7. Wettervorhersage und Vorhersagbarkeit (aus der Theorie-Vorlesung von K. Fraedrich)

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1 7. Wettervorhersage und Vorhersagbarkeit (aus der Theorie-Vorlesung von K. Fraedrich) Begriffe Vorhersagbarkeit Vorhersagbarkeit charakterisiert die sensitive Abhängigkeit (Wetter- und Klima) von Anfangs- und Randbedingungen. Vorhersage 1. Art klassische Vorhersagen Vorgabe Anfangsbedingungen + konstante Randbedingungen Fehlerwachstum Interne Instabilitäten Praxis Wetterprognose Vorhersage 2. Art Vorhersage der Randbedingungen Vorgabe Zeitlich abhängige Randbedingungen, keine Sensitivität in Bezug auf die Anfangsbedingungen Fehlerwachstum Strukturelle Instabilität (tipping points) bei sich langsam ändernden Randbedingungen (insbesondere bei Kopplung mit dem System, was die Randbedingungen determiniert). Praxis Klimaprojektion Einführung in die globale Wettermodellierung 58

2 Tabelle: Vorhersagbarkeit im Klima-System (nach HASSELMANN 1979) System Zeit => Tage Atmosphäre Vorhersage 1. Art => Vorhersage 2. Art Atmosphäre,Ozean Vorhersage 1. Art => Vorhersage 2. Art Atmosphäre, Ozean, Eis Vorhersage 1. Art => Vorhersage 2. Art Vorhersage Experimente Liefern Daten zur Diagnose des Fehlers Anfangswerte 'wahrer' Anfangswert X = X(t ) bekannt Anfangsfehler X = X (t ) kleine Störung wird zur Zeit t vorgegeben Anfangswert + Fehler X + X gestörter Anfangswert Entwicklungsdynamik 'wahres Wetter' (Verifikation) X(X,t) eine Trajektorie des Systems im Phasenraum Prognose X(X + X,t) eine weitere Trajektorie des Systems Prognose-Fehler (Maß) L= X = X(X,t) - X(X + X,t) (Differenz der Trajektorien) Skizze Einführung in die globale Wettermodellierung 59

3 Fehler- Statistik Prognose-Fehler (Abstände zwischen Prognose- und Verifikationstrajektorie) sind abhängig von Anfangswerten und ändern sich mit wachsendem Vorhersage-Intervall t. Wachstum von Störungen wird verursacht durch dynamische Instabilitäten (perfektes Modell) und systematisch-falscher Modelldynamik. Begrenzte Vorhersagbarkeit des Wetters beruht auf: - interne Instabilitäten des Systems - systematischem Modellfehler (nur bei realer Wetterprognose). Interne Vorhersagbarkeit theoretische Vorhersagbarkeits-Experimente Prognose Modelltrajektorie (mit künstlichen Anfangsstörungen initialisiert) Verifikation Referenztrajektorie im Modell (ungestört) Fehler-Maß euklidischer Abstand Externe Vorhersagbarkeit praktische Vorhersagbarkeit Prognose Modelltrajektorie Verifikation Wetterdaten-Trajektorie (im Phasenraum) Systematischer Fehler (Bias) erscheint nach längerer Prognose-Zeit Verifikationstrajektorie F V (t, t ) = X V (X,t = t + t ) Prognosetrajektorie F (t, t ) =X(X +X, t + t ) Prognose Zeit t Klimamittel (d.h. Zeitmittel) <X V (t)> Einführung in die globale Wettermodellierung 6

4 Fehlerwachstum Die Grenze der Vorhersagbarkeit ist abhängig vom Anfangsfehler X : X : Obere Grenze der Vorhersagbarkeit, liegt sie bei unendlich? Vorhersagefehler Prognose - Verifikation e(t,t ):= F(t,t ) - F V (t,t ) Mittlerer quadratischer Fehler ( F( t, t ) F ( t, t )) ( F( t, t ) ( t, )) 2 E( t ) e ( t, t ) e( t, t ) = L = FV V t Varianz, Quadrat des euklidischen Abstands Brier-Skill Score [Bewertung anhand einer Referenzvorhersage (z.b. Klimamittel), eigentlich für probabilistische Vorhersagen] BSS( t' ) 1 E E( t' ) ref ( t') E ref ist der Fehler der Referenzvorhersage. BSS=1 Perfekte Vorhersage BSS= Vorhersage ist so gut wie Referenz (kein Skill vorhanden) BSS< Vorhersage ist schlechter als die Referenz Einführung in die globale Wettermodellierung 61

5 Abb. Entwicklung des Prognose- Fehlers: Praktische Wettervorhersage schematisch (DALCHER/KALNAY 1987) Die Fehler zeigen drei Bereiche: i. Anfangsfehler und sein Wachstum Daten-Assimilation und Modell-Dynamik ii. Vorhersagbarkeit und ihre Grenzen Vergleich mit Fehler einer Referenz-Prognose (Klima) iii. Sättigung (große Prognose-Zeiten) Prognose & Verifikation statistisch unabhängig iv. Gesamtfehler systematischer (Bias) und nicht-systematischer Fehler (Zufall) Einführung in die globale Wettermodellierung 62

6 Beispiel für systematische Fehler Wetterprognosen ( ) mit dem Planet Simulator unter Einbeziehung verschiedener Parametrisierungen von physikalischen Prozessen. MSL-Druck Stromfunktion Abbildung: Vorhersagefehler als Funktion der Vorhersagezeit für MSL-Drucks (links) und Stromfunktion in der mittleren Troposphäre (rechts). Es ist eine deutliche Verbesserung der Vorhersage bei Einbeziehung der Grenzschicht- und Wolkenparametrisierung zu verzeichnen. Das operationelle GFS Wettervorhersagemodell besitzt den geringsten systematischen Fehler. Einführung in die globale Wettermodellierung 63

7 Wie wächst der nicht-systematische Fehler? Durch Instabilität. Man kann die Grenze der Vorhersagbarkeit im Fall einer internen Instabilität abschätzen. Die Anfangsstörung wächst aufgrund dieser Instabilität exponentiell an, d.h. E( t λt ) = Ee bei einer kleinen Störung. Der mittlere Fehler der Klimamittelprognose ergibt sich aus der Varianz der Zeitreihe, wenn das Klimamittel als Konstante angenommen wird. E C = X( t) - X(t) 2 Daher ist im perfekten Modell die Grenze der Vorhersagbarkeit bei t = ln( EC / E) / λ erreicht. In der Tat erkennt man, dass diese Grenze für E gegen unendlich strebt. Allerdings nimmt die Vorhersagbarkeit aufgrund der Logarithmus-Funktion nur sehr langsam mit abnehmendem Anfangsfehler E zu. Einführung in die globale Wettermodellierung 64