Angewandte Mathematik am Rechner 1 SOMMERSEMESTER Kapitel 4. Algebra. Michael Wand Institut für Informatik.

Transkript

1 Michael Wand Institut für Informatik. Angewandte Mathematik am echner 1 SOMMESEMESTE 2017 Kapitel 4 Algebra

2 Wiederholung Kapitel 3

3 Funktionen Informatik Algorithmus / Berechnung Mathematik Wohldefinierte Zuordnung

4 Arithmetische Ausdrücke 4 y Operator 3 x 5 3 x + 4 y 5 Operator Operator / Operator + 3 x + 4 y 5

5 Abzählbarkeit Cantor s erstes Diagonalargument

6 Zweites Diagonal-Argument Diagonalzahl a ii a ii a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 a ist auch eine reelle Zahl. Sie ist nicht aufgelistet. Widerspruch. 0. a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 a reelle Zahl 0. a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a reelle Zahl 0. a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 a reelle Zahl 0. a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a reelle Zahl 0. a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 a reelle Zahl......

7 Es gibt zu viele Probleme... Algorithmus / Programm Binärkodierbar: Bitstring x 0,1 Es gibt abzählbar unendlich viele Algorithmen Probleme Funktionen f: 0,1 {0,1} Überabzählbar (Potenzmenge aller Binärstrings) Vergleich Menge der Probleme mächtiger als Menge der Algorithmen (oder schlimmer)

8 Halteproblem Unentscheidbar: Halteproblem Gegeben ein Algorithmus (z.b. Python Programm) und seine Eingabe (Eingabedaten) Frage Hält der Algorithmus jemals an? Also: Stürzt das Programm mit dieser Eingabe nicht ab?

9 Widerspruch Widerspruch Annahme: Haltetest(Algorithmus, Eingabe) Problemalg. mit Eingabe (Problemalg., Problemalg.)

10 Diagonalisierung haelt(i, j) Programme i... Eingaben j... haelt(i, j) ist nicht berechenbar Angenommen doch: Wir können Problemalgorithmus konstruieren, bei dem ein Widerspruch auftritt

11 Mathematische Unvollständigkeit 1. Gödel scher Unvollständigkeitssatz: In jedem mathematischen Axiomensystem das mindestens die natürlichen Zahlen umfaßt gibt es Aussagen, die nicht beweisbar sind Beweis per Diagonalisierung (sehr ähnlich) Fundamentale Limitierung Fundamentale Limitierung Diskrete Schlußketten Diskrete Schritte in Algorithmen Es bleiben zu viele Probleme

12 Ergänzungen Kapitel 3

13 Simulation Simulation universelle TM Simulation Simulation Simulation Simulation

14 im c Emergente Komplexität Mandelbrot- Menge Iteration z z 2 + c z, c C re c Farbe = Zahl Iterationen bis Ergebnis > 2 [Quelle: Wikipedia Contrib. Simpsons contributor ]

15 Emergente Komplexität Penrose Tilings Bilder: Wikipedia [WP contrib. Inductiveload] Prinzip [WP contrib. Geometry Guy] Kacheln aneinanderfügen Gesamte 2D Ebene gefüllt Global aperiodisch (keine Wiederholungen) Turing mächtig Programmieren durch Design von (anderen) Kacheln

16 Emergente Komplexität Conway s Game of Life Lebende Zellen mit <2 Nachbarn sterben Lebenden Zellen mit 2 oder 3 Nachbarn leben weiter Lebende Zellen mit >3 Nachbarn sterben Tote Zellen mit genau 3 Nachbarn werden zum Leben erweckt. Das Spiel ist Turing mächtig Video: [Wikipedia user Kieff, CC-SA3]

17 Funktionen in Programmiersprachen

18 Mathematische Algorithmen Eingaben Eingaben Elementare Funktion ekursion Bausteine Elementare Funktionen ekursion Elementare Funktion Fallunterscheidung f x = Beispiel 1, x f x 1, falls x = 0 sonst Elementare Funktion Ergebnis Informatik Funktionale Programmierung

19 Mathematische Funktionen Mathematische Funktionen Zuordnung von Ausgaben zu Eingaben Ergebnis für gleiche Eingaben immer gleich Berechnung ohne Seiteneffekte Nicht möglich print("hello World") Allgemein: Ein-/Ausgabe Persistenz (Dateien, Datenbanken) Benutzerinteraktion

20 Programmcode Funktionen Befehle Modifikation von Speicherstellen Seiteneffekte Strukturierte Programmierung Funktionen, Prozeduren Seiteneffekte verboten (bzw. streng kontrolliert) Nur über definierte Schnittstellen Streng funktional = mathematisches Modell ekursive Funktionen

21 Funktionen höherer Ordnung Funktionen als Parameter Dynamisch: Programmcode erzeugen Maschinensprache Interpretierte Sprachen LISP Smalltalk, Python Statisch: Zeiger auf existierenden Code Funktionszeiger (C/C++, Pascal, Modula) Objektorientierte Abstraktion Verwendung von Funktionszeigern eingeschränkt Funktionsobjekte (Kapseln genau eine Funktion, Parameter als Membervariablen)

22 Kapitel 4: Algebra

23 Mathematische Sprache Algebra Ausdrücke als Bäume Allgemeine Typen (Boolsche Typen, Funktionen, etc.) Quantoren Abstraktion Mathematische Strukturen Informatik: Polymorphie / generischer Code

24 Mathematische Sprache Algebra Ausdrücke als Bäume Allgemeine Typen (Boolsche Typen, Funktionen, etc.) Quantoren

25 Arithmetische Ausdrücke 4 y Operator 3 x 5 3 x + 4 y 5 Operator Operator / Operator + 3 x + 4 y 5

26 Operatorenbaum, typisiert Operator + Operator Operator / 0 Konstante 3 Variable x Operator Konstante 5 Konstante 4 Variable y

27 Operatorenbaum als Modul Ausgabe Operator + Operator Operator / 0 Konstante 3 Variable x Operator Konstante 5 Konstante 4 Variable y Variable x Variable y

28 Mathematische Sprache Algebra Ausdrücke als Bäume Allgemeine Typen (Wahrheitswerte, Funktionen, etc.) Quantoren

29 Allgemeine Typen Mathematische Typen (Mengen) Wahrheitswerte Funktionen ( higher-order functions) Mengen Generische / abstrakte Typen (mehr dazu später)

30 Beispiele Beispiele Prädikat: a N ist eine gerade Zahl Aussage: Wenn a N gerade ist, ist (a + 1) ungerade Prädikat: a N ist eine Primzahl

31 Beispiele Beispiele Prädikat: a N ist eine gerade Zahl a mod 2 = 0 Aussage: Wenn a N gerade ist, ist (a + 1) ungerade a mod 2 = 0 a + 1 mod 2 = 0 Prädikat: a N ist eine Primzahl prim a = b = 2 a 1 : a mod b = 0

32 Mathematische Sprache Algebra Ausdrücke als Bäume Allgemeine Typen (Wahrheitswerte, Funktionen, etc.) Quantoren

33 Schleifen über Mengen Boolsche Quantoren für alle es gibt ein Arithmetik Summe Produkt Mengen Vereinigung Summe Menge Menge M Operator Menge bool boolesche Funktion M bool Prädikat Parameter m M: pred(m) und Verknüpfung noch mehr

34 Schleifen über Mengen Typ 1 Schleife Menge Typ 2 Menge Menge M Typ 2 Funktion M Typ 3 Quantoren / Summenzeichen / etc. Verknüpfung vieler Funktionsauswertungen Iteration über Mengen Unendliche Mengen erlaubt Nicht immer berechenbar

35 Beispiele Beispiele Aussage: Es gibt unendlich viele Primzahlen prim a = b = 2 a 1 : a mod b = 0 prim 2 a N: prim a b N: b > a prim b

36 Umsetzung in Python/JAVA Objektorientierte Umsetzung Funktionsobjekte: Baumknoten Echte Funktionen (komposit) Konstanten (Blattknoten) Variablen (olle als Eingaben des ganzen Baumes) Typcheck Kompositobjekte Quantoren (Iteration) Binden Variablen im Unterbaum (Mechanismus) Funktionskonstruktion Binden von Variablen ekursion (Zyklen im Baum) vorauss. nicht in der Aufgabe

37 Operatorenbaum Ausgabe Operator + Operator Operator / 0 Konstante 3 Variable x Operator Konstante 5 Konstante 4 Variable y Variable x Variable y

38 Abstrakte Algebra

39 Mathematische Polymorphie Generische Definitionen, Sätze, Beweise Strukturelle Ähnlichkeiten (z.b. N Z, Z mod p) Theorie nicht immer wieder neu aufbauen Typparameter für Definitionen, Sätze Beweise Generische Algorithmen Gleiche Algorithmen für ähnliche Typen Bespiel: Euklidischer Algorithmus ggt von zwei natürlichen Zahlen Genauso auf Polynome anwendbar Keine doppelte Arbeit

40 Informatik Polymorphie Wir kennen das Problem (zur Genüge!) Ähnliche Algorithmen für verschiedene Datenstrukturen Lösung Typparameter Explizit: Generics, Templates, etc. Parametrische Polymorphie Implizit: Vererbung / virtuelle Methoden Subtyping

41 Mathematische Polymorphie Mathematischer Typ algebraische Struktur Menge + Operationen (z.b.: Z, + ) Abstrakter Datentyp Mengen (Menge von Daten ) selbst egal Betrachte Operationen ( Zugriffsfunktionen ) Benennung essentieller Voraussetzungen Eigenschaften der Operationen Definieren Menge von Typen implizit

42 Mathematik vs. Informatik Definition mathematischer Strukturen Liste von Eigenschaften Text bzw. formal: Boolsche Ausdrücke (Aussagen) Wenn erfüllt, dann besteht die Struktur Informatik Mehr Varianten (templates, generics, traits, type classes, subtyping, mix-ins, multiple-inheritance ) Technische Erfordernisse Effizienz, Code-Generierung/Bindung, Compilerchecks, etc.