Algorithmen für Chaos und Fraktale

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1 Dietmar Herrmann Algorithmen für Chaos und Fraktale A... :.., ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY Bonn Paris Reading, Massachusetts Menlo Park, California New York. Don Mills, Ontario Wokingham, ; England Amsterdam Milan Sydney Tokyo Singapore Madrid San Juan Seoul «Mexico City Taipei, Taiwan

2 Vorwort 11 Hinweise zu den Graphik-Programmen...' 13 1 Einleitung: Wie alles anfing Henri Poincare Balthasar van der Pol Edward Lorenz.*r Michel Henon Robert May 22 ' 1.6 James Yorke Stephen Smale Mitchell Feigenbaum David Ruelle Benoit Mändelbrot Michael Barnsley 27 ' 1.12 Aristid Lindenmayer 28 2 Die logistische Gleichung Dynamik der logistischen Gleichung Das Feigenbaum-Diagramm 34 ';' 2.4 Exakte Lösung im Chaos-Fall Die invariante Dichte Berechnung des Ljapunow-Exponenten Numerische Berechnung des Ljapunow-Exponenten 41' 2.7 Das Entropiemaß : Das Fourier-Spektrum Die Korrelationsfunktion Aufgaben....> 49 3 Kreisgleichüng (Circle Map) Fixpunkte Der Fall K nahe Null.52 " 3.3 Der Fall K=l Der Fall K>1...;...58

3 4 Zweidimensionale logistische Gleichung Gekoppelte einparametrige Gleichung Gekoppelte, zweiparametrige Gleichung. ; Kanekol Kaneko II 67 5 Henon-Abbildung Fixpunkte der Henon-Gleichung Berechnung der Ljapunow-Exponenten Die Kaplan-Yorke Vermutung Die Kapazität Das Korrelationsintegral Bifurkationsdiagramm 79 6 Lorenz-Gleichungen Dynamik des Lorenz-Systems Lorenz-Map '. ' Berechnung der Ljapunow-Exponenten 86 7 Attraktoren Rössler-Attraktor Metzler-Attraktor Ikeda-Attraktor Ueda-Attraktor Duffing-Attraktor, Lozi-Gleichung Rayleigh-Gleichung Tomita-Gleichung Konservative Systeme und das KAM-Theorem Quadratische Henon-Gleichurig Das KAM-Theorem Henon-Heiles-System ' Twist-Map < Standard-Abbildung ' McKay-Abbildung Ergänzungen.: Iterative Systeme Sinai-Gleichungen : Katzen-Abbildung 119

4 ; ' 9.3 Bäcker-Abbildung.- :.; Hufeisen-Abbildung Martin-Abbildung Mira-Abbildung Pickover-Abbildung 128 ; 9.8 Ergänzungen und Anregungen» Das Chaosspiel Sierpinski-Dreieck Menger-Teppich Dürer-Fünfeck Drehsymmetrisches Sechseck 137 : 10.5 Beispiel einer Kreisinversien Fraktale Kurven Länge von Küstenlinien 140 ' 11.2 Die fraktale Dimension Die Cantor-Menge Die Teufelstreppe Cantor-Quadrat Sierpinski-Dreieck Menger-Teppich > 11.8 Koch-Kurve.' Koch Koch Fraktale Kurven Kreuzstichkurve Eiskurven 158 : 12.3 Caesäro-Kurve Levy-Kurve Drachenkurve Drachen Cayley-Baum Symmetrischer Pythagoras-Baum Schiefer Pythagorasbaum Alternierender Pythagoras-Baum Peano-Kurve 174

5 13 Iterierte Funktionssysteme (IFS)... :...; IFS-Code des Farns ; Variationen des Farn-Codes Weitere IFS-Codes für Bäume Collage-Theorem Sierpinski-Dreieck Koch-Kurve Deterministisches IFS-Programm...: D-Darstellung eines IFS Ausblicke und Ergänzungen ; Lindenmayer-Systeme.;;: Definition von L-Systemen...; ; Die Türtle-Interpretation Pflanzel...;..; Weitere Pflanzen von Lindenmayer Koch-Kurve ; Drachenkurve Pfeilspitzkurve Hexagonale Gosper-Kurve.; Kreuzstichkurve Hilbert-Kurve Minkowski-Kurve i : Julia-Mengen Eigenschaften von Julia-Mengen Die inverse Iteration, Modifizierte inverse Iteration : EscaperTime-Algorithmus ; Distanz-Verfahren...: Binäre Dekompösitions-Methode Julia-Menge z.= sin(z) Juliamenge z = exp(z)+c Newton-Verfahren Ergänzung... : Mandelbrot-Menge.-; Dynamik der Mandelbrot-Menge Eigenschaften der Mandelbrot-Menge Escape-Time Algorithmus Distanz-Methode 232

6 16.5 Mandelbrot-Menge einer Sinusfunktion Mandelbrot-Menge einer Exponentialfunktion Anwendungen Chemie: Brüsselator ; Astronomie: Saturnringel Elektronik: Dioden-Schwingkreis Elektronik: Van-der-Pol-Oszillator Physik: Nichtlineares Pendel 247 '< 17.6 Physik: Diskretes Newton-Verfahren Physik: Ising-Modell Anwendungen II Biologie: Lotka-Volterra-Gleichungen Biologie: Modell von Metz Biologie: Modell von Crofton Zellularautomat mit 3 Nachbarn 264 : 18.6 Zellularautomaten mit 5 Nachbarn Zellularautomat von Pickover Cluster-Bildung (DLA) Kleines Lexikon der Chaostheorie Literaturverzeichnis 284 Index 287