Kapitel 5.6: Nichtlineare Rekursionen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete
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1 Kapitel 5.6: Nichtlineare Rekursionen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete
2 5.4.3 Master-Theorem: Lineare Rekursionen
3 5.6 Nichtlineare Rekursionen Logistische Rekursion Wachstum proportional zu einer Größe: Ergebnis:
4 5.5.1 Logistische Rekursion Exponentielles Wachstum: Das geht nicht beliebig lange weiter!
5 5.5.1 Logistische Rekursion Pierre-François Verhulst ( ) Notice sur la loi que la population pursuit dans son accroissement. Notiz über das Gesetz, das die Bevölkerung bei ihrem Wachstum befolgt.
6 5.5.1 Logistische Rekursion Verhulst ursprünglich: Stetiger Prozess! In Populationsdynamik beobachtet: Diskreter Prozess!
7 5.5.1 Logistische Rekursion Zuwachs durch Fruchtbarkeit: Schwund durch Verhungern (etc.): Zusammen: Normiert:
8 Bildlich: Logistische Rekursion
9 Rekursion: Logistische Rekursion
10 Rekursion strebt gegen Fixpunkt: Logistische Rekursion
11 Rekursion strebt gegen Fixpunkt: Logistische Rekursion
12 Rekursion strebt gegen Fixpunkt: Logistische Rekursion
13 Rekursion strebt gegen Fixpunkt: Logistische Rekursion
14 Zwei Fixpunkte! Logistische Rekursion
15 Zwei Fixpunkte! Logistische Rekursion
16 Vier Fixpunkte! Logistische Rekursion
17 Entwicklung der Fixpunkte: Logistische Rekursion
18 Keinerlei Fixpunkte - deterministisches Chaos: Logistische Rekursion
19 Bifurkationsdiagramm: Logistische Rekursion
20 Kausalität?! Logistische Rekursion
21 Kausalität?! Logistische Rekursion
22 5.5.1 Logistische Rekursion Grenzen der Kausalität! Predictability: Does the flap of a butterfly s wings in Brazil set off a tornado in Texas? Edward Lorenz ( )
23 5.5.2 Die Mandelbrotmenge Noch einmal quadratische Rekursion: Für welche Werte c bleibt das beschränkt? Man kann das auf die logistische Iteration abbilden...
24 5.5.2 Die Mandelbrotmenge Noch einmal quadratische Rekursion: Für welche komplexen Werte c bleibt das beschränkt? Brooks & Matelsky (1978)
25 Besser aufgelöst: Die Mandelbrotmenge
26 Realteil auf die logistische Iteration abgebildet: Die Mandelbrotmenge
27 Farbig: Die Mandelbrotmenge
28 5.5.2 Die Mandelbrotmenge Ausschnitt: -> Filme!
29 5.5.2 Die Mandelbrotmenge Fractal Geometry of Nature (1982) Benoît Mandelbrot ( ) Erste Dauerprofessur: 1999
30 5.5.3 Fraktale Mandelbrot (1967) How long is the coast line of Britain? Maßstab 200km: 2350km Maßstab 100km: 2775km Maßstab 50km: 3425km
31 5.5.3 Fraktale Hausdorff-Dimension: Wie wächst das Gesamtmaß in Abhängigkeit von der Größe?
32 5.5.3 Fraktale Niels Fabian Helge Hartmut von Koch ( ) Schneeflockenkurve (1904)
33 5.5.3 Fraktale Pro Iteration: Länge wächst um Faktor 4/3 Hausdorff-Dimension des Randes: log(4)/log(3) = Fläche: Bleibt beschränkt
34 5.5.3 Fraktale Szierpinski-Dreieck: Fläche schrumpft um Faktor 3/4 pro Iteration Hausdorff-Dimension der Fläche: log(3)/log(2) =
35 5.5.3 Fraktale Fraktale in der Natur: Romanesco
36 5.5.3 Fraktale Fraktale in der Natur: Eiskristalle
37 5.5.3 Fraktale Fraktale in der Natur: Adhäsionsmuster
38 5.5.3 Fraktale Fraktale in der Natur: Muster elektrischer Entladung
39 5.5.3 Fraktale Fraktale in der Natur: Farn
40 Farn (nicht echt) Fraktale
41 5.5.3 Fraktale Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line. - Mandelbrot
42 5.5.4 Zelluläre Automaten Stanislaw Ulam ( ) Rule 30 (0*128+0*64+0*32+1*16+1*8+1*4+1*2+0*1 =30) John von Neumann ( )
43 5.5.4 Zelluläre Automaten Rule 30 Kegelschnecke
44 5.5.4 Zelluläre Automaten Stephen Wolfram (1959-) Rule 110 Matthew Cook (1998): Rule 110 ist universell
45 5.5.4 Zelluläre Automaten Game of Life: (1970) A. Jede Zelle lebt oder ist tot. B. Jede Zelle hat 8 Nachbarn. John Conway (1937-) 1. Eine lebende Zelle mit weniger als zwei lebenden Nachbarn stirbt. 2. Eine lebende Zelle mit mehr als drei lebenden Nachbarn stirbt. 3. Eine lebende Zelle mit zwei oder drei lebenden Nachbarn lebt weiter. 4. Eine tote Zelle mit genau drei lebenden Nachbarn wird lebend.
46 5.5.4 Zelluläre Automaten
47 Gosper-Glider Zelluläre Automaten
48 Turing-Maschine, basierend auf Game of Life (Paul Rendell) Zelluläre Automaten
49 5.6 Nichtlineare Rekursionen Die Welt ist nichtlinear! Nichtlinearität birgt viele Überraschungen!
50 Demnächst mehr!
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