Formeln und Tabellen der mathematischen Statistik

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1 Graf / Henning / Stange Formeln und Tabellen der mathematischen Statistik Zweite völlig neu bearbeitete Auflage von Kurt Stange und Hans-Joachim Henning Dr. phil. Dr. phil. o. Professor der Technischen Hochschule Deutsches Wollforschungsinstitut Aachen an der Technischen Hochschule Institut für Statistik Aachen und Wirtschaftsmathematik Mit 78 Abbildungen Springer-Verlag Berlin /Heidelberg / New York 1966

2 Inhaltsverzeichnis A. Formeln 1 Formeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 1 2 Verteilungen mit sprunghaft veränderlichem Merkmal (diskrete Verteilungen) Allgemeine diskrete Verteilung Hypergeometrische Verteilung Binomialverteilung (Bernoulli-Verteilung) Poisson-Verteilung Negative Binomialverteilung 10 3 Verteilungen mit stetig veränderlichem Merkmal (stetige Verteilungen) Allgemeine stetige Verteilung Normalverteilung (Gauß-Verteilung) «-Verteilung (Student-Verteilung) ^-Verteilung (Helmert-Pearson-Verteilung) J-Verteilung (Fisher-Verteilung) Gamma-Verfceilung Beta-Verteilung Exponentialverteilung (Weibull-Verteilung) Doppelte Exponentialverteilung Ungleichungen von TSCHEBYSCHEFF und CAMP-MBIDBLL Übersicht über die wichtigsten eindimensionalen Verteilungen Mehrdimensionale Verteilungen Zweidimensionale diskrete Verteilungen Zweidimensionale stetige Verteilungen Beziehungen über Momente zweidimensionaler Verteilungen ;p-dimensionale Verteilungen Sonderfälle mehrdimensionaler Verteilungen 32 a) Zweidimensionale Normalverteilung 32 b) p-dimensionale Normalverteilung 32 c) Polynomische Verteilung 33 d) Verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung 33 5 Kenngrößen einer Verteilung, Zufallsschranken, Vertrauensgrenzen, Toleranzgrenzen Stichprobe; abgeleitete statistische Kenngrößen 34 a) Einzelwerte (ohne Klasseneinteilung) 34 b) Klasseneinteilung 36 c) Mittelwert x 37

3 VIII Inhaltsverzeichnis d) Zentralwert (Median) x 39 e) Varianz s 2 und Standardabweichung s 39 f) Spannweite R 41 g) Variationszahl (Variationskoeffizient) V 41 h) Schiefe g Schluß von einer bekannten Gesamtheit auf die Stichprobe. Zufallsschranken, Zufallsbereich 42 a) Zufallsschranken bzw. -bereiche bei Normalverteilung 42 Binzelwert 42 Extremwerte 42 Mittelwert 43 Zentralwert (Median) 43 Varianz und Standardabweichung 43 Spannweite 44 Variationszahl (Variationskoeffizient) 45 Mittelwertsunterschied zweier unabhängiger Stichproben Varianzverhältnis zweier unabhängiger Stichproben 45 b) Zufallsschranken bzw. -be,reiche bei Binomialverteilung 46 c) Zufallsschranken bzw. -bereiche bei Poisson-Verteilung 48 d) Zufallsschranken bzw. -bereiche bei beliebiger Verteilung Schluß von der Stichprobe auf die Gesamtheit. Vertrauensgrenzen (Konfidenzgrenzen), Vertrauensbereich (Konfidenzbereich) 51 a) Allgemeine Vertrauensgrenzen, allgemeiner Vertrauensbereich.. 51 b) Vertrauensgrenzen bzw. -bereiche bei Normalverteilung 51 Mittelwert 51 Varianz und Standardabweichung 53 Variationszahl (Variationskoeffizient) 54 Schiefe 54 c) Vertrauensgrenzen bzw. -bereiche bei Binomialverteilung d) Vertrauensgrenzen bzw. -bereiche bei Poisson-Verteilung 57 e) Vertrauensgrenzen bei beliebiger stetiger Verteilung Toleranzgrenzen und Toleranzbereich 60 a) Toleranzgrenzen und -bereiche bei Normalverteilung 60 b) Toleranzgrenzen und -bereiche bei beliebiger stetiger Verteilung Ausreißerkriterien bei normaler Gesamtheit 64 a) Ausreißerschranken für die Extremwerte einer Stichprobe b) Ausreißerschranken für die größte von k Varianzen 66 6 Testverfahren Verträglichkeit eines Sollwertes mit einem aus einer Stichprobe berechneten Kenngrößenweit (Parametertest) Vergleich von Mittelwerten bei (angenähert) normalen Grundgesamtheiten 69 a) Allgemeines Verfahren 69 b) Vergleich der Mittelwerte bei zwei unabhängigen Stichproben c) Vergleich der Mittelwerte bei zwei abhängigen (verbundenen) Stichproben (paarweiser Vergleich) 77 d) Prüfen mehrerer Mittelwerte von Normalverteilungen (mit unbekannter aber gleicher Varianz) auf Gleichheit 78

4 Inhaltsverzeichnis IX 6.3 Vergleich der Lage (Mittelwert, Zentralwert u. a.) von zwei beliebigen Grundgesamtheiten 79 a) Unabhängige Stichproben 79 b) Abhängige Stichproben (verbundene Stichproben) Vergleich von Varianzen oder Standardabweichungen bei (angenähert) normalen Grundgesamtheiten 80 a) Allgemeines Verfahren 80 b) Vergleich zweier Standardabweichungen (Varianzen) 81 c) Prüfen mehrerer Varianzen von Normalverteilungen auf Gleichheit Vergleich der Varianzen bzw. Streuungen von zwei beliebigen stetigen Gesamtheiten Vergleich der Grundwahrscheinlichkeiten von Bmomialverteilungen 87 a) Vergleich der Grundwahrscheinlichkeiten von zwei Bmomialverteilungen 87 b) Vergleich der Grundwahrscheinlichkeiten von k Bmomialverteilungen Vergleich der Parameter von Polynomialverteilungen Vergleich der Mittelwerte von Poisson-Verteilungen 95 a) Allgemeines Verfahren 95 b) Vergleich der Mittelwerte von zwei Poisson-Verteilungen c) Vergleich der mittleren Ereigniszahlen je Bezugseinheit bei zwei Poisson-Verteilungen 97 d) Vergleich der Mittelwerte von k Poisson-Verteilungen Vergleich einer beobachteten mit einer vorgegebenen Verteilung (Anpassungs-Tests) Test der Hypothese, daß zwei Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit stammen 101 a) Unabhängige Stichproben 101 b) Abhängige Stichproben (verbundene Stichproben) Varianzanalyse (Streuungszerlegung) Einfache Zerlegung; gleiche Besetzungszahlen für alle Gruppen a) Das Modell mit systematischen Komponenten 107 b) Das Modell mit Zufallskomponenten Einfache Zerlegung mit ungleichen Besetzungszahlen der Spalten oder Gruppen 113 a) Das Modell mit systematischen Komponenten 114 b) Das Modell mit Zufallskomponenten Zweifache Zerlegung, zwei Einflußgrößen; gleiche Besetzungszahlen für alle Zellen 118 a) Das Modell mit systematischen Komponenten 123 b) Das Modell mit Zufallskomponenten 126 c) Das Modell mit systematischen Komponenten und Zufallskomponenten (gemischtes Modell) Das Modell ohne Wechselwirkung 131 a) Das Modell mit systematischen Komponenten 131 b) Das Modell mit Zufallskomponenten 132

5 X Inhaltsverzeichnis c) Das Modell mit systematischen Komponenten und Zufallskomponenten (gemischtes Modell) Das Schachtelmodell" mit drei (oder mehr) Zufallskomponenten Verteilungsunabhängige Testverfahren 141 a) Einfache Zerlegung 141 b) Zweifache Zerlegung mit» = Kostenbetrachtung bei varianzanalytischen Modellen mit Zufallskomponenten Korrelation Zweidimensionale Normal Verteilung 149 a) Berechnung von r aus n Wertepaaren 149 b) Berechnung von r bei gleichabständiger Klasseneinteilung c) Testverfahren und Vertrauensbereiche Mehrdimensionale Normalverteilung 153 a) Partielle Korrelation 153 b) Multiple Korrelation Zweidimensionale nichtnormale Verteilungen 158 a) Prüfung der Unabhängigkeit in einer (k -Z)Kontmgenztafel bei quantitativen oder qualitativen Merkmalen 158 b) SPEAEMANsche Rangkorrelation 159 c) KENDALLsche Bangkorrelation Mehrdimensionale nichtnormale Verteilungen Regression Einfache Regression 166 a) Modelle 166 b) Auswertung der Stichprobe 167 c) Testverfahren 168 d) Vertrauensbereichc 170 e) Toleranzbereiche Mehrfache Regression 172 a) Modelle 172 b) Auswertung der Stichprobe 173 c) Testverfahren 175 d) Vertrauensbereiche 177 e) Toleranzbereiche Kontrollkarten Kontrollkarten für meßbare Merkmale 179 a) Bestimmung der Prüfgrößen 179 b) Kontrollkarten ohne Berücksichtigung von Toleranzgrenzen Mittelwertkarte (ä-karte) 183 Zentralwertkarte (x-karte) 183 Standardabweichungskarte (s-karte) 184 Spannweitenkarte (iü-karte) '. 184 Karte für die Variationszahl (Variationskoeffizient) 184 Extremwertkarte ohne Gang in der Fertigung 185

6 Inhaltsverzeichnis XI c) Kontrollkarten zur Überwachung der mittleren Lage" einer Fertigung mit vorgeschriebenen technischen Toleranzgrenzen..185 Mittelwertkarte (S-Karte) 186 Zentralwertkarte (x-karte) 187 Extremwertkarte mit Gang in der Fertigung Kontrollkarten für die Zahl fehlerhafter Einheiten (Stücke) K-Karte 188 p-karte Kontrollkarten für die Zahl der Fehler 188 c-karte 189 M-Karte Prüfpläne Allgemeines Einfachpläne für stetig veränderliche Merkmale 190 a) Einseitig vorgegebene Toleranzgrenze T v bzw. T b) Zweiseitig vorgegebene Toleranzgrenzen (T v ; T 0 ) 196 c) Durchschlupf und mittlerer Prüfaufwand Einfach- und Doppelpläne für Ereigniszahlen 198 a) Allgemeines 198 b) Einfachpläne 199 c) Doppelpläne 199 d) Ermittlung der Probengröße und der Annahmezahl eines Einfachplans bei vorgegebener Annahmekennlinie mit Hilfe der arc sin-transformation 201 e) Prüfplansammlungen Folgepläne (Folgetests) für stetig veränderliehe Merkmale (messende Prüfung) 202 a) Test zur Beurteilung des Schlechtsanteils oder des Mittelwerts einer Liefermenge bei bekannter Varianz der Fertigung b) Test zur Beurteilung des Mittelwerts bei unbekannter jedoch fester Varianz der Fertigung (Barnard-Folgetest) 204 c) Test zur Beurteilung des Schlechtanteils oder der Varianz bei bekanntem Mittelwert der Fertigung 205 d) Test zur Beurteilung der Varianz bei unbekanntem jedoch festem Mittelwert der Fertigung 208 e) Test zur Beurteilung des Schlechtanteils oder der Qualitätszahl einer Liefermenge bei unbekannter Varianz der Fertigung (WAGR-Test) Folgepläne (Fplgetests) für Ereigniszahlen 211 a) Gut-Schlecht-Prüfung 211 b) Prüfung für (bezogene) Ereigniszahlen (poissonverteiltes Merkmal) Gut-Schlecht-Prüfung bei kontinuierlicher Fertigung (Continuous Sampling) 214 a) Dodge-Plan (einstufig) 214 b) Zweistufige Pläne 216 c) Mehrstufige Pläne Vergleich zweier Gesamtheiten mit Hilfe ungleicher Paare"

7 XII B. Beispiele 12 Funktionen von Zufallsgrößen (Merkmaltransformation; Streuungsfortpflanzung) Einfacher Zusammenhang; Merkmaltransformation Mehrfacher Zusammenhang; Streuungsfortpflanzung 223 B. Beispiele Beispiel 1: Berechnung von Mittelwert, Zentralwert, Varianz, Soandardabweichung und Variationszahl bei kleinem Stichprobenumfang 226 Beispiel 2: Berechnung von Mittelwert, Zentralwert, Varianz, Standardabweichung und Schiefe bei großem Stichprobenumfang (gleichabständige Klasseneinteilung) 227 Beispiel 3: Graphische Ermittlung von Mittelwert und Standardabweichung im Wahrscheinlichkeitsnetz 229 Beispiel 4: Zufallsschranken 231 Beispiel 5: Vertrauensgrenzen bzw. -bereiche 232 Beispiel 6: Toleranzbereiche 235 Beispiel 7: Ausreißerschranke 236 Beispiel 8: Anwendung des Binomialpapiers 237 Beispiel 9: Verträglichkeit zwischen Kenngröße einer Stichprobe und Sollwert 239 Beispiel 10: Mittelwertvergleich bei zwei unabhängigen Stichproben Beispiel 11: Mittelwertvergleich bei zwei verbundenen Stichproben (paarweiser «-Test, Vorzeichen-Rangfolge-Test von WILCOXON) 242 Beispiel 12: Vergleich von Varianzen bei (angenähert) normal verteilten Merkmalwerten in den Grundgesamtheiten 244 Beispiel 13: Vergleich der Grundwahrscheinlichkeiten von Binomialverteilungen 245 Beispiel 14: Vergleich einer beobachteten mit einer vorgegebenen Verteilung 246 Beispiel 15: Einfache Streuungszerlegung. 248 Beispiel 16: Zweifache Streuungszerlegung; eine Beobachtung je Zelle Beispiel 17: Korrelationsanalyse bei zweidimensionaler Normalverteilung Beispiel 18: Einfache Regressionsanalyse 256 Beispiel 19: Mehrfache Regressionsanalyse 259 Beispiel 20: Kontrollkarten für ein meßbares Merkmal 263 Beispiel 21: Kontrollkarte für die Zahl fehlerhafter Einheiten (Stücke) Beispiel 22: Kontrollkarte für die Zahl der Fehler 266 Beispiel 23: Ermittlung von Plänen für messende Prüfung mit Hilfe des doppelten Wahrscheinlichkeitsnetzes 267 Beispiel 24: Bestimmung der Annahmekennlinie (Operations-Charakteristik) eines Einfachplans für messende Prüfung 269 Beispiel 25: Schätzung der Schlechtanteile Pn un d Po i m Los aus der Summengeraden G einer Probe der Größe n im einfachen Wahrscheinlichkeitsnetz 271 Beispiel 26: Ermittlung eines Einfachplans für Gut-Schlecht-Prüfung Beispiel 27: Bestimmung der Annahmekennlinie (Operations-Charakteristik) eines gegebenen Prüfplans (N; n; a) für Gut-Schlecht-Prüfung 274 Beispiel 28: Folgeplan (Folgetest) für Gut-Schlecht-Prüfung 276 Beispiel 29: Abgangslinie im Lebensdauernetz 278 Beispiel 30: Anwendung des logarithmischen Wahrscheinlichkeitsnetzes

8 Inhaltsverzeichnis C. Tabellen XIII Häufig gebrauchte Konstanten; griechisches Alphabet 283 Tabelle C 1: Dichtefunktion der Normalverteilung 284 Tabelle C 2: Summenfunktion der Normal Verteilung 286 Tabelle C 3: Fläche unter der Normalverteilung 288 Tabelle C 4: Schwellenwerte fi_«; / der «-Verteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 a (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad / 290 Tabelle C 5: Schwellenwerte t 1 _ {al i% ).f der (-Verteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 a (bei zweiseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad / 291 Tabelle C 6: Schwellenwerte %{ _ x;f der x 2 -Verteifung zur Wahrscheinlichkeit 1 a in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad / 292 Tabelle C 7: Schwellenwerte F 1 _ tx (f 1 ; / 2 ) der F-Verteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 a = 95% (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit von den Freiheitsgraden / t und / Tabelle C 8: Schwellenwerte F 1 _ x (f l ; / 2 ) der F-Verteilung zur statistischen Sicherheit 8 = 1 a = 97,5% (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit von den Freiheitsgraden f x und / Tabelle C 9: Schwellenwerte F 1 _ a (f 1 ; / 2 ) der F-Verteilung zur statistischen Sicherheit 8 = 1 a = 99% (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit von den Freiheitsgraden j x und / Tabelle C 10: Schwellenwerte F 1 _ x (f 1 ; / 2 ) der F-Verteilung zur statistischen Sicherheit <S = 1 a = 99,5% (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit von den Freiheitsgraden / x und / Tabelle C 11: Schwellenwerte w 1 _ x (n) der Verteilung der standardisierten Spannweite w = w (n) = Rja 302 Tabelle C 12: Schwellenwerte qi- a {f;p) der Verteilung der studentisierten Spannweite q zur Sicherheit S = 95% (bei einseitiger Abgrenzung) 304 Tabelle C 13: Schwellenwerte qi- a {f',p) der Verteilung der studentisierten Spannweite q zur Sicherheit S = 99% (bei einseitiger Abgrenzung) 306 Tabelle C 14: Zahlenwerte k(n; 1 a) 308 Tabelle C 15: Werte für y(p) zur Transformation y = aresin Vp r Tabelle C 16: Werte für r(z) zur Transformation z= ln-r; ' 2 1 r 310 Tabelle C 17: Faktoren r und v zur Abgrenzung zweiseitiger Toleranzbereiche bei Normalverteilung 311 Tabelle C 18: Faktoren zur Berechnung der Grenzen bei Kontrollkarten. 314 Tabelle C 19: Zufallszahlen 316 Tabelle C 20: Quadratzahlen und Quadratwurzeln von 1 bis D. Tomogramme Nomogramm D 1: Schwellenwerte t 1 _ x;/ der «-Verteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 <x (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad / 327 Nomogramm D 2: Schwellenwerte Xi-«;/ der ^-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit 1 a ^ 50% in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad / 328

9 XIV Inhaltsverzeichnis Nomogramm D 3: Schwellenwerte Xi-a;f der % 2 -Verteilung zur Wahrscheinlichkeit 1 a g5 50% in Abhängigkeit vom Ereiheitsgrad / 329 Nomogramm D 4: Schwellenwerte u n zur Berechnung der einseitigen Zufallsschranken für die Extremwerte einer Stichprobe aus einer Normalverteilung 330 Nomogramm D 5: Relative Weite p des Vertrauensbereichs für den Mittelwert ß einer Normalverteilung zur statistischen Sicherheit 8 = 1 «= 95% 331 Nomogramm D 6: Relative Weite p des Vertrauensbereichs für den Mittelwert fx, einer Normalverteilung zur statistischen Sicherheit 8=1 - a = 99% 332 Nomogramm D 7: Relative Weite p des Vertrauensbereichs für den Mittelwert fj, einer Normalverteilung zur statistischen Sicherheit = l - a = 99,9% 333 Nomogramm D 8: x n - und x 0 -Eaktoren zur Berechnung der einseitigen Vertrauensgrenzen für die Standardabweichung a der Normalverteilung bei großem Stichprobenumfang n Nomogramm D 9: «p -Eaktor zur Berechnung der einseitigen unteren Vertrauensgrenze für die Standardabweichung a der Normalverteilung bei kleinem Stichprobenumfang n 335 Nomogramm D 10: x 0 -Eaktor zur Berechnung der einseitigen oberen Vertrauensgrenze für die Standardabweichung o der Normalverteilung bei kleinem Stichprobenumfang n 335 Nomogramm D 11: Zweiseitiger Vertrauensbereich für den Parameter p der Binomialverteilung zur Sicherheit S = l-^a = 95%. 336 Nomogramm D 12: Zweiseitiger Vertrauensbereich für den Parameter p der Binomialverteilung zur Sicherheit 8 = 1 a = 99%. 337 Nomogramm D 13: Kriterium für den Ersatz der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 338 Nomogramm D 14: Einseitige Vertrauensgrenzen für den Mittelwert ji der Poisson-Verteilung zur Sicherheit 8 = 1 a 339 Nomogramm D 15: Zweiseitiger Vertrauensbereich für die Korrelationszahl Q bei zweidimensionaler Normalverteilung zur Sicherheit 8 = 1 - oc = 95% 340 Nomogramm D 16: Zweiseitiger Vertrauensbereich für die Korrelationszahl Q bei zweidimensionaler Normalverteilung zur Sicherheit 8 = 1 a = 99% 341 Nomogramm D 17: Schwellenwerte r x _ x. zum Test der Hypothese Q = 0 bei zweidimensionaler Normalverteilung 342 Literaturverzeichnis 343 Sachverzeichnis 354