Nichtlineare Zeitreihenanalyse

Transkript

1 Studentenseminar "Statistische Methoden in der Physik" 27

2 Gliederung 1 2 Kritik an Methoder der 3

3 Gliederung 1 2 Kritik an Methoder der 3

4 Charakterisierung (Deterministisches) dynamisches System gegeben durch Zustandsgrößen x R n, bilden Beispiel x = (x 1,..., x n ) x = ( x, x ) x = (T,V, p) Vorschrift für Zeitentwicklung der Vektoren im Zeitkontinuierlich dx dt = f(p, t, x), t R Zeitdiskret x t+1 = F(p, t, x t ), t Z Anfangsbedingungen, x(t ) bzw. x Trajektorie Nichtlineare Dynamik: f bzw. F nichtlinear

5 volumen Betrachte gebundene Lösungen Konservative Systeme: volumen erhalten Dissipative Systeme: volumen schrumpft div f < bzw. det J F < 1 (im Mittel) Physikalisch: Energie ist erhalten oder wird dem System entzogen. kann auch in eine Richtung gestreckt, in andere gestaucht werden.

6 Atraktoren Assymptotisches Verhalten der Trajektorien Definition (Atraktor A) A kompakt A invariant unter Dynamik offene Umgebung U A, die sich auf A zusammenzieht Einzugsbereich (Atraktorbecken) Maximale Menge, die sich auf A kontrahiert.

7 Beispiele für Atraktoren Fixpunkt (ged. harm. Oszillator) Grenzzyklus (van der Pol Oszillator) Fraktaler Atraktor (Lorenz-Atraktor)

8 Gliederung 1 2 Kritik an Methoder der 3

9 Stretch and Fold Beispiel (Hénon-Map) Beispiel (Rössler-System)

10 Fraktale Dimension eines Atraktors chaotisches Verhalten: kleine Änderung große Abweichung topologische Dimension nicht-ganzzahlig jede Bahn im Einzugsbereich kommt jedem Punkt des Atraktors beliebig nahe Überdeckungsdimension (Boxcounting-Dimension) überdecke A mit ε-würfeln für kleine ε: benötigte Anzahl N(ε) 1 ε D B D B = lim ε ln N(ε) ln( 1 ε)

11 Lyapunov-Exponent : exponentielles Auseinanderlaufen naher Trajektorien linearisiere System lokal d(x+δx) dt = f(x + δx) f(x) + δxd f(x), mit Jakobimatrix D f(x) dδx dt = δxd f(x) δx(t) = δx()e λt, Lyapunov-Exp. λ Betrag größter Eigenwert λ max > dissipatives System: i λ i <

12 Gliederung 1 2 Kritik an Methoder der 3

13 Einbettung Problem Gegeben eindimensionale diskrete Zeitreihe {x i } N i=1. Wie ist Atraktor zu rekonstruieren? wähle Einbettungsdimension m, delay τ x i = ( x i, x i τ, x i 2τ,...,x i (m 1)τ ) Ergebnis sollte topologisch äquivalent zum Atraktor des Systems sein mathematische Behandlung in embedding theorems, Bedingungen an m und τ

14 Beispiel Einbettung Einbettung der x-koordinate eines Lorenz-Atraktors. m = 3, τ = 1, 7,

15 Korrellationsdimension Korrelationssumme C(ε) = 2 N(N 1) N i=1 N j=i+1 Θ ( ε x i x j ) Anteil aller möglichen Punktpaare, die näher als ε beieinander liegen (hängt implizit von Einbettung ab) Für ε, N sollte C(ε) ε D Korrelationsdimension D d(n,ε) = ln C(ε,N) ln ε, D = lim ε lim N d(n,ε)

16 Gliederung Kritik an Methoder der 1 2 Kritik an Methoder der 3

17 Methode Kritik an Methoder der Daten Lat: surrogatum, der Ersatz. Ersatzdaten für eine gegebene Zeitreihe stelle Nullhypothese generiere n unter Nullhypothese berechne Teststatistik auf allen n (Q Hi ) und auf echten Daten (Q D ) verschiedene Teststatistiken denkbar

18 Zurückweisen der Nullhypothese Kritik an Methoder der Test auf Gleichheit der Verteilungen z.b. Kolmogorov-Smirnov-Test nur praktikabel wenn mehrere echte existieren (oder Stückeln der Daten) Nehme Q Hi gaußverteilt an oft sinnvolle Näherung berechne Signifikanz: Abweichung Q D vom Mittelwert der Q Hi in Einheiten der Standardabweichung Häufigkeit discriminating statistic

19 Erzeugen der Kritik an Methoder der als parametrischer Bootstrap behalte typisch lineare Parameter des Prozesses: Mittelwert, Powerspektrum zerstöre Phasenkorrelationen Technisch Periodogramm I X (ω) = 1 2πN N t=1 X t exp( iωt) 2 ziehe θ j, unabhängig und gleichverteilt auf [, 2π] Rücktransformation: X t = X + 2π N m j=1 2 I X (ω j ) cos(ω j + θ j )

20 Erzeugen der Kritik an Methoder der generierte automatisch linear, Gaussch, stationär, stochastisch verschiedene Spielarten falls Zeitreihe nicht periodisch, falsche hochfrequente Anteile Windowed Fourier transform algorithm falls Zeitreihe monotone nichtlineare Transformation eines linearen gausschen Prozesses Amplitude adjusted Fourier transfom algorithm

21 Teststatistiken Kritik an Methoder der Zum Beispiel Vorhersagefehler Lyapunov-Exponenten Korrelations-Dimension Momente höherer Ordnung

22 Gliederung Kritik an Methoder der 1 2 Kritik an Methoder der 3

23 Nullhypothese zu restriktiv Kritik an Methoder der Nullhypothese Daten liegt linearer, Gausscher, stationärer, stochastischer Prozess zugrunde. Nie erfüllt! wird mit genug Daten immer zurückgewiesen Aber: sagt noch nichts über die Alternative nicht die durch Teststatistik suggerierte Alternative trifft automatisch zu

24 Power der n-tests Wann ist Aussage über bestimmte Alternative möglich? Nur wenn... Power für diese Alternative hoch Power für alle anderen Alternativen niedrig Beispiel Modelliert: AR[2], leichte Verletzungen der Stationarität Testfeature: getrimmte Korrelationsdimension

25 Außerdem... Kritik an Methoder der erzeuge 1 Prozesse unter Nullhypothese schätze daraus Verteilung der Teststatistik, kritischen Wert erzeuge für jeden 1, jeweils 95%-Quantil 1 ersatz -kritische Werte Hoffnung Test, der zurückweist, falls Teststatistik > kritischer Wert äquivalent zu auf n basierendem Test

26 Ergebnis Kritik an Methoder der Aber: 12 ntest hält zwar korrektes Level ein

27 Weiterführende Themen Spektralanalyse auf nichtlinearen Stochastische Einflüsse, Beobachtungsrauschen, Rauschen in der Dynamik Nichtlineare Rauschunterdrückung Modellbildung

28 Literatur J Theiler, S Eubank, A Longtin, B Galdrikian, and JD Farmer. Testing for nonlinearity in time-series - the method of surrogate data. Physica D, 58:77 94, Sep E Mammen and S Nandi. Change of the nature of a test when surrogate data are applied. Physical Review E, 7:16121, Jul 24. J Timmer. Power of surrogate data testing with respect to nonstationarity. Physical Review E, 58: , Oct J Timmer. What can be inferred from surrogate data testing? Physical Review Letters, 85: , Sep 2. H. Kantz and T. Schreiber. Nonlinear time series analysis. Cambridge University Press, J. Kurths. Lineare und nichtlineare Methoden der analyse. Vorlesungsskript, Okt 2