Von der Schönheit des mathematischen Chaos. Eine Einführung in Seltsame Attraktoren mit jreality

Transkript

1 Von der Schönheit des mathematischen Chaos Eine Einführung in Seltsame Attraktoren mit jreality

2 Inhalt Physikalische Grundlagen Definition Eigenschaften Beispiele Implementierung Demonstration

3 Physikalische Grundlagen Phasenräume Attraktoren

4 Phasenräume Abhängigkeit physikalischer Systeme von einer Vielzahl an Zustandsvariablen Visualisierung von zwei oder drei Zustandsvariablen als zwei- oder dreidimensionaler Raum

5 Attraktoren Zwei Arten von Systemen: diskrete und kontinuierliche Attraktortypen: Fixpunkte, stabile Grenzzyklen, seltsame Attraktoren

6 Definition Nach den Begründern des Begriffes, David Ruelle und Floris Takens

7 Definition: Seltsame Attraktoren Ein Attraktor heißt seltsam, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: Fester Einzugsbereich Ein bestimmter Einzugsbereich wird nicht verlassen. Chaotisches Verhalten Beliebig kleine Änderungen des Anfangszustandes führen zu völlig unterschiedlichen Verläufen. Fraktale Struktur Der Attraktor besitzt eine nicht-ganzzahlige Dimension. Keine Aufteilungsmöglichkeit Jede Bahn, die im Einzugsbereich startet, nähert sich beliebig stark an jeden Punkt des Attraktors an.

8 Eigenschaften Ljapunov-Exponent und Dimension

9 Der Ljapunov-Exponent Maß für die Anziehung oder Abstoßung eines Punktes vom Attraktor ln y n+1 x n+1 y n x n Berechnung: = l ist dabei das Maß für den Abstand zweier Punkte Wähle zwei benachbarte Startpunkte Führe N Iterationen mit beiden aus Berechne in jedem Schritt den Abstand der Punkte Bilde den Durchschnitt aller Abstände Dieser Durchschnitt wird als Erster Ljapunov-Exponent bezeichnet.

10 Die Dimension Geometrischer Begriff, der für seltsame Attraktoren oder Fraktale im Allgemeinen erweitert werden muss Mehrere Möglichkeiten mit unterschiedlichen Werten, zum Beispiel die Boxdimension: Umgebende Raum wird in gleichgroße Raumelemente (Boxen) geteilt s Seitenlänge der Boxen; N(s) Anzahl der Boxen, die einen Teil des Attraktors enthalten Boxdimension: Für die fraktale Dimension D f gilt der Zusammenhang N s s D f

11 Beispiele von Klimaforschung bis Süßwarenproduktion

12 Der Lorenz-Attraktor Edward Lorenz, 1963 Modellierung von Luftströmungen Nachbau als einfaches Experiment x = σ x + σ y y = R x y x z z = B z + x y

13 Varianten des Lorenz-Attraktors Mit einem Orbit Mit drei Orbits Mit vier Orbits

14 Der Rössler-Attraktor Otto Rössler Durch Bonbonknetmaschine inspiriert Bildungsvorschrift vom Lorenz-Attraktor abgeleitet x = y + z y = x + a y z = b + x z c z

15 Der Hénon-Attraktor Michel Hénon Aus weiterer Vereinfachung des Lorenz-Attraktors entstanden Beispiel für ein diskretes, chaotisches System x k+1 = y k + 1 a x k 2 y k+1 = b x k

16 Weitere Beispiele Leon Chua Chaotisches Verhalten bestimmter Konfigurationen elektronischer Schwingkreise

17 Weitere Beispiele Kensuke Ikeda Aus der nicht-linearen Laseroptik

18 Weitere Beispiele B. Martin, 1987 Hintergrund unbekannt Ähnelt dem Gefieder eines Kakadus

19 Weitere Beispiele Kunihiko Kaneko, 1986 Hintergrund unbekannt

20 Weitere Beispiele Kaplan und Yorke, 1979 Hintergrund unbekannt

21 Weitere Beispiele Hans Lauwerier Hintergrund unbekannt

22 Weitere Beispiele L. Levaney, 1988 Hintergrund unbekannt Auf Grund seiner Form auch als Pfefferkuchenmann- Attraktor bezeichnet

23 Weitere Beispiele René Lozi Stückweise Linearisierung des Hénon-Attraktors

24 Weitere Beispiele Clifford Pickover Hintergrund unbekannt

25 Weitere Beispiele Wolfgang Metzler, 1983 Hintergrund unbekannt Gewisse Ähnlichkeit zum Eiffelturm vorhanden, daher auch als Tour Eiffel de Cassel genannt

26 Implementierung Durchführung, Ergebnisse und Probleme

27 Zielstellung des Programmes Darstellung bekannter Seltsamer Attraktoren Möglichkeit zur eigenen Untersuchung der Parameter Implementierung von Test-Routinen auf chaotisches Verhalten

28 Softwaredesign Einfache Hierarchie Leichte Adaption der Attraktorklassen Schnelle numerische Verfahren Parallelisierung

29 Ergebnisse Alle geplanten Funktionen implementiert 1 Hauptklasse, 2 Interfaces, 34 Beispielklassen 5413 LOC, 812 Kommentarzeilen

30 Probleme bei der Implementierung Parallelisierung der Berechnung und Synchronisation mit jreality Ressourcenbedarf der Dimensionsberechnung für ausreichende Genauigkeit

31 Testergebnis der Dimensionsberechung am Lorenz-Attraktor Vorausberechnung von Punkten zum Testen (Dauer: ~50min) Testrechner: 2 AMD Opteron 4171 HE mit insgesamt 8 Kernen à 2.1 GHz, 56 GB RAM Test mit Punkten ,725 2, RAM-Bedarf in GB Laufzeit in h Genauigkeit (neg. logarithmisch) Boxenlänge 10^(-2) Boxenlänge 10^(-3) Boxenlänge 10^(-4)

32 Demonstration

33 Fragen?