Systemtheorie 2. mit 318 Bildern und 65 Aufgaben mit Lösungen

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Günter Langenberg
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1 Systemtheorie 2 Mehrdimensionale, adaptive und nichtlineare Systeme von Professor Dr.-Ing. Dr. h.c. Rolf Unbehauen 7., überarbeitete und erweiterte Auflage mit 318 Bildern und 65 Aufgaben mit Lösungen R. Oldenbourg Verlag München Wien 1998

2 INHALT Vorwort xiii Kapitel VII: Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme 1 1. Zweidimensionale Signale Standardsignale Weitere spezielle Signale Darstellung allgemeiner Signale mittels Sprung- oder Impulsfunktion 5 2. Zweidimensionale Systeme Systemeigenschaften Systemcharakterisierung durch die Impulsantwort Systembeschreibung mittels Differenzengleichung Signal- und Systembeschreibung im Bildbereich Die zweidimensionale Z-Transformation Eigenschaften der zweidimensionalen Z-Transformation Die zweidimensionale Fourier-Transformation Lineare, verschiebungsinvariante Systeme im Frequenzbereich Zweidimensionale Abtastung, Abtasttheorem Die diskrete Fourier-Transformation Definition und Eigenschaften Praktische Durchführung Das komplexe Cepstrum Grundlegende Beziehungen Numerische Berechnung Stabilitätsanalyse Strukturen zweidimensionaler Digitalfilter Viertelebenen- und Halbebenenfilter Nichtrekursive Filter Rekursive Filter Getrennte Realisierung von Zähler und Nenner Gemeinsame Realisierung von Zähler und Nenner Zustandsraum-Darstellung Stufenform Entwurfskonzepte Entwurf von FIR-Filtern. 61

3 5.2. Entwurf von IIR-Filtern Teilseparable Filter 73 Kapitel VIII: Nichtlineare Systeme Beschreibung im Zustandsraum Vorbemerkungen Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Empfindlichkeit der Lösungen Linearisierung Stabilität autonomer Systeme Hinreichende Stabilitätsbedingungen und Lyapunovsche Analyse Suche nach Lyapunov-Funktionen Instabilitätskriterium und Lyapunovsche Linearisierung Lyapunov-Analyse linearer, zeitinvarianter Systeme Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten Zentrumsmannigfaltigkeiten Bereich der Anziehung eines Punktattraktors Das Einzugsgebiet Schätzung von Einzugsgebieten Das Theorem von LaSalle Ergänzende Bemerkung Grenzzyklen Grundsätzliches Stabilität von Grenzzyklen Stabilität invarianter Mengen Poincare-Schnitte Anwendung auf Grenzzyklen Besonderes Verhalten von Trajektorien im dreidimensionalen Raum Bifurkationen Bifurkationen von Gleichgewichtszuständen Bifurkationspunkt mit nur einem Eigenwert auf der imaginären Achse Beispiele Weitere Bifurkationen Nichtautonome Systeme Grundlegende Stabilitätsbegriffe Hinreichendes Stabilitätskriterium Linearisierung Instabilitätskriterien 164

4 5.5. Existenz von Lyapunov-Funktionen Systemschwankungen Passivität Die Definition Lineare Systeme Kaiman-Yakubovich-Lemma Analyseverfahren Stückweise lineare Darstellungen Die Methode der Beschreibungsfunktion Einfache nichtlineare Systeme Grenzzyklen in autonomen Rückkopplungssystemen Rechtfertigung der Methode der Beschreibungsfunktion Nichtautonome Systeme Störungsrechnung Die klassische Vorgehensweise Die Verwendung mehrfacher Zeitskalen Nichtlineare Effekte am Beispiel des harmonisch erregten Van der Polschen Oszillators Hystereseerscheinungen Nichtlineare diskontinuierliche Systeme Zustandsraumbeschreibungen Abtastsysteme Eingang-Ausgang-Beschreibung nichtlinearer Systeme mittels Volterra-Reihen Quadratische Systeme Kubische Systeme 244 Kapitel IX: Rückgekoppelte dynamische Systeme Aufgabenstellung und Vorbemerkungen Stabilisierung mittels Jacobi-Linearisierung Eingangs-Zustands-Linearisierung Mathematische Hilfsmittel Exakte Linearisierung Beispiele Eingangs-Ausgangs-Linearisierung 273

5 4.1. Die Grundidee Transformation auf Normalform Die Nulldynamik Rückkopplungen Erweiterung auf Systeme mit mehreren Eingängen und Ausgängen Homotopieverfahren Vorbemerkungen Die Grundidee der Homotopieverfahren Der offene Regelkreis Der geschlossene Regelkreis Stabilität des geschlossenen Regelkreises Synthese der Rückkopplung Approximative Synthese der Rückkopplung Das erweiterte Kaiman-Filter Das kontinuierliche erweiterte Kaiman-Filter Schätzung von Zuständen stochastisch erregter nichtlinearer Systeme Schätzung von Zuständen deterministisch erregter nichtlinearer Systeme Das diskontinuierliche erweiterte Kaiman-Filter 337 Kapitel X: Adaptive Systeme Adaptive Filter Einleitung Das Kriterium des kleinsten mittleren Fehlerquadrats Die Normalgleichung Eigenschaften der Lösung Die Methode des steilsten Abstiegs Die Iteration und ihre Konvergenz Zeitkonstanten der Adaption Der Algorithmus des kleinsten mittleren Quadrats (LMS) Das Verfahren Der Restfehler Varianten des LMS-Algorithmus Rekursionsalgorithmus der kleinsten Quadrate Prädiktion durch Kreuzglied-Filter Der Durbin-Algorithmus Realisierung durch Kreuzglieder Optimierung der Reflexionskoeffizienten Beispiel: Identifikation eines Systems Der LS-Algorithmus für Kreuzglied-Filter Lineare Vektorräume für adaptive Filter 377

6 Der Algorithmus Adaptive rekursive Filter Adaptive rückgekoppelte Systeme Adaption von Systemen mit meßbarem Zustand Lineare Systeme Nichtlineare Systeme Adaption von linearen Systemen bei alleiniger Messung des Ausgangssignals Vorbetrachtung Der Fall einer SP-Modellstrecke Regelstrecken mit relativem Grad größer als Eins Adaptive Beobachter Vorbereitung Das Beobachterkonzept Systeme mit Selbsteinstellung der Regler Vorbereitungen Schätzverfahren Abschließende Bemerkungen Kombinierte Adaption 443 Kapitel XI: Chaos Der Satz von Liouville Messung von Chaos Korrelationsanalyse Lyapunov-Exponenten Entropie-Dimension Fraktale Dimension Korrelationsdimension Hamiltonsche Systeme Einiges aus der Mechanik Die Hamiltonschen Gleichungen Kanonische Transformationen Stabilität von Torus-Trajektorien Die KAM-Theorie Das Poincar6-Birkhoff-Theorem Periodisch zeitvariant gestörte Hamilton-Systeme Die Systembeschreibung Der Melnikov-Abstand Folgerungen Duffing-Systeme 483

7 Die Systembeschreibung Typische Verhaltensformen Chaotisches Aufbrechen einer Homoklinen Dissipative Systeme Das Lorenz-System Die Systembeschreibung im Zustandsraum Die Gleichgewichtspunkte Globales Verhalten Ergebnisse numerischer Experimente Das Chua-Netzwerk Die Beschreibung des Netzwerks im Zustandsraum Computer-Simulation Das Rössler-System Die Systembeschreibung im Zustandsraum Computer-Simulation Diskontinuierliche Systeme Die logistische Abbildung Definition des Systems Die Fixpunkte Die Bifurkationskaskade Chaotisches Verhalten Die Henon-Abbildung Vom Chaos zur Ordnung Einführung Das gesteuerte Duffing-System Ein nichtlinearer Regler Ein linearer Regler Computersimulation Zustandsgrößenrückkopplung des Lorenz- und des Chua-Systems Rückkopplung des Lorenz-Systems Rückkopplung des Chua-Systems Zustandsgrößenrückkopplung der Henon-Abbildung 537 Kapitel XII: Neuronale Systeme Das Neuron als Grundbaustein Ein statisches Neuronenmodell Das Adaline Das einschichtige Perzeptron Ein dynamisches Modell eines Neurons: Das Hopfield-Neuron. 546

8 1.5. Ein modifiziertes Hopfield-Neuron Verallgemeinerte Modelle eines Neurons Diskontinuierliche Modelle für Neuronen Neuronale Netzwerke Das nichtrückgekoppelte mehrschichtige Perzeptron Die Netzwerkstruktur Der Back-Propagation-Algorithmus Die Approximationsfähigkeit des mehrschichtigen Perzeptrons Das kontinuierliche Hopfield-Netzwerk Die Netzwerkarchitektur Zustandsdarstellung und Stabilitätsanalyse Der symmetrische Fall Der unsymmetrische Fall Modifikation des neuronalen Hopfield-Netzwerks Diskontinuierliche neuronale Hopfield-Netzwerke Anwendungen neuronaler Netzwerke Klassifikation von Mustern Signaldekomposition Systemmodellierung Prädiktion Identifikation nichtlinearer Systeme Regelungstechnische Anwendung Vorbemerkung Die Aufgabe Lösung der Aufgabe mit Hilfe eines neuronalen Netzwerks Numerische Simulation 599 Anhang A: Kurzer Einblick in die Distributionentheorie Die Delta-Funktion Distributionentheorie Einige Anwendungen Verallgemeinerte Fourier-Transformation 609 Anhang B: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit Zufallsvariable, Verteilungsfunktion, Dichtefunktion Erwartungswert, Varianz, Kovarianz Normalverteilung (Gaußsche Verteilung) 616 Anhang C: Einiges aus der linearen Algebra Vorbemerkungen Die Jordansche Normalform 619

9 2.1. Eigenvektoren und verallgemeinerte Eigenvektoren Transformation auf Normalform Minimalpolynom Matrix-Funktionen Definite und indefinite Matrizen und quadratische Formen 630 Anhang D: Einiges aus der Funktionentheorie Funktionen, Wege und Gebiete Stetigkeit und Differenzierbarkeit Das Integral Potenzreihenentwicklungen Rationale Funktionen Residuensatz 638 Aufgaben 640 Kapitel VII 640 Kapitel VIII 642 Kapitel IX 645 Kapitel X 646 Kapitel XI 649 Kapitel XII 651 Lösungen 653 Kapitell 653 Kapitelll 657 Kapitel III 666 Kapitel IV 679 Kapitel V 682 Kapitel VI 690 Kapitel VII 700 Kapitel VIII 706 Kapitel lx 712 Kapitel X 716 Kapitel XI 721 Kapitel XII 724 Literatur (Ergänzung zu Band 1) 728 Stichwortverzeichnis 734

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