwicklung. In einigen Anwendungen suggerieren ökonomische oder physikalische Zusammenhänge die Wahl eines bestimmten Modells oder zumindest einer Klasse von Modellen mit einem oder mehreren Parametern. Innerhalb dieser Modellklasse lassen sich dann die Prozess-Parameter schätzen und Prognosen für zukünftige Beobachtungen bestimmen. Sollten hingegen keine a-priori-informationen vorliegen, so ist es von großer Bedeutung, zuerst eine geeignete Klasse von Modellen auszuwählen. Hier gibt es eine Reihe von Strategien. Parametrische Tests bedürfen der korrekten Wahl einer Klasse von Alternativmodellen (siehe z.b. Luukkonen, Saikkonen und Teräsvirta (1988, 1988a) für Linearitätstests), wofür in der Realität jedoch oft Anhaltspunkte fehlen. Sinnvoller ist die Verwendung von nichtparametrischen Verfahren, die keine zusätzlichen Informationen benötigen. Viele nichtparametrische Tests zur Überprüfung linearer oder komplexerer parametrischer Strukturen wurden im Kontext der Regressionsanalyse entwickelt. In der Literatur sind im wesentlichen zwei unterschiedliche Vorgehensweisen zu erkennen, zum einen die Verwendung von Kernschätzmethoden (z.b. Härdle und Mammen (1993), Zheng (1996) und Dette (1999)), zum anderen die von empirischen Prozessen (z.b. Stute (1997)). Die in diesen Arbeiten vorgeschlagenen Testverfahren wurden zum Teil auf Zeitreihen verallgemeinert (vgl. Fan und Li (1999), Kreiss, Neumann und Yao (1998), Koul und Stute (1999)) sowie durch ähnliche Verfahren ergänzt (vgl. Hjellvik und Tjøstheim (1995), Hjellvik, Yao und Tjøstheim (1998)). Charakteristisch für die vorgeschlagenen Tests ist es zu überprüfen, ob die unbekannte Regressionsfunktion m in M Θ = {m ϑ ϑ Θ}, einer endlichdimensionalen parametrischen Klasse von Regressionsfunktionen, z.b. die der autoregressiven Modelle mit p-dimensionalem Parameter ϑ = (φ 1,..., φ p ) T, liegt.

4 4 KAPITEL 1. EINLEITUNG Verfahren im Zeitbereich sind nicht zur Untersuchung von Modellannahmen geeignet, bei denen zusätzlich zu vergangenen Beobachtungen auch vergangene Störungen einen Einfluss auf die gegenwärtige Beobachtung haben. Eine einfache, in der Praxis äußerst häufig verwendete Modellklasse sind die autoregressiven moving average Modelle der Ordnungen p und q, kurz ARMA(p, q)-modelle, die durch die Beziehung p q Z t φ i Z t i = ε t + a j ε t j, j=1 φ i, a i R definiert sind. Dahingegen ist es möglich, ein nichtparametrisches Testverfahren auf Grundlage der Spektraldichte zu konstruieren, welche für einen ARMA(p, q)-prozess mit konstanter Fehlervarianz σ 2 (unter gewissen Bedingungen an die Koeffizienten) durch f(λ) = σ2 1 + q j=1 a je 2πiλj 2 2π 1 p k=1 φ ke 2πiλk, λ [ π, π] 2 gegeben ist. Ein solcher Test überprüft dann die Zugehörigkeit von f zu F Θ = {f ϑ ϑ Θ}, einer endlichdimensionalen parametrischen Klasse von Spektraldichten, etwa die der Spektraldichten eines ARMA(p, q)-prozesses mit Parameter ϑ = (φ 1,..., φ p, a 1,..., a q, σ 2 ) T. In der Literatur findet man bisher nur wenige Ergebnisse zu nichtparametrischen Tests im Frequenzbereich. Auf der Theorie empirischer Prozesse basiert ein Verfahren von Andersen (1993), das jedoch nur den Spezialfall eines festen, nicht mehr in den Parametern variierenden Modells behandelt. Mögliche Verallgemeinerungen auf parametrische Modellannahmen werden von Mikosch und Stărică (1999) vorgestellt. Ein kürzlich entwickeltes Testverfahren von Paparoditis (2000) verwendet Kernschätzmethoden. Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind nichtparametrische Tests auf parametrische Modellannahmen unter Verwendung von Kernschätzern. In Kapitel 2 konzentrieren wir uns auf die Analyse im Zeitbereich und untersuchen die Hypothesen H 0 : m M Θ gegen H 1 : m / M Θ. Eine von Zheng (1996) für unabhängige Daten verwendete Teststatistik basiert auf einem empirischen Abstandsmaß zwischen der unbekannten Regressionsfunktion m und ihrer Projektion auf den Raum M Θ und lässt sich direkt auf allgemeinere stationäre Prozesse übertragen. Wir be- ziehen uns auf mischende Prozesse, genauer auf absolut reguläre 1 Prozesse, bei denen die Beobachtungen mit wachsendem zeitlichem Abstand hinreichend schnell unabhängiger werden. In der Teststatistik definiert der unter der Annahme eines parametrischen Modells dominierende Term eine U-Statistik mit variablem (d. h. vom Stichprobenumfang abhängigem), degeneriertem 2 Kern, 1 s. Definition s. Definition 2.14

5 5 für die asymptotische Normalität mit Hilfe eines zentrales Grenzwertsatzes von Hjellvik, Yao und Tjøstheim (1998) bewiesen wird. Während dazu in der Literatur bereits eine Reihe von Ergebnissen vorliegt, ist die Asymptotik unter Alternativen bisher nicht behandelt worden. Wir entwickeln einen zentralen Grenzwertsatz für U-Statistiken mit variablem, nichtdegeneriertem Kern basierend auf absolut regulären Prozessen, der anschließend zum Beweis der asymptotischen Normalität unter H 1 benutzt wird und der außerdem in anderen Anwendungen der Theorie der U-Statistiken nützlich sein kann. Anschließend wird die Asymptotik zweier weiterer Verfahren vorgestellt. Die Ergebnisse unter H 0 erlauben die Konstruktion von Tests auf parametrische Modellannahmen, die Resultate unter H 1 ermöglichen eine Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art. Darüber hinaus ist zu beachten, dass in der Praxis keine Regressionsfunktion einer vorgegebenen parametrischen Funktionenklasse angehört. Daher wird für hinreichend großen Stichprobenumfang und feste Irrtumswahrscheinlichkeit die Nullhypothese fast sicher abgelehnt werden. Dieses Problem kann durch eine Formulierung des Testproblems in Umgebungshypothesen behoben werden. Dazu wird überprüft, ob ein geeignet definierter Abstand d(m, M Θ ) hinreichend klein ist. Vertauscht man außerdem die Hypothesen und betrachtet das Testproblem H η 0 : d(m, M Θ) > η gegen H η 1 : d(m, M Θ) η, (1.4) so kann man unter Verwendung der Resultate dieser Arbeit einen Test konstruieren, der zugunsten des parametrischen Modells mit kontrollierter Irrtumswahrscheinlichkeit entscheidet. Der Wert für η gibt dabei an, welche Abweichung vom parametrischen Modell noch akzeptiert werden soll. In Kapitel 3 diskutieren wir einen Test auf parametrische Modellannahmen aus der Perspektive des Frequenzbereichs und betrachten dazu die Hypothesen H 0 : f F Θ gegen H 1 : f / F Θ. Die hier verwendete Teststatistik wurde von Paparoditis (2000) vorgestellt und deren asymptotische Normalität unter H 0 gezeigt. Eine wesentliche Voraussetzung an den zugehörigen Prozess ist nicht mehr die Gültigkeit von Mischungseigenschaften, sondern die Darstellung als Laurentreihe, deren Koeffizienten gewissen Bedingungen genügen. Wir bestimmen auch hier das asymptotische Verhalten unter H 1. In Kapitel 4 werden schließlich Anhaltspunkte dafür gegeben, in welchen Fällen Tests im Zeitbereich bzw. im Frequenzbereich vorzuziehen sind. Eine Anwendung in der Finanzmathematik wird beschrieben. Abschließend werden die Tests in einer Simulationsstudie miteinander verglichen.