MATHEMATISCHE STATISTIK

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1 EINFÜHRUNG IN DIE MATHEMATISCHE STATISTIK UND IHRE ANWENDUNG VON MARTIN HENGST a. o. Professor an der PH Berlin BIBLIOGRAPHISCHES INSTITUT MANNHEIM HOCHSCHULTASCHENBÜCHER-VERLAG

2 INHALTSVERZEICHNIS Vorwort 6 1 Einleitung Vorbemerkung Sichere, zufällige und stochastische Ereignisse Zufall und Kausalität Statistik und Empirie Mathematik und Statistik 24 2 Grundlagen Merkmale Qualitative, komparative und quantitative Merkmale Diskrete und stetige Merkmale Extensive und intensive Merkmale Zustand und Ereignis Zufällige Veränderliche (Zufallsvariablen) Vorbemerkung Elementarereignisse Beobachtungsgrößen und Zufallsvariablen Statistische Mengen und Kollektive Vorbemerkung Definition der statistischen Menge Kollektive von Beobachtungsgrößen Einteilung statistischer Mengen Dauer der Elemente Stabile und instabile Mengen Zugangs- und Abgangsmengen Geschlossene und offene Mengen Aufgliederung statistischer Mengen Statistische Gesetze, Methoden und Begriffe 41

3 8 Inhaltsverzeichnis 2.5 Das Rechnen mit relativen Häufigkeiten Absolute und relative Häufigkeiten; Häufigkeitsdichten Die bedingte relative Häufigkeit Die relativen Häufigkeiten von Merkmalsverknüpfungen Unabhängige Ereignisse Stichproben Vorbemerkung Zufallsstichproben Geschichtete Stichproben und Klumpenstichproben Der Hauptsatz der mathematischen Statistik Die Gesetze der großen Zahlen Das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen Der Hauptsatz der mathematischen Statistik Statistische Fragestellungen Vorbemerkung Beschreiben, Schätzen und Entscheiden Ursachenkomplexe Mono- und polycharaktere Fragestellungen Stochastische Modelle und theoretische Verteilungen Vorbemerkung Beispiele stochastischer Modelle Einige theoretische Verteilungen Erwartungswert und Varianz Die hypergeometrische Verteilung Die Binomialverteilung Die Poisson-Verteilung Die Normalverteilung Logarithmische Normalverteilungen Zweiparametrige lognormale Verteilungen Dreiparametrige lognormale Verteilungen Vierparametrige lognormale Verteilungen Die Entstehung lognormaler Verteilungen Grenzverteilungen Vorbemerkung Der zentrale Grenzwertsatz Annäherungen an die Normalverteilung Binominalverteilungen 77

4 Inhaltsverzeichnis Poissonverteilungen Annäherungen der hypergeometrischen, Binomial- und Poisson-Verteilung Die Ungleichung von Bienayme-Tschebyscheff 80 3 Monocharaktere Fragestellungen Deskriptive Statistik 82.1 Aufgabenbereich 82.2 Herausarbeitung empirischer Verteilungen 82.3 Empirische Verteilungen Gestalt, Lage und Ausbreitung einer Verteilung Grundformen empirischer Verteilungen 91.4 Parameter empirischer Verteilungen Vorbemerkung Positionsparameter Definition Das arithmetische Mittel Das geometrische Mittel Der Mediän oder Zentralwert Das Dichtemittel Lageregeln für C, D und M Dispersionsparameter Die Spannweite Die durchschnittliche Abweichung Die mittlere quadratische Abweichung Die Grundspanne Der Variationskoeffizient Gestaltparameter Die Schiefe DerExzeß Strukturparameter Unbestimmtheit oder Information einer Verteilung Konzentrationsmaße Die Konzentration einer Zufallsvariablen Die Redundanz Das Disparitäts-oder Konzentrationsmaß Analytische Darstellung empirischer Verteilungen Vorbemerkung 103

5 10 Inhaltsverzeichnis Diskrete Verteilungen Binomialverteilungen Poisson-Verteilungen Verteilungen dreiklassiger Merkmale Rangordnungsverteilungen (Lorenz-Pareto-Verteilungen) Stetige Verteilungen Normalverteilungen Lognormale Verteilungen Anpassungen Das Glätten von Kurven Gleitende Durchschnitte Die Methode von Behrens Merkmalstransformationen Vorbemerkung Dreiparametrige logarithmische Transformationen Das doppelte Wahrscheinlichkeits-Netz Scores Operative Bedeutung der deskriptiven Statistik Einheitlichkeit und Reproduzierbarkeit Verteilungskurven als heuristische Hilfsmittel Analytische Statistik Statistische Schlüsse Stichprobenfunktionen Definitionen und Problemstellungen Stichprobenmittelwerte Normalverteilung Asymmetrische und Mischverteilungen Stichprobenstreuung (Grenzverteilung) Die ^-Verteilung Die t-verteilung Die F-Verteilung Beziehungen zwischen % 2 -, t- und F-Verteilung Schätzungen Vorbemerkungen Konstruktionsmethoden für Schätzfunktionen Beurteilungskriterien für Schätzfunktionen Vertrauensintervalle Direkte Schlüsse Indirekte Schlüsse (Rückschluß) Diskrete Zufallsgrößen 155

6 Inhaltsverzeichnis Stetige Zufallsgrößen Graphische Schätzverfahren Das Binomial-Netz Das Wahrscheinlichkeits-Netz Entscheidungen (Tests) Grundlagen statistischer Urteile Die logische Valenz statistischer Urteile Klassifikation statistischer Hypothesen und Tests Konsequenzen statistischer Urteile Testbewertung Testplanung Anpassungs-und Parameter-Tests Vorbemerkungen Anpassungstests Parametertests Vorbemerkung Einseitiger Test für p Vergleich zweier empirischer Häufigkeiten Sollwert und Stichprobenmittelwert (n groß) Sollwert und Stichprobenmittelwert (n klein) Vergleich von Stichprobenmittelwerten Bei bekannter Streuung Bei unbekannter, aber gleicher Streuung Vergleich von Stichprobenvarianz und Sollwert Planung des Stichprobenumfanges Graphische Testverfahren Das Binomial-Netz Das Wahrscheinlichkeits-Netz Kontrollkarten Der Folgetest Spezielle Fragen der Testpraxis (Stichprobenprüfungen) Vorbemerkungen Einige Folgerungen aus der Testcharakteristik Prüfplanparameter und OC Prozent-Stichprobenpläne Durchschlupf p bei korrigierenden Stichprobenverfahren Mehrfache Stichprobenpläne Folgetest Prüfaufwand Eingangsgrößen einiger Stichprobensysteme 212

7 12 Inhaltsverzeichnis 4 Polycharaktere Fragestellungen Vorbemerkungen Die Häufigkeits-Analyse Mischverteilungen und ihre Parameter Grundlagen der Häufigkeitsanalyse Systematik der Mischkollektive aus zwei Teilkollektiven Analyse von Mischkollektiven Funktionen von Zufallsväriablen Korrelationen von Zufallsgrößen Vorbemerkungen Korrelation qualitativer Merkmale Zusammenhänge zwischen zwei alternativen Merkmalen Korrelation von zwei mehrklassigen Merkmalen Korrelation quantitativer Merkmale Der Korrelationskoeffizient Einfache lineare Korrelation Graphische Verfahren Zufällige Funktionen Vorbemerkungen Deskriptive Methoden Lineare Regressionen Streuung als Funktion des Mittelwertes Nichtlineare zufällige Funktionen Stochastische Prozesse 247 Abkürzungen und Symbole 248 Literaturverzeichnis 250 Namenverzeichnis 254 Sachverzeichnis 256