Feigenbaum, Chaos und die RG

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Gottlob Meyer
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1 Feigenbaum, Chaos und die RG 9. Juli 27 Lara Becker Bildquelle: [7]

Nichtlineare Systeme und Chaos nichtlineare Systeme in letzter Zeit

nicht-integrabler Systeme durch Computer Anfänge der Chaostheorie:

Modell der Atmosphäre sensitive Abhängigkeit von den

2 Nichtlineare Systeme und Chaos nichtlineare Systeme in letzter Zeit wieder reges Forschungsgebiet Ermöglichung der Untersuchung nicht-integrabler Systeme durch Computer Anfänge der Chaostheorie: Arbeiten von Edward Lorenz (um 96) math. Modell der Atmosphäre sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen heute: Untersuchung eines Phasenübergangs ins Chaos 9. Juli 27 Lara Becker 2 Bildquellen: [2, 3]

3 Logistische Abbildung Die logistische Abbildung... ist definiert als: f () = r( ), r [, 4] zeigt unterschiedliches Verhalten: r : = stabil < r 3: stabil 3 < r 3.45: Oszillationen mit Periode < r 3.54: Oszillationen mit Periode 4... r > r c 3.57: chaotisches Verhalten.8.4 id r = r = r = r = Zeitschritt Zeitschritt Zeitschritt Zeitschritt 9. Juli 27 Lara Becker 3

4 Logistische Abbildung Periodenverdopplungen für r r c durchläuft die logistische Abbildung eine Reihe von Periodenverdopplungen Periodenverdopplung: stabiler Orbit der Länge 2 k wird instabil und ein stabiler Orbit der Länge 2 k+ entsteht geschieht, wenn f (, r) = für alle Punkte gleichzeitig: d f (2n) () d = = 2 n k= f ( k ) Periodenverdopplungen als Weg ins Chaos 9. Juli 27 Lara Becker 4 r = 2.5 f() r = r = , f() f() f().4.4.8

5 Logistische Abbildung Feigenbaum-Konstanten logistische Abbildung vollzieht Übergang zum Chaos durch Periodenverdopplungen Chaos beginnt bei r c 3.57 Feigenbaum-Konstanten: Bifurkationsdiagramm der logistischen Abbildung. δ = limn r n r n r n+ r n α = d limn n d n charakterisieren horizontale bzw. vertikale Längenskala des Bifurkationsdiagramms 9. Juli 27 Lara Becker 5 Bildquellen: [6, 7]

Logistische Abbildung Universalität α und δ nicht speziell für logistische Abbildung! andere Abbildungen: f r () = r sin(π), r f r () = r( 2 )(2 2 ), Bifurkationsdiagramm der Sinus-Abbildung.

6 Logistische Abbildung Universalität α und δ nicht speziell für logistische Abbildung! andere Abbildungen: f r () = r sin(π), r f r () = r( 2 )(2 2 ), Bifurkationsdiagramm der Sinus-Abbildung. r 9 6 physikalische Systeme: Eperimente zur Rayleigh- Bénard-Konvektion in Hg [5] δ = 4.4 ±. Universalität? mit RG-Methoden untersuchen 9. Juli 27 Lara Becker 6 Periodenverdopplung im Eperiment. Bildquellen: [, 5]

7 RG-Formalismus Präliminarien U: Raum von Familien einparametriger Abbildungen {f r } mit guten Eigenschaften U = {f : I I, f regulär, unimodal, quad. Maimum} setze: I = [, ] und f r () = Universalität sollte Eigenschaft von U unter Anwendung eines renormierenden Operators R : U U sein 9. Juli 27 Lara Becker 7

8 RG-Formalimus Renormierungsoperator R Eigenschaften von R: Abbildung von Zyklen mit Periode 2 n auf Zyklen mit Periode 2 n coarse-graining der Zeitskala - f f f R : U U, f() r = f(), f(f(f())) r = Reskalierung notwendig R(f ) = αf f ( α ) untersuche dynamisches System R : U U Funktionsweise des Renormierungsoperators R. 9. Juli 27 Lara Becker 8 Bildquelle: [6]

9 RG-Formalismus Bestimmung von α betrachte den Fipunkt φ von R an dieser Stelle gilt: φ () = R(φ )() = αφ (φ ( α )) wissen: φ () = Ansatz: φ () = + N n= c n 2n + O( 2N+2 ) Einsetzen in die Fipunkt-Gl. und Lösen liefert Näherungen für α N = 3 : α 2.479, c.522, c 2.73, c 3.46 N = 6 : α vergleiche: α Näherung für N = 6 auf 6 genau! 9. Juli 27 Lara Becker 9

10 Zusammenfassung Übergang der Dynamik eindimensionaler Abbildungen f r () ins Chaos für r r c via Periodenverdopplung Phasenübergang zwischen nicht-chaotischer und chaotischer Dynamik kritischer Punkt: r c Auftreten des Attraktors mit Länge 2 unendliche Korrelationslänge Abfolge der Periodenverdopplungen (asymptotisch) selbstähnlich charakterisiert durch Feigenbaum-Konstanten α, δ α, δ universell für bestimmte Klassen von Abbildungen Phasenübergang + Selbstähnlichkeit + Universalität RG-Methoden Untersuchung des RG flow ermöglicht sehr gute Näherung von α und δ für andere Klassen von Abbildungen: andere Werte von α und δ z.b. quartisches Maimum: α und δ Juli 27 Lara Becker

11 Ende Geschafft! Fragen? 9. Juli 27 Lara Becker

12 Quellen I AGUIRRE, L. A., UND FURTADO, E. C. Building dynamical models from data and prior knowledge: the case of the first period-doubling bifurcation. Physical Review E 76, 4 (27), BOEING, G. Visual analysis of nonlinear dynamical systems: Chaos, fractals, self-similarity and the limits of prediction. Systems 4, 4 (26), 37. CCREWEB. Darstellungen des Lorenz-Attraktors. [Stand: 4. Juli 27]. CRESWICK, R., FARACH, H. A., UND POOLE, C. Introduction to renormalization group methods in physics. John Wiley & Sons, 992. LIBCHABER, A., LAROCHE, C., UND FAUVE, S. Period doubling cascade in mercury, a quantitative measurement. Journal de Physique Lettres 43, 7 (982), SFONDRINI, A. An introduction to universality and renormalization group techniques. arxiv preprint arxiv:2262 (22). WIKIMEDIA (NUTZER: PAR). Bifurkationsdiagramm der logistischen Gleichung (eigene Überarbeitung). [Stand:. Juli 27]. 9. Juli 27 Lara Becker 2

14 RG-Formalismus Konzept: superstabile Zyklen Lyapunov-Eponent: Maß für die Geschwindigkeit, mit der sich benachbarte Punkte im Phasenraum voneinander entfernen am Bifurkationspunkt: λ = zwischen zwei Bifurkationen: an einer Stelle λ( r n ) = superstabiler Zyklus Werte r n konvergieren wie die r n mit Rate δ gegen r c 3.57 Lyapunov-Eponent der logistischen Abbildung für r > Juli 27 Lara Becker 4 Bildquelle: [6]

15 RG-Formalismus Analyse von R : U U untersuche dynamisches System R : U U nehme zur Vereinfachung an: φ U so, dass R(φ ) = φ nur ein EW von R(φ ) relevant δ Annahmen ermöglichen Vorstellung der Struktur von U Struktur des Raums U unter Anwendung von R. 9. Juli 27 Lara Becker 5 Bildquelle: [6]

16 RG-Formalismus Bestimmung von δ betrachte die Stelle f r U R(f r )() R(f r )() + (r r )R fr ( dfr dr r=r )() wissen: f r W s {f r } R n (f r )() φ () + (r r )R n dfr φ ( dr r=r )() entwickle ϕ() = dfr dr r=r in Eigenfunktionen von R φ für superstabile Abbildungen: φ () + ( r n r )c δ δ n φ δ () ( r n r )δ n φ () c δ ϕ δ () = const. Struktur des Raums U unter Anwendung von R. die r n konvergieren mit Rate δ löse also R φ ϕ δ () = δϕ δ () N = 6 : δ vergleiche: δ Juli 27 Lara Becker 6 Bildquelle: [6]

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