Fraktale und Beispiele aus der Physik

Transkript

1 Fraktale und Beispiele aus der Physik Anschauung Warum beschäftigen Fraktale (auch) Naturwissenschaftler? kurze Wiederholung Konkretes Beispiel: Magnetpendel Das Experiment Mathematische Beschreibung Trajektorien und das Pseudo-Fraktal Jetzt wird s komplex Fraktale in der komplexen Ebene: Mandelbrotmenge und Juliamengen Knut Müller 12/2004

2 Schon lange bekannt: Mathematische Beschreibung der Natur durch usw... ganzzahlige Dimensionen: Euklidische Geometrie VIEL ERFOLG:

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4 Fraktale Geometrie Für die mathematische Naturbeschreibung scheint weniger die resultierende Form entscheidend zu sein als ein simples, oft iteriertes Aufbauprinzip

5 Fraktale Geometrie Für die mathematische Naturbeschreibung scheint weniger die resultierende Form entscheidend zu sein als ein simples, oft iteriertes Aufbauprinzip Fraktale... (1) haben nicht-ganzzahlige Dimension (a) Fraktale Dim. (b) Box - Dim. (c)..... (2) sind oft [statistisch] selbstähnlich (3) treten häufig in chaotischen Systemen auf (Nichtlinearität, Komplexität)

6 Das Magnetpendel Experimenteller Aufbau z L Annahmen: (1) L >> r(t), langes Pendel, d.h. m bewegt sich planar (z = 0). r(t) m z = 0 (2) Jeder Magnet erzeugt zum Abstand reziprokes Potential. y x O (x,y,-d) 3 3 z = -d (3) m ruht irgendwann aufgrund Stokes scher Reibung. (x 1,y 1,-d) (x 2,y 2,-d)

7 Das Magnetpendel Aufstellen der DGL

8 Einschub im Nachhinein: Die Trajektorien auf der übernächsten Folie wurden hiermit gemacht Numerische Lösung der Differentialgleichungen mit MAPLE 7 # # Trajektorien für das Magnetpendel mit 3 Magneten # Knut Müller 15/12/2004 # # Vorgeplenkel > restart: > with(plots): > with(plottools): > with(detools): # # Parameter # > l:=2: Abstand der Magneten voneinander > x1:=0: x1,x2,x3,y1,y2,y3: Positionen der Magneten > x2:=l/2: auf den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks > x3:=-l/2: > y1:=l*sqrt(1/3): > y2:=-l*sqrt(1/12): > y3:=-l*sqrt(1/12): > reib:=0.01: Reibungskoeffizient > gravi:=0.8: Stärke der Rückstell-(Gravitations-)kraft > feld:=5: Magnet-/Coulombfeldstärke > dist:=0.25: vertikaler Abstand der Magneten von z = 0 > > startx:=0.2: startx,starty: Koordinaten, wo das Pendel startet > starty:=-1.1: > dauer:=100: solange lässt MAPLE es pendeln # # Differentialgleichungen # > xkomp:=diff(diff(x(t),t),t) + reib*diff(x(t),t) + gravi*x(t) + > feld*((x(t)-x1)^2+(y(t)-y1)^2+dist^2)^(-3/2)*(x(t)-x1) + > feld*((x(t)-x2)^2+(y(t)-y2)^2+dist^2)^(-3/2)*(x(t)-x2) + > feld*((x(t)-x3)^2+(y(t)-y3)^2+dist^2)^(-3/2)*(x(t)-x3)=0: > ykomp:=diff(diff(y(t),t),t) + reib*diff(y(t),t) + gravi*y(t) + > feld*((x(t)-x1)^2+(y(t)-y1)^2+dist^2)^(-3/2)*(y(t)-y1) + > feld*((x(t)-x2)^2+(y(t)-y2)^2+dist^2)^(-3/2)*(y(t)-y2) + > feld*((x(t)-x3)^2+(y(t)-y3)^2+dist^2)^(-3/2)*(y(t)-y3)=0: > > Digits:=8: mit sovielen Nachkommastellen rechnet MAPLE > > t:='t': > sys:=[xkomp,ykomp,x(0)=startx,y(0)=starty,d(x)(0)=0,d(y)(0)=0]: > > lsg:=dsolve(sys,{x(t),y(t)},numeric): > > Trajektorie:=odeplot(lsg,[x(t),y(t)],0..dauer,view=[-2..2,-2..2],axes= > boxed): > > magnet1:=circle([x1,y1],1.5/10,color=red,thickness=3): > magnet2:=circle([x2,y2],1.5/10,color=blue,thickness=3): > magnet3:=circle([x3,y3],1.5/10,color=yellow,thickness=3): > display({magnet1,magnet2,magnet3,trajektorie},numpoints=500,axes=boxed >,scaling=constrained);

9 Das Magnetpendel Trajektorien und Vorhersagbarkeit chaotischer Verlauf der Trajektorie des Pendels: Winzige Änderungen der Anfangsbedingungen zeigen große Abweichungen in der Bahnkurve. (hervorgerufen durch die Nichtlinearität ) [Illustration des chaotischen Verlaufs der Trajektorien mit einem Maple-Programm an dieser Stelle]

10 Das Magnetpendel Trajektorien und Vorhersagbarkeit

11 Das Magnetpendel Trajektorien und Vorhersagbarkeit chaotischer Verlauf der Trajektorie des Pendels: Winzige Änderungen der Anfangsbedingungen zeigen große Abweichungen in der Bahnkurve. (hervorgerufen durch Nichtlinearität) Zwei stabile Bereiche sind stets so getrennt, daß der des dritten Attraktors dazwischenliegt.

12 Das Magnetpendel Vorhersagbarkeit

13 Das Magnetpendel Vorhersagbarkeit chaotischer Verlauf der Trajektorie des Pendels: Winzige Änderungen der Anfangsbedingungen zeigen große Abweichungen in der Bahnkurve. (hervorgerufen durch Nichtlinearität r 3 ) Zwei stabile Bereiche sind stets so getrennt, daß der des dritten Attraktors dazwischenliegt. Die Größe des instabilen Bereichs A(s) hängt ab von (negativ) (positiv) Reibungskoeffizient /m Konstante der Rückstellkraft g/l

14 Das Magnetpendel Vorhersagbarkeit Reibungsabhängigkeit 0,2 0,3 Abhängigkeit von der Rückstellkraft 0,3 0,2 0,4 0,5 0,1 0,0

15 Das Magnetpendel Fraktale Grenzen chaotischer Verlauf der Trajektorie des Pendels: Winzige Änderungen der Anfangsbedingungen zeigen große Abweichungen in der Bahnkurve. (hervorgerufen durch Nichtlinearität) Zwei stabile Bereiche sind stets so getrennt, daß der des dritten Attraktors dazwischenliegt. Die Größe des instabilen Bereichs A(s) hängt ab von (negativ) Reibungskoeffizient /m (positiv) Konstante der Rückstellkraft g/l Die Grenzen spalten sich mit zunehmender Vergrößerung immer weiter auf. Allerdings ist irgendwann ein Ende erreicht, wie wir es von Fraktalen in der Natur kennen.

16 Das Magnetpendel Fraktale Grenzen (zur Konstruktion der Cantormenge)

17 Feigenbaumdiagramm Anschaulicher Spezialfall: Entwicklung von Populationen z Feigenbaum Diagramm z n+1 = z n ² + c Realteil Wachstumsparameter als Variable c

18 Fraktale in der komplexen Ebene Mandelbrotmenge Jetzt ein weiterer Spezialfall: Erweiterung auf komplexe Ebene Mandelbrot Menge Im z n+1 = z n ² + c z, c C 0 Re (Start: z 0 = 0 Þ z 1 = c)

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20 Fraktale in der komplexen Ebene Juliamengen Ausgangspunkt erneut: Logistische Abbildung im Komplexen z n+1 = z n ² + c (z, c C) Aber: Setze nun c fest und erstelle eine Karte von z Startwerten, deren Folge beschränkt ist. Für jedes c erhält man nun eine eigene Menge, genannt Juliamenge J c entweder zusammenhängend oder total unzusammenhängend ( Punktwolken )

21 Fraktale in der komplexen Ebene Juliamengen M Juliamengen c = 0,4 + 0,3i M total unzusammenhängend c = 0, ,58679i M zusammenhängend

22 Fraktale in der komplexen Ebene Juliamengen «Mandelbrotmenge Noch einmal: Bei der Mandelbrotmenge startet man mit z 1 = c und erstellt eine Karte aller c, für die die Folge z n+1 = z n ² + c endlich bleibt. In jeder Juliamenge für sich ist c = const. und es wird eine Karte aller z 0 Startwerte erstellt, für die die Folge endlich bleibt. c variiert lediglich von Juliamenge zu Juliamenge. Þ Insbesondere gibt es zu jedem Punkt in der Mandelbrotmenge auch eine Juliamenge mit folgender Eigenschaft: Þ Nur die aus c M entstehenden Juliamengen sind zusammenhängend, alle anderen sind total unzusammenhängend. Also: