Fixpunkte und Stabilitätsanalyse

Transkript

1 Fixpunkte und Stabilitätsanalyse 1

2 Themenüberblick Motivation 1D-Probleme Bifurkationen 2D-Probleme Fixpunkttypen Lotka-Volterra-Modelle 2

3 Motivation Bisher: Lineare Dynamik Jetzt: Nichtlineare Systeme Ohne explizite Lösung Fixpunkte!!! 3

4 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung der DGL mit Separation 4

5 1D-Probleme Stattdessen: Graphische Analyse als Vektorfeld auf x-achse Graphische Darstellung: i. Pfeil nach rechts ii. Pfeil nach links Fixpunkt bei 5

6 1D-Probleme 6

7 1D-Probleme Graphisches Stabilitätskriterium: i. Stabil Pfeile zeigen nach innen ii. Instabil Pfeile zeigen nach außen Quantitative Analyse auch möglich? Lineare Stabilitätsanalyse 7

8 1D-Probleme Ansatz: Taylor d Lösung: 8

9 1D-Probleme Lineares Stabilitätskriterium: i. Stabil ii. Instabil 9

10 1D-Probleme Zurück zum Beispiel Fixpunkt, wenn 10

11 1D-Probleme Zurück zum Beispiel Fixpunkt, wenn instabil stabil 11

12 1D-Probleme Erinnerung: 12

13 1D-Probleme Bemerkung: Was passiert bei? stabil instabil 13

14 1D-Probleme Hier ist halbstabiler Fixpunkt 14

15 Bifurkationen Übersicht: Sattel-Knoten-Bifurkationen Transkritische Bifurkationen Pitchfork-Bifurkationen Superkritische Bifurkationen Subkritische Bifurkationen Nicht perfekte Bifurkationen Beispiele 15

16 Was sind Bifurkationen Bis jetzt: simple 1D-Probleme Dynamik der Vektorfelder sehr eingeschränkt Nun: Abhängigkeit von Parametern Struktur des Verlaufs ändert sich Fixpunkte werden zerstört oder erschaffen Änderungen in der Dynamik heißen Bifurkationen Parameterwerte an denen sie auftreten Bifurkationspunkt Bifurkationen liefern Modelle für Verstärkung und Instabilität 16

17 Sattel-Knoten-Bifurkation Fixpunkte für bei Bei Variation des Parameters bewegen sich Fixpunkte aufeinander zu und annihilieren sich Normalform unterschiedliche Fälle 17

18 Fall 1: 18

19 Fall 2: 19

20 Fall 3: 20

21 Bifurkationsdiagramm 21

22 Transkritische Bifurkationen Es gibt Modelle in denen ein Fixpunkt für alle Parameterwerte existieren muss Dieser Fixpunkt kann jedoch seine Stabilität ändern Für solche Modelle werden transkritische Bifurkationen verwendet Normalform 22

23 Fall 1: 23

24 Fall 2: 24

25 Fall 3: 25

26 Bifurkationsdiagramm 26

27 Pitchfork Bifurkation Modell für Systeme mit Symmetrie Es gibt 2 Arten dieser Bifurkation Superkritische Pitchfork Bifurkation Subkritische Pitchfork Bifurkation 27

28 Superkritische Pitchfork Bifurkation Normalform invariant unter Kubischer Term wirkt stabilisierend 28

29 Fall 1: 29

30 Fall 2: 30

31 Fall 3: 31

32 Bifurkationsdiagramm 32

33 Subkritische Pitchfork Bifurkation Normalform Kubischer Term ist hier nicht mehr stabilisierend treibt Funktion andere Normalform für stabile Funktionen System invariant für erster stabilisierender Term ist neue Normalform 33

34 Bifurkationsdiagramm für instabile Bifurkation 34

35 Bifurkationsdiagramm für stabile Bifurkation 35

36 Wichtiges zur stabilen Bifurkation Für koexistieren zwei stabile Zustände Welcher Fixpunkt für angenommen wird, ergibt sich aus der Anfangsbed. Daher ist der Fixpunkt im Ursprung gegen kleine Störungen stabil, nicht jedoch gegen große der Ursprungsfixpunkt ist nur lokal stabil 36

37 Wichtiges zur stabilen Bifurkation Die Existenz von versch. stabilen Zuständen ermöglicht Sprünge und Hysteresen 37

38 Nichtperfekte Bifurkationen Normalerweise Systeme nicht perfekt symmetrisch, sondern nur näherungsweise Diese Syteme haben Unvollkommenheiten Betrachte hierzu : Für Für liegt normale Symmetrie vor liegt Symmetriebrechung vor Analyse hier deutlich schwieriger aufgrund zweier unabhängiger Parameter 38

39 Analyse der Fixpunkte graphischer Ansatz: Plotte in ein Koordinatensyst. Suche nach Schnittpunkten Schnittpunkte sind Fixpunkte 39

40 Analyse der Fixpunkte Kritischer Fall: Gerade ist Tangente an Extrempunkt Dann: Sattel-Knoten-Bifurkation Suche Werte für h an denen Bifurkation auftritt: Für den Wert am lokalen Maximum gilt: Sattel-Knoten-Bifurkation tritt auf, wenn 40

41 Analyse der Fixpunkte 41

42 Analyse der Fixpunkte Bifurkationsdiagramme von für festes 42

43 Analyse der Fixpunkte Bifurkationsdiagramme von für festes 43

44 Kurze Anmerkung zu Katastrophen Spitzenkatastrophe 44

45 Beispiel : Populationsentwicklung Hier: Falterart aus Kanada Modell bedient sich der Trennung von Zeiträumen Population wächst schnell (char. Zeitraum: Monate) Bäume wachsen langsam (char. Zeitraum Jahre) Bei Betrachtung der Populationsentwicklung können also die Waldvariablen konstant angenommen werden 45

46 Populationsentwicklung Für die Population gilt: wächst logistisch mit Wachstumsrate und Tragfähigkeit (hierbei fest) (Todesrate aufgr. von Raubtieren) wächst logistisch 46

47 Populationsentwicklung Hier Untersuche Modell nun auf einen sog.ausbruch 47

48 Dimensionlose Formulierung 48

49 Analyse der Fixpunkte Erster Fixpunkt bei (immer instabil) Weitere Fixpunkte durch Lösung von 49

50 Analyse der Fixpunkte 50

51 Bifurkationskurven errechnen Wir untersuchen Kurven im für die eine Sattel-Knoten-B. vorliegt Wir können jedoch die Parameter nicht als Funktion voneinander ausdrücken Wähle Parametrisierung 51

52 Bifurkationskurven errechnen Für S-K-B müssen erfüllt sein: Einsetzen von (3) in (1) liefert: Einsetzen von (4) in (3) liefert: Bifurkationskurven sind (5) und (4) 52

53 Bifurkationskurven 53

54 2D-Probleme Betrachte nun nichtlineare Probleme vom Typ Fixpunkte dann gegeben durch 54

55 2D-Probleme baut Phasenebene auf ist dann Vektorfeld auf der Phasenebene 55

56 2D-Probleme Erst lineare Systeme untersuchen! Allgemeine Lösung: Schreibe Mit und 56

57 Sattelpunkt 57

58 Knoten : Stabil : Instabil 58

59 Periodische Lösung 59

60 Spirale : stabil : instabil 60

61 Sonderfall: Stern-Knoten 61

62 Sonderfall: Entarteter-Knoten 62

63 Zusammenfassung Was haben wir bisher gelernt? Fixpunkte zur Betrachtung der Dynamik Stabilität graphisch oder analytisch bestimmen Graphisch: Vektorflusses visualisieren Analytisch: Lineare Stabilitätsanalyse In 2D viel mehr Möglichkeiten als in 1D 63

64 Lotka-Volterra-Modelle Beschreiben Wechselwirkung von mehreren Populationen Beispiel: Räuber-Beute-Problem Populationszahlen: (Beute), (Räuber) Ungestörte Wachstumsrate: Begegnung Räuber-Beute: 64

65 Lotka-Volterra-Modelle Insgesamt also: Betrachte die Dynamik mit Mathematica! 65

66 Quellenverzeichnis Strogatz, Steven H. (1994): Nonlinear Dynamics and Chaos. Massachusetts Suter, Dieter (2010): Skript zur Vorlesung Analytische Mechanik. [cited ]. _Chaos.pdf [cited ] mik) 66