Simulation von Zufallsvariablen und Punktprozessen

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1 Simulation von Zufallsvariablen und Punktprozessen

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Pseudozufallszahlen 3 Punktprozesse

3 Zufallszahlen Definition (Duden): Eine Zufallszahl ist eine Zahl, die rein statistisch ( zufällig ) aus einer Menge von Zahlen herausgegriffen wird. Eine (unendliche) Folge von Zahlen ohne (algorithmisches) Bildungsgesetz heißt Zufallszahlenfolge. echte Zufallszahlen: physikalische Experimente (Münzwurf, Würfel werfen, kosmisches Rauschen, etc.). Pseudozufallszahlen

4 Zufallszahlen Anwendung in den unterschiedlichsten Gebieten (Physik, Biologie, Meteorologie, Informatik) Verfahren, die auf computergenerierten Daten basieren haben wesentliche Vorteile: schnell und kostengünstig beliebig oft wiederholbar (Beobachtungsobjekt beliebig oft vorhanden) numerische Lösung komplexer analytischer Probleme

5 Berechnung von π E:=Einheitskreis im ersten Quadranten A:=[0,1]x[0,1] u 1, u 2 U([0, 1]). Dann gilt: P((u 1, u 2 ) E) = P(u u 2 2 1) = Fläche von E Fläche von A = π 4 π Punkten. 4 Anzahl der Punkte in E Anzahl der Punkte in A für eine große Anzahl an simulierten

6 Berechnung von π Abbildung: Simulation für 100 Punkte, Ergebnis π 3.12

7 Pseudozufallszahlen Pseudozufallszahlen sind Zahlen, die durch einen deterministischen Algorithmus berechnet werden, aber dennoch zufällig erscheinen. Gängige Möglichkeiten, Pseudozufallszahlen zu erzeugen sind unter anderem Bitfolgen linearer/nichtlinearer Kongruenzgenerator Inversionsgenerator

8 Güteeigenschaften von Pseudozufallszahlen Eine Folge von auf [0, 1] gleichverteilten Pseudozufallszahlen sollte folgende Eigenschaften erfüllen: Für jeden Startwert x 0 gleichmäßige Streuung der Folgenglieder auf [0, 1] Für jeden Startwert x 0 lange Periode der Folge der Pseudozufallszahlen Für jeden Startwert x 0 effiziente Berechenbarkeit der Folgenglieder x i, i N

9 Der lineare Kongruenzgenerator Sei m N, a, c, x 0 {0, 1,..., m 1}. Dann nennt man x n = (ax n 1 + c)mod(m) n N einen linearen Kongruenzgenerator. Offenbar gilt x n {0, 1,..., m 1}, und somit bildet x n, n N, eine periodische Folge.

10 Der lineare Kongruenzgenerator Die Normierung u n = x n m n N erzeugt die Folge u n, deren Elemente alle in [0, 1) liegen.

11 χ 2 -goodness of fit test für gleichverteilte Zufallsvariablen Dieser Test dient zur Feststellung, ob {u i } i {1,...,n} auf [0,1] gleichverteilt sind. Zerlege [0, 1) in r gleichlange Teilintervalle [0, 1 r ), [1 r, 2 r ),...,[r 1 r, 1) Definiere p := (p 1,..., p r ), mit p j = #{i : u i [ j 1 r, j r )}, j {1,..., r} n T n (u 1,..., u n ) = r j=1 (Z j (u 1,..., u n ) n r )2 n r wobei Z j (u 1,..., u n ) = #(i : 1 j n, j 1 < ru i j)

12 Wir lehnen die Hypothese H 0 : p = p o = ( 1 r, 1 r,..., 1 r ) also ab, falls T n > χ 2 r 1,1 α

13 Inversionsmethode Sei U U([0, 1]). Für jede umkehrbare Verteilungsfunktion F besitzt die Zufallsvariable die Verteilungsfunktion F, wobei X = F 1 (U) F 1 (u) := inf {x : F(x) u}

14 Beispiel Sei X Exp(λ), λ > 0, F die Verteilungsfunktion von X mit { 1 e λx, x 0 F(x) = 0, x < 0 und u eine Realisierung von U U([0,1]).

15 Beispiel Um eine Realisierung x von X zu erhalten, setzen wir u in obiges Lemma ein: x = F 1 (u) u = F(x) u = 1 e λx x = 1 log(1 u) λ x = 1 λ log(u)

16 Motivation c*g(x) 0.6 B C A f(x)

17 Die Verwerfungsmethode (acceptance-rejection-method) y: gesuchte Zufallszahl die der Verteilungsfunktion F genügt (f Dichte von F) g: berechenbare Dichte mit f (x) g(x) c, c R

18 Die Verwerfungsmethode (acceptance-rejection-method) y: gesuchte Zufallszahl die der Verteilungsfunktion F genügt (f Dichte von F) g: berechenbare Dichte mit f (x) g(x) c, c R Schritt 1: Generiere eine Zufallszahl x gemäß Dichte g

19 Die Verwerfungsmethode (acceptance-rejection-method) y: gesuchte Zufallszahl die der Verteilungsfunktion F genügt (f Dichte von F) g: berechenbare Dichte mit f (x) g(x) c, c R Schritt 1: Generiere eine Zufallszahl x gemäß Dichte g Schritt 2: Generiere eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallszahl u

20 Die Verwerfungsmethode (acceptance-rejection-method) y: gesuchte Zufallszahl die der Verteilungsfunktion F genügt (f Dichte von F) g: berechenbare Dichte mit f (x) g(x) c, c R Schritt 1: Generiere eine Zufallszahl x gemäß Dichte g Schritt 2: Generiere eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallszahl u Schritt 3: Falls u f (x) cg(x), setze y=x, andernfalls gehe wieder zu Schritt 1

21 Die Verwerfungsmethode (acceptance-rejection-method) y: gesuchte Zufallszahl die der Verteilungsfunktion F genügt (f Dichte von F) g: berechenbare Dichte mit f (x) g(x) c, c R Schritt 1: Generiere eine Zufallszahl x gemäß Dichte g Schritt 2: Generiere eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallszahl u Schritt 3: Falls u f (x) cg(x), setze y=x, andernfalls gehe wieder zu Schritt 1

22 Die Verwerfungsmethode (acceptance-rejection-method) y: gesuchte Zufallszahl die der Verteilungsfunktion F genügt (f Dichte von F) g: berechenbare Dichte mit f (x) g(x) c, c R Schritt 1: Generiere eine Zufallszahl x gemäß Dichte g Schritt 2: Generiere eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallszahl u Schritt 3: Falls u f (x) cg(x), setze y=x, andernfalls gehe wieder zu Schritt 1 Die so generierte Zufallszahl y genügt der Verteilung von F.

23 Der Poissonprozess {N B, B B 0 (R n )} heißt ein Poissonprozess mit lokal endlichem Intensitätsmaß µ, wenn N B1, N B2,... unabhängige Zufallsvariablen sind für disjunkte B 1, B 2,... B 0 (R n ) N B Poi(µ(B)), B B 0 (R n )

24 Existiert ein λ (0, ), sodass µ(b) = λυ n (B), B B 0 (R n ) dann heißt {N B } homogener Poissonprozess mit Intensität λ Wenn µ absolutstetig bzgl. υ n, d.h. eine Borel-messbare Funktion λ : R n [0, ) mit µ(b) = λ(x)dx, B B 0 (R n ) B dann heißt {N B } inhomogener Poissonprozess mit Intensitätsfunktion λ(x) {S i B} bezeichnen wir als messbare Indizierung der (zufälligen) Atome von N B in B.

25 Der Poissonprozess in R Abbildung: 10 Erneuerungszeitpunkte eines homogenen Poissonprozesses mit Intensität λ=3

26 Die bedingte Gleichverteilungseigenschaft Theorem: Sei {N C } ein homogener Poissonprozess auf C := [a 1, b 1 )x[a 2, b 2 )x...x[a n, b n ) Dann ist der Zufallsvektor S i = (S i1,..., S in ) gleichverteilt in C, d.h. die unabhängigen Komponenten S ij U([a j, b j ))

27 Erzeugung eines Poissonprozesses auf einem Quader Schritt 1: Generiere eine Realisierung N C Poi(λυ n( C)) Schritt 2: Falls N C = k, generiere S 1,..., S k mit S i = (S i1,..., S in ), wobei S ij U([a j, b j )) Die Menge {S i } sind eine Realisierung des Poissonprozesses N C auf dem Quader C

28 Akzeptanz- und Verwerfungsmethode C B(R n ): eine beliebige, beschränkte Borelmenge. µ : B(R n ) [0, ]: ein beliebiges, lokal endliches Maß mit 0 < µ(c) <. C = (a 1, b 1 ]x...x(a n, b n ]: ein n-dimensionaler Quader mit C C und µ( C) <

29 Algorithmus Schritt 1: Generiere eine Realisierung N C Poi(λυ n ) Schritt 2: Falls N C =k, dann generiere solange eine Realisierung s 1, s 2,... der unabhängigen Zufallsvektoren S i C, bis k der s 1, s 2,... in C liegen. Dann ist die Menge {s i : s i C} eine Realisierung des Poissonprozesses {N B } in C.

30 Theoreme Sei {N B, B B(E)} ein Poissonprozess in E mit lokal endlichem Intensitätsmaß µ und T : E Ẽ Borel-messbar, wobei die Urbilder von beschränkten Borel-Mengen beschränkt seien. Dann gilt: Theorem 1: {Ñ B, B B 0 (Ẽ)} mit Ñ B = N T 1 ( B) ist ein Poissonprozess in Ẽ mit Intensitätsmaß µ( B) = µ(t 1 (B)).

31 Theoreme Sei {N B, B B(E)} ein Poissonprozess in E mit lokal endlichem Intensitätsmaß µ und T : E Ẽ Borel-messbar, wobei die Urbilder von beschränkten Borel-Mengen beschränkt seien. Dann gilt: Theorem 1: {Ñ B, B B 0 (Ẽ)} mit Ñ B = N T 1 ( B) ist ein Poissonprozess in Ẽ mit Intensitätsmaß µ( B) = µ(t 1 (B)). Theorem 2: Seien {S i } die Atome eines Poissonprozesses N B, B B 0 (E). {U i } eine Folge iid Zufallsvektoren in R m, die von {S i } unabhängig sind, dann gilt: N BxC = #{i : (S i, U i ) BxC}, B B(E), C B(R m ) ist ein Poissonprozess.

32 Radiale Simulation (eines hom. Poissonprozesses im R 2 ) Sei T 1, T 2,... : Ω [0, ) eine Folge von iid Zufallsvariablen, mit T i Exp(1) i. Sei λ > 0 beliebig, dann folgt mit Theorem 1, dass N B = #{i : i k=1 ein Poissonprozess in B ist. T k πλ B} B B([0, ))

33 Insbesondere ist {s i } = von {N B }. i k=1 t k πλ eine Realisierung der Atome Seien nun u 1, u 2,... eine Folge von auf [0, 2π) gleichverteilter Zufallszahlen, die unabhängig von den T i sind. Mit Theorem 2 folgt: {(s i, u i )} sind Realisierung eines Poissonprozesses. Ebenso folgt mit Theorem 1: {F(s i, u i )}, F : [0, )x[0, 2π) R 2 mit F(s,u) := (s cos(u), s sin(u)) sind Realisierung eines Poissonprozesses im R 2.

34 Verdünnung von Poissonprozessen λ 1, λ 2 : R n [0, ): Borel-messbare, lokal integrierbare Funktionen mit λ 1 (x) λ 2 (x) x R n {S i }: Atome eines Poissonprozesses mit Intensitätsfunktion λ 1. U 1, U 2,... mit U i U([0, 1]) Dann gilt: {Ñ B, B B(R n )} mit Ñ B = #{d : S d B, U d λ 2(S d ) λ 1 (S d ) } B B 0(R n ) ist ein Poissonprozess mit Intensitätsfunktion λ 2.

35 Inhomogener Poissonprozess (Simulationsalgorithmus) Schritt 1: Generiere die Realisierung s 1,..., s k C eines homogenen Poissonprozesses in C, mit Intensität λ = sup x C λ(x) < Schritt 2: Generiere eine Realisierung u 1,..., u k von auf [0, 1] gleichverteilten Zufallszahlen Schritt 3: Eliminiere diejenigen Punkte s i, für die u i > λ(s i) λ Die verbleibenden Punkte bilden einen inhomogenen Poissonprozess in C mit Intensitätsfunktion λ : C [0, )

36 Quellen & Literatur Schmidt, V. (2007), Vorlesungsskript Räumliche Statistik für Punktprozesse und weitere Modelle der stochastischen Geometrie. Ulm: Institut für Stochastik. Schmidt, V. (2006), Lecture Note Markov Chains and Monte-Carlo Simulation. Ulm: Department of Stochastics Ross, S. M. (1996), Simulation 2nd. ed., Berkeley: Department of Industrial Engineering and Operations Research

37 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!