Gleichgewichte von Differentialgleichungen
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- Renate Meyer
- vor 8 Jahren
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1 Gleichgewichte von Differentialgleichungen
2 Gleichgewichte von Differentialgleichungen Teil 1
3 Zur Erinnerung:
4 Zur Erinnerung: Wir hatten lineare Differentialgleichungen betrachtet: in R 1 :
5 Zur Erinnerung: Wir hatten lineare Differentialgleichungen betrachtet: in R 1 : x (t) = µx(t)
6 Zur Erinnerung: Wir hatten lineare Differentialgleichungen betrachtet: in R 1 : x (t) = µx(t) in R 2 :
7 Zur Erinnerung: Wir hatten lineare Differentialgleichungen betrachtet: in R 1 : x (t) = µx(t) in R 2 : x 1 (t) = a x 1(t) + b x 2 (t) x 2 (t) = c x 1(t) + d x 2 (t)
8 Zur Erinnerung: Wir hatten lineare Differentialgleichungen betrachtet: in R 1 : x (t) = µx(t) in R 2 : x 1 (t) = a x 1(t) + b x 2 (t) x 2 (t) = c x 1(t) + d x 2 (t) Als Vektorgleichung:
9 Zur Erinnerung: Wir hatten lineare Differentialgleichungen betrachtet: in R 1 : x (t) = µx(t) in R 2 : x 1 (t) = a x 1(t) + b x 2 (t) x 2 (t) = c x 1(t) + d x 2 (t) Als Vektorgleichung: x (t) = M x(t)
10 Lineare dynamische Systeme:
11 Lineare dynamische Systeme: x (t) = µx(t), x (t) = M x(t):
12 Lineare dynamische Systeme: x (t) = µx(t), x (t) = M x(t): x (t) entsteht durch eine lineare Transformation von x(t)
13 Lineare dynamische Systeme: x (t) = µx(t), x (t) = M x(t): x (t) entsteht durch eine lineare Transformation von x(t) Dies sind Spezialfälle so genannter dynamischer Systeme, d.h von Differentialgleichungen
14 Lineare dynamische Systeme: x (t) = µx(t), x (t) = M x(t): x (t) entsteht durch eine lineare Transformation von x(t) Dies sind Spezialfälle so genannter dynamischer Systeme, d.h von Differentialgleichungen x (t) = f( x(t))
15 Lineare dynamische Systeme: x (t) = µx(t), x (t) = M x(t): x (t) entsteht durch eine lineare Transformation von x(t) Dies sind Spezialfälle so genannter dynamischer Systeme, d.h von Differentialgleichungen x (t) = f( x(t)) f ist eine Abbildung (z.b. von R 2 nach R 2 ), die für jeden Input x(t) ausgibt, wie es von dort weiter geht.
16 Lineare dynamische Systeme: x (t) = µx(t), x (t) = M x(t): x (t) entsteht durch eine lineare Transformation von x(t) Dies sind Spezialfälle so genannter dynamischer Systeme, d.h von Differentialgleichungen x (t) = f( x(t)) f ist eine Abbildung (z.b. von R 2 nach R 2 ), die für jeden Input x(t) ausgibt, wie es von dort weiter geht. f( x(t)) gibt an, wie schnell und in welche Richtung sich x(t) verändert.
17 Punkte x mit f( x) = 0 sind besonders:
18 Punkte x mit f( x) = 0 sind besonders: exakt von dort gestartet, ändert sich x(t) nicht!
19 Punkte x mit f( x) = 0 sind besonders: exakt von dort gestartet, ändert sich x(t) nicht! Diese Punkte nennt man Gleichgewichte.
20 Punkte x mit f( x) = 0 sind besonders: exakt von dort gestartet, ändert sich x(t) nicht! Diese Punkte nennt man Gleichgewichte. Bei linearen dynamischen Systemen x (t) = M x(t) ist x = 0 ein Gleichgewicht.
21 Punkte x mit f( x) = 0 sind besonders: exakt von dort gestartet, ändert sich x(t) nicht! Diese Punkte nennt man Gleichgewichte. Bei linearen dynamischen Systemen x (t) = M x(t) ist x = 0 ein Gleichgewicht. Wie sich das System in der Nähe dieses Gleichgewichtes verhält, hängt, wie wir gesehen haben, ganz drastisch von M ab...
22 Punkte x mit f( x) = 0 sind besonders: exakt von dort gestartet, ändert sich x(t) nicht! Diese Punkte nennt man Gleichgewichte. Bei linearen dynamischen Systemen x (t) = M x(t) ist x = 0 ein Gleichgewicht. Wie sich das System in der Nähe dieses Gleichgewichtes verhält, hängt, wie wir gesehen haben, ganz drastisch von M ab... Unser Programm: Studiere auch nichtlineare dynamische Systeme
23 Punkte x mit f( x) = 0 sind besonders: exakt von dort gestartet, ändert sich x(t) nicht! Diese Punkte nennt man Gleichgewichte. Bei linearen dynamischen Systemen x (t) = M x(t) ist x = 0 ein Gleichgewicht. Wie sich das System in der Nähe dieses Gleichgewichtes verhält, hängt, wie wir gesehen haben, ganz drastisch von M ab... Unser Programm: Studiere auch nichtlineare dynamische Systeme in der Nähe ihrer Gleichgewichte durch lokale lineare Approximation.
24 Ein Beispiel im R 1 :
25 Ein Beispiel im R 1 : Wachstum bei beschränkten Ressourcen, modelliert durch die
26 Ein Beispiel im R 1 : Wachstum bei beschränkten Ressourcen, modelliert durch die logistsiche Differentialgleichung
27 Ein Beispiel im R 1 : Wachstum bei beschränkten Ressourcen, modelliert durch die logistsiche Differentialgleichung x (t) = rx(t)(1 x(t) K ).
28 Ein Beispiel im R 1 : Wachstum bei beschränkten Ressourcen, modelliert durch die logistsiche Differentialgleichung x (t) = rx(t)(1 x(t) K ). So lange x(t) kleiner ist als K, wächst x(t) : x (t) > 0.
29 Ein Beispiel im R 1 : Wachstum bei beschränkten Ressourcen, modelliert durch die logistsiche Differentialgleichung x (t) = rx(t)(1 x(t) K ). So lange x(t) kleiner ist als K, wächst x(t) : x (t) > 0. Je näher x(t) an K herankommt, um so langsamer wächst x(t) (um so kleiner wird x (t))
30 Ein Beispiel im R 1 : Wachstum bei beschränkten Ressourcen, modelliert durch die logistsiche Differentialgleichung x (t) = rx(t)(1 x(t) K ). So lange x(t) kleiner ist als K, wächst x(t) : x (t) > 0. Je näher x(t) an K herankommt, um so langsamer wächst x(t) (um so kleiner wird x (t)) K ist die Kapazität des Systems.
31 x (t) = rx(t)(1 x(t) K ) K 0 t x(0) = K 2
32 x (t) = rx(t)(1 x(t) K )
33 x (t) = rx(t)(1 x(t) K ) r ist der Wachstumsparameter :
34 x (t) = rx(t)(1 x(t) K ) r ist der Wachstumsparameter : so lange x(t) viel kleiner ist als K,
35 x (t) = rx(t)(1 x(t) K ) r ist der Wachstumsparameter : so lange x(t) viel kleiner ist als K, wächst x(t) annähernd exponentiell mit Parameter r.
36 x (t) = rx(t)(1 x(t) K ) K 0 t x(0) = K 100
37 x (t) = rx(t)(1 x(t) K )
38 x (t) = rx(t)(1 x(t) K ) Wenn x(t) größer ist als K, nimmt es ab: x (t) < 0.
39 x (t) = rx(t)(1 x(t) K ) K 0 t x(0) = 1.5K,2K
40 Die logistische Differentialgleichung
41 Die logistische Differentialgleichung x (t) = rx(t)(1 x(t) K )
42 Die logistische Differentialgleichung x (t) = rx(t)(1 x(t) K ) hat zwei Gleichgewichte:
43 Die logistische Differentialgleichung x (t) = rx(t)(1 x(t) K ) hat zwei Gleichgewichte: x 0 = 0 und x 1 = K.
44 Die logistische Differentialgleichung x (t) = rx(t)(1 x(t) K ) hat zwei Gleichgewichte: x 0 = 0 und x 1 = K. Das Verhalten in der Nähe dieser Gleichgewichte ist ganz verschieden:
45 x (t) = rx(t)(1 x(t) K ) x 1 = K x 0 = 0 t
46 x (t) = rx(t)(1 x(t) K ) x 1 = K x 0 = 0 t x 0 ist abstoßend, x 1 ist anziehend
47 f(x) = rx(1 x K ) 0 x K x 0 = 0, x 1 = K
48 f(x) = rx(1 x K ) 0 x K x (t) = f(x(t)) x 0 = 0, x 1 = K
49 f(x) = rx(1 x K ) 0 x K x (t) = f(x(t)) x 0 = 0, x 1 = K
50 f(x) = rx(1 x K ) 0 x K x (t) = f(x(t)) x 0 = 0, x 1 = K x 0 ist abstoßend, x 1 ist anziehend
51 Wie entwickelt sich die Differenz
52 Wie entwickelt sich die Differenz x(t) x
53 Wie entwickelt sich die Differenz x(t) x wenn x = x(t) in der Nähe des Gleichgewichts x ist?
54 Wie entwickelt sich die Differenz x(t) x wenn x = x(t) in der Nähe des Gleichgewichts x ist? Der Schlüssel zur Antwort liegt in der Linearisierung von f um das Gleichgewicht x.
55 Wie entwickelt sich die Differenz x(t) x wenn x = x(t) in der Nähe des Gleichgewichts x ist? Der Schlüssel zur Antwort liegt in der Linearisierung von f um das Gleichgewicht x. (x x ) = x (x ) = x = f(x) = f(x + (x x ))
56 Wie entwickelt sich die Differenz x(t) x wenn x = x(t) in der Nähe des Gleichgewichts x ist? Der Schlüssel zur Antwort liegt in der Linearisierung von f um das Gleichgewicht x. (x x ) = x (x ) = x = f(x) = f(x + (x x ))
57 Wie entwickelt sich die Differenz x(t) x wenn x = x(t) in der Nähe des Gleichgewichts x ist? Der Schlüssel zur Antwort liegt in der Linearisierung von f um das Gleichgewicht x. (x x ) = x (x ) = x = f(x)= f(x + (x x ))
58 Wie entwickelt sich die Differenz x(t) x wenn x = x(t) in der Nähe des Gleichgewichts x ist? Der Schlüssel zur Antwort liegt in der Linearisierung von f um das Gleichgewicht x. (x x ) = x (x ) = x = f(x) = f(x + (x x ))
59 Wie entwickelt sich die Differenz x(t) x wenn x = x(t) in der Nähe des Gleichgewichts x ist? Der Schlüssel zur Antwort liegt in der Linearisierung von f um das Gleichgewicht x. (x x ) = x (x ) = x = f(x) = f(x + (x x )) = f(x ) + f (x )(x x ) + o(x x )
60 Wie entwickelt sich die Differenz x(t) x wenn x = x(t) in der Nähe des Gleichgewichts x ist? Der Schlüssel zur Antwort liegt in der Linearisierung von f um das Gleichgewicht x. (x x ) = x (x ) = x = f(x) = f(x + (x x )) = f(x ) + f (x )(x x ) + o(x x ) Nun ist ja f(x ) = 0, also
61 Wie entwickelt sich die Differenz x(t) x wenn x = x(t) in der Nähe des Gleichgewichts x ist? Der Schlüssel zur Antwort liegt in der Linearisierung von f um das Gleichgewicht x. (x x ) = x (x ) = x = f(x) = f(x + (x x )) = f(x ) + f (x )(x x ) + o(x x ) Nun ist ja f(x ) = 0, also (x x ) f (x )(x x ).
62 (x x ) f (x )(x x ).
63 (x x ) f (x )(x x ). Die Ableitung (x(t) x ) entsteht also (für x(t) nahe bei x )
64 (x x ) f (x )(x x ). Die Ableitung (x(t) x ) entsteht also (für x(t) nahe bei x ) approximativ durch lineare Transformation von x(t) x,
65 (x x ) f (x )(x x ). Die Ableitung (x(t) x ) entsteht also (für x(t) nahe bei x ) approximativ durch lineare Transformation von x(t) x, mit Eigenwert
66 (x x ) f (x )(x x ). Die Ableitung (x(t) x ) entsteht also (für x(t) nahe bei x ) approximativ durch lineare Transformation von x(t) x, mit Eigenwert µ := f (x ).
67 (x x ) f (x )(x x ). Die Ableitung (x(t) x ) entsteht also (für x(t) nahe bei x ) approximativ durch lineare Transformation von x(t) x, mit Eigenwert µ := f (x ). Also ist x(t) x c e µt,
68 (x x ) f (x )(x x ). Die Ableitung (x(t) x ) entsteht also (für x(t) nahe bei x ) approximativ durch lineare Transformation von x(t) x, mit Eigenwert µ := f (x ). Also ist x(t) x c e µt, so lange x(t) nah bei x bleibt.
69 Klassifikation der Gleichgewichte:
70 Klassifikation der Gleichgewichte: x = f(x), f(x ) = 0, µ := f (x )
71 Klassifikation der Gleichgewichte: x = f(x), f(x ) = 0, µ := f (x ) x(t) x c e µt,
72 Klassifikation der Gleichgewichte: x = f(x), f(x ) = 0, µ := f (x ) x(t) x c e µt, Für µ < 0 ist das Gleichgewicht x anziehend.
73 Klassifikation der Gleichgewichte: x = f(x), f(x ) = 0, µ := f (x ) x(t) x c e µt, Für µ < 0 ist das Gleichgewicht x anziehend. Trajektorien, die in Nähe von x kommen, werden angezogen:
74 Klassifikation der Gleichgewichte: x = f(x), f(x ) = 0, µ := f (x ) x(t) x c e µt, Für µ < 0 ist das Gleichgewicht x anziehend. Trajektorien, die in Nähe von x kommen, werden angezogen: der Abstand x(t) x schwindet exponentiell.
75 Klassifikation der Gleichgewichte: x = f(x), f(x ) = 0, µ := f (x ) x(t) x c e µt, Für µ < 0 ist das Gleichgewicht x anziehend. Trajektorien, die in Nähe von x kommen, werden angezogen: der Abstand x(t) x schwindet exponentiell. Für µ > 0 ist x abstoßend.
76 Klassifikation der Gleichgewichte: x = f(x), f(x ) = 0, µ := f (x ) x(t) x c e µt, Für µ < 0 ist das Gleichgewicht x anziehend. Trajektorien, die in Nähe von x kommen, werden angezogen: der Abstand x(t) x schwindet exponentiell. Für µ > 0 ist x abstoßend. Wenn x in der Nähe von x ist, wächst der Abstand x(t) x exponentiell.
77 Klassifikation der Gleichgewichte:
78 Klassifikation der Gleichgewichte: x = f(x), f(x ) = 0, µ := f (x )
79 Klassifikation der Gleichgewichte: x = f(x), f(x ) = 0, µ := f (x ) x(t) x c e µt,
80 Klassifikation der Gleichgewichte: x = f(x), f(x ) = 0, µ := f (x ) x(t) x c e µt, Für µ < 0 ist das Gleichgewicht x anziehend.
81 Klassifikation der Gleichgewichte: x = f(x), f(x ) = 0, µ := f (x ) x(t) x c e µt, Für µ < 0 ist das Gleichgewicht x anziehend. Trajektorien, die in Nähe von x kommen, werden angezogen:
82 Klassifikation der Gleichgewichte: x = f(x), f(x ) = 0, µ := f (x ) x(t) x c e µt, Für µ < 0 ist das Gleichgewicht x anziehend. Trajektorien, die in Nähe von x kommen, werden angezogen: der Abstand x(t) x schwindet exponentiell.
83 Klassifikation der Gleichgewichte: x = f(x), f(x ) = 0, µ := f (x ) x(t) x c e µt, Für µ < 0 ist das Gleichgewicht x anziehend. Trajektorien, die in Nähe von x kommen, werden angezogen: der Abstand x(t) x schwindet exponentiell. Für µ > 0 ist x abstoßend.
84 Klassifikation der Gleichgewichte: x = f(x), f(x ) = 0, µ := f (x ) x(t) x c e µt, Für µ < 0 ist das Gleichgewicht x anziehend. Trajektorien, die in Nähe von x kommen, werden angezogen: der Abstand x(t) x schwindet exponentiell. Für µ > 0 ist x abstoßend. Wenn x in der Nähe von x ist, wächst der Abstand x(t) x exponentiell.
85 Beispiel: Die Gleichgewichte des logistischen Modells: f(x) = rx(1 K x ), f (x) = r(1 2x K ) 0 x K
86 Beispiel: Die Gleichgewichte des logistischen Modells: f(x) = rx(1 K x ), f (x) = r(1 2x K ) 0 x K f (0) = r, f (K) = r
87 (i). Das Gleichgewicht x 0 = 0 : f (x 0) = r > 0.
88 (i). Das Gleichgewicht x 0 = 0 : f (x 0 ) = r > 0. Das Gleichgewicht x 0 = 0 ist abstoßend: eine kleine Anfangspopulation wächst exponentiell mit exponentieller Rate µ = r. (ii). Das Gleichgewicht x 1 = K : f (x 1 ) = r < 0.
89 (i). Das Gleichgewicht x 0 = 0 : f (x 0 ) = r > 0. Das Gleichgewicht x 0 = 0 ist abstoßend: eine kleine Anfangspopulation wächst exponentiell mit exponentieller Rate µ = r. (ii). Das Gleichgewicht x 1 = K : f (x 1 ) = r < 0. Das Gleichgewicht x 1 = K ist anziehend: der Abstand von x 1 schwindet exponentiell mit Rate µ = r.
90 Und wie sieht es mit Gleichgewichten von dynamischen Systemen in höheren Dimensionen aus?
91 Und wie sieht es mit Gleichgewichten von dynamischen Systemen in höheren Dimensionen aus? Auch hier hilft die Linearisierung, und geben die Eigenwerte Auskunkt!
92 Und wie sieht es mit Gleichgewichten von dynamischen Systemen in höheren Dimensionen aus? Auch hier hilft die Linearisierung, und geben die Eigenwerte Auskunkt! Als Beispiel werden wir diskutieren
93 Und wie sieht es mit Gleichgewichten von dynamischen Systemen in höheren Dimensionen aus? Auch hier hilft die Linearisierung, und geben die Eigenwerte Auskunkt! Als Beispiel werden wir diskutieren die Entwicklung der Größen von zwei Populationen, die um Ressourcen streiten:
94 Und wie sieht es mit Gleichgewichten von dynamischen Systemen in höheren Dimensionen aus? Auch hier hilft die Linearisierung, und geben die Eigenwerte Auskunkt! Als Beispiel werden wir diskutieren die Entwicklung der Größen von zwei Populationen, die um Ressourcen streiten: Jede Population wächst für sich allein logistisch;
95 Und wie sieht es mit Gleichgewichten von dynamischen Systemen in höheren Dimensionen aus? Auch hier hilft die Linearisierung, und geben die Eigenwerte Auskunkt! Als Beispiel werden wir diskutieren die Entwicklung der Größen von zwei Populationen, die um Ressourcen streiten: Jede Population wächst für sich allein logistisch; außerdem wird ihr Wachstum gehemmt proportional zur Größe der anderen Population.
96 Und wie sieht es mit Gleichgewichten von dynamischen Systemen in höheren Dimensionen aus? Auch hier hilft die Linearisierung, und geben die Eigenwerte Auskunkt! Als Beispiel werden wir diskutieren die Entwicklung der Größen von zwei Populationen, die um Ressourcen streiten: Jede Population wächst für sich allein logistisch; außerdem wird ihr Wachstum gehemmt proportional zur Größe der anderen Population. x 1 = r 1x 1 (1 x 1 K 1 w 1 x 2 ) x 2 = r 2x 2 (1 x 2 K 2 w 2 x 1 ).
97 Alfred James Lotka ( ) Vito Volterra ( )
98 Zahlenbeispiel: x 1 = x 1(3 x 1 2x 2 ) x 2 = x 2(2 x 2 x 1 ).
99 Zahlenbeispiel: x 1 = x 1(3 x 1 2x 2 ) x 2 = x 2(2 x 2 x 1 ). Gleichgewichte: (x 1, x 2 ) T = (0,0) T,(0,2) T,(3,0) T,(1,1) T
100 Zahlenbeispiel: x 1 = x 1(3 x 1 2x 2 ) x 2 = x 2(2 x 2 x 1 ). Gleichgewichte: (x 1, x 2 ) T = (0,0) T,(0,2) T,(3,0) T,(1,1) T Gibt es hier friedliche Koexistenz?
101 Zahlenbeispiel: x 1 = x 1(3 x 1 2x 2 ) x 2 = x 2(2 x 2 x 1 ). Gleichgewichte: (x 1, x 2 ) T = (0,0) T,(0,2) T,(3,0) T,(1,1) T Gibt es hier friedliche Koexistenz? Die Antwort lernen wir am Montag.
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