Punktprozesse. Andreas Frommknecht Seminar Zufällige Felder Universität Ulm

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1 Einführung in Beispiele für Andreas Seminar Zufällige Felder Universität Ulm

2 Inhalt Einführung in Beispiele für Definition Markierte 1 Einführung in Definition Markierte 2 Beispiele für Homogener Poisson-Punktprozess Inhomogener Poisson-Punktprozess Shot-Noise Felder 3 Papier Modellierung

3 Punktmuster Einführung in Beispiele für Definition Markierte Kapitel 1 [Illian,Penttinen,Stoyan,Stoyan (2008)] Ziel: Analyse und Modellierung geometrischer Strukturen von Mustern, die durch zufällig verteilte Objekte im Raum entstehen.

4 Einführung in Beispiele für Definition Markierte Beispiele für en in verschiedenen Fachgebieten Biologie: Verteilung von Bäumen Medizin: Zellkulturen Astronomie: Verteilung von Sternen

5 Vorbemerkungen Einführung in Beispiele für Definition Markierte Raum: Definition allgemein in abstrakten Räumen möglich. Wir betrachten hier den R d. Prozess normalerweise zeitliche Entwicklung, hier meist zeitunabhängig.

6 Zufälliges Zählmaß Einführung in Beispiele für Definition Markierte Vorbemerkung: Q d := {B R d : B = (a 1, b 1 ]... (a d, b d ], a i, b i R, a i b i, i = 1,..., d} Sei Z die Familie aller lokal endlichen Zählmaße ϕ : B(R d ) N 0, d.h. ϕ(b) <, B Q d und ϕ( i=1 B i) = i=1 ϕ(b i) für paarweise disjunkte B i B(R d ). Sei N die kleinste σ-algebra von Teilmengen von Z, so dass ϕ ϕ(b), beschränkte B B(R d ) eine (N, B(R)) messbare Abbildung ist.

7 Zufälliges Zählmaß Einführung in Beispiele für Definition Markierte Definition Ein zufälliges Zählmaß µ : Ω Z ist eine Zufallsvariable über einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit Werten in (Z, N).

8 Einführung in Beispiele für Definition Markierte Definitionen eines s Bezeichnung: N bzw. N 1. Definition N = {x 1, x 2,..., x n } ist eine beliebige Menge von Zufallsvektoren über einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P), wobei x i R d, #{x i, x i B} < B B 0 (R d ) und n N 0 zufällig. Alternativ: 2. Definition N(B) := x N 1 B(x) B B(R d )

9 Bemerkungen Einführung in Beispiele für Definition Markierte N ist ein lokal endliches zufälliges Zählmaß. N(B) gibt die zufällige Anzahl der Punkte in B an. Unter einer Punktprozess-Summe versteht man S f = x N f (x), wobei f eine reellwertige messbare Funktion ist.

10 Einführung in Beispiele für Definition Markierte Beispiel: Dichte von Pflanzensamen Annahmen: Jeder Punkt x i N entspricht einer Pflanze. Jede Pflanze produziert unabhängig Samen. Die Samen sind zufällig um die Pflanze verteilt. m ist der Mittelwert der Planzensamen pro Pflanze. d ist eine monoton fallende Funktion, z.b. d(r) = exp( r). Die Samendichte an einem Punkt y von einer Pflanze x i lässt sich durch f y (x i ) = md( y x i ) beschreiben. Frage: Wie hoch ist die Samendichte an einem Punkt y?

11 Einführung in Beispiele für Definition Markierte Beispiel: Dichte von Pflanzensamen Annahmen: Jeder Punkt x i N entspricht einer Pflanze. Jede Pflanze produziert unabhängig Samen. Die Samen sind zufällig um die Pflanze verteilt. m ist der Mittelwert der Planzensamen pro Pflanze. d ist eine monoton fallende Funktion, z.b. d(r) = exp( r). Die Samendichte an einem Punkt y von einer Pflanze x i lässt sich durch f y (x i ) = md( y x i ) beschreiben. Frage: Wie hoch ist die Samendichte an einem Punkt y? Antwort: S f (y) = x i N f y(x i )

12 Verteilungen Einführung in Beispiele für Definition Markierte Ein Punktprozess ist eindeutig bestimmt durch die Familie der endlich-dimensionalen Wahrscheinlichkeiten: {P(N(B 1 ) = n 1,..., N(B k ) = n k ), n i, k N 0 B i Q d } Bemerkung: Da unendlich viele Mengen B i existieren, existieren auch unendlich viele Verteilungen.

13 Verteilungen Einführung in Beispiele für Definition Markierte Punktprozessverteilung (allgemeiner) P(N A) wobei A B 0 (R d ) und N einfach ( x i x j i j). Falls z.b. A die Menge aller Punktmuster ist die keinen Punkt in B haben, gilt P(N A) = P(N(B) = 0).

14 Erwartungswert Einführung in Beispiele für Definition Markierte Definition E(N(B)) := Erwartete Anzahl der Punkte von N in B Bezeichnung: Λ(B) := E(N(B)) Bemerkung: Λ heißt Intensitätsmaß. Falls Λ absolutstetig bzgl. des Lebesgue-Maßes ist, existiert eine Funktion λ(x) mit folgender Eigentschaft: Λ(B) = B λ(x)dx Bezeichnung: λ heißt Intensitätsfunktion.

15 Stationarität Einführung in Beispiele für Definition Markierte Ein Punktprozess N heißt stationär, falls N d = N x, x R d gilt, wobei N = {x 1, x 2,...} und N x = {x 1 + x, x 2 + x,...}. Äquivalent: Ein Punktprozess N heißt stationär, falls (N(B 1 ),..., N(B n )) d = (N(B 1+x ),..., N(B n+x )), x R d, n N und B 1,..., B n B(R d ) gilt, wobei B i+x = {y + x, y B i }.

16 Isotropie Einführung in Beispiele für Definition Markierte Ein Punktprozess N heißt isotrop, falls N d = RN, R gilt, wobei N = {x 1, x 2,...}, RN = {Rx 1, Rx 2,...} und R eine Drehung um den Ursprung ist. Äquivalent: Ein Punktprozess N heißt isotrop, falls (N(B 1 ),..., N(B n )) d = (N(RB 1 ),..., N(RB n )), R, n N und B 1,..., B n B(R d ) gilt, wobei RB i = {Ry, y B i }.

17 Einführung in Beispiele für Folgerung aus Stationarität Definition Markierte Falls N stationär, gilt Λ(B) = λν(b), wobei λ eine Konstante und ν(b) das Volumen von B ist. Beweis N(B) = d N(B x ) E(N(B)) = E(N(B x )) Λ(B) = Λ(B x ) x, B Λ ist ein vielfaches des Maßtheorie Lebesguemaßes Λ(B) = λν(b) Bemerkung: λ wird als Intensität oder Punktintensität bezeichnet. λ kann als erwartete Anzahl der Punkte pro Volumeneinheit betrachtet werden.

18 Einführung in Beispiele für Markierte Definition Markierte Vorbemerkung: Ein Punkt x i R d heißt markiert, wenn ihm ein Wert m(x i ) R l zugewiesen ist. Die Menge der m(x i ) ist eine Menge von Zufallsvektoren über (Ω, A, P). Ein markierter Punktprozess wird mit M bzw. M bezeichnet.

19 Einführung in Beispiele für Definition Markierte Definition Markierter 1. Definition M = {[x 1 ; m(x 1 )],..., [x n ; m(x n )]} ist eine Menge von Tupeln von Zufallsvektoren, wobei n N 0 zufällig. 2. Definition Lokal endliches zufälliges Zählmaß M(B C) := x M 1 B C(x), wobei B B(R d ) und C B(R l ) ist.

20 Einführung in Beispiele für Definition Markierte Bemerkung & Beispiel: Dichte von Pflanzensamen Bemerkung: Falls C = R l gilt folgt M(B C) = M(B R l ) = N(B). Summe von markierten n: S f = [x;m(x)] M f (x, m(x)), wobei f eine reellwertige Funktion ist. Beispiel Dichte von Pflanzensamen: Annahmen: Analog zu Beispiel auf Folie 10. Zusätzliche Annahme: m(x i ) ist die Anzahl der Planzensamen der Pflanze x i. Frage: Wie hoch ist die Samendichte an einem Punkt y?

21 Einführung in Beispiele für Definition Markierte Bemerkung & Beispiel: Dichte von Pflanzensamen Bemerkung: Falls C = R l gilt folgt M(B C) = M(B R l ) = N(B). Summe von markierten n: S f = [x;m(x)] M f (x, m(x)), wobei f eine reellwertige Funktion ist. Beispiel Dichte von Pflanzensamen: Annahmen: Analog zu Beispiel auf Folie 10. Zusätzliche Annahme: m(x i ) ist die Anzahl der Planzensamen der Pflanze x i. Frage: Wie hoch ist die Samendichte an einem Punkt y? Antwort: S f (y) = [x i ;m(x i )] M f y(x i ) = (i) m(x i)d( y x i )

22 Inhalt Einführung in Beispiele für Homogener Poisson-Punktprozess Inhomogener Poisson-Punktprozess Shot-Noise Felder 1 Einführung in Definition Markierte 2 Beispiele für Homogener Poisson-Punktprozess Inhomogener Poisson-Punktprozess Shot-Noise Felder 3 Papier Modellierung

23 Einführung in Beispiele für Homogener Poisson-Punktprozess Inhomogener Poisson-Punktprozess Shot-Noise Felder Definition homogener Poisson-Prozess Definition Ein Punktprozess N mit der Verteilung P(N(B) = n) = λn (ν(b)) n exp( λν(b)), n N 0, B B 0 (R d ) n! heißt homogener Poisson-Punktprozess mit Intensität λ, falls N(B 1 ), N(B 2 ),... unabhängig für paarweise disjunkte B 1, B 2,... B 0 (R d )

24 Realisierung Einführung in Beispiele für Homogener Poisson-Punktprozess Inhomogener Poisson-Punktprozess Shot-Noise Felder Realisierung eines homogenen Poissonprozesses Kapitel 3 [Möller,Waagepeterson (2003)]

25 Bemerkung Einführung in Beispiele für Homogener Poisson-Punktprozess Inhomogener Poisson-Punktprozess Shot-Noise Felder Bemerkung In diesem Fall gilt: und Λ(B) = λν(b) P(N(B 1 ) = n 1,..., N(B k ) = n k ) = λn n k (ν(b1 )) n 1...(ν(Bk )) n k n 1!...n k! exp( n i N 0, B i B 0 (R d ) disjunkt Stationarität und Isotropie sind offensichtlich. k λν(b i )) i=1

26 Einführung in Beispiele für Homogener Poisson-Punktprozess Inhomogener Poisson-Punktprozess Shot-Noise Felder Definition inhomogoner Poisson-Prozess Definition Ein Punktprozess N mit der Verteilung und P(N(B) = n) = Λ(B)n n! exp( Λ(B)), n N 0, B B 0 (R d ) Λ(B) = B λ(x)dx heißt inhomogener Poisson-Punktprozess mit Intensitätsfunktion λ(x), falls N(B 1 ), N(B 2 ),... unabhängig für paarweise disjunkte B 1, B 2,... B 0 (R d )

27 Bemerkung Einführung in Beispiele für Homogener Poisson-Punktprozess Inhomogener Poisson-Punktprozess Shot-Noise Felder Bemerkung Im Gegensatz zum homogenen Poissonprozess ist hier die Intensitätsfunktion λ(x) nicht konstant. Es gilt: P(N(B 1 ) = n 1,..., N(B k ) = n k ) = Λ(B 1) n 1...Λ(Bk ) n k n 1!...n k! exp( k Λ(B i )) i=1 n i N 0, B i B 0 (R d ) disjunkt

28 Einführung in Beispiele für Vergleich Poissonprozesse Homogener Poisson-Punktprozess Inhomogener Poisson-Punktprozess Shot-Noise Felder Realisierung eines homogenen(links) und eines inhomogenen (rechts) Poissonprozesses Kapitel 3 [Möller,Waagepeterson (2003)]

29 Shot-Noise Felder Einführung in Beispiele für Homogener Poisson-Punktprozess Inhomogener Poisson-Punktprozess Shot-Noise Felder Voraussetzungen: M = {[x 1, m(x 1 )],..., [x n, m n ]} sei ein markierter Punktprozess. s(y x i, m(x i )) := m(x i )f ( y x i ), y R d S(y) := [x i ;m(x i )] M s(y x i, m(x i )) E( S(y) ) <, y R d

30 Definition Einführung in Beispiele für Homogener Poisson-Punktprozess Inhomogener Poisson-Punktprozess Shot-Noise Felder Definition Falls vorherige Voraussetzungen erfüllt sind heißt S(y) = s(y x i, m(x i )) [x i ;m(x i )] M Shot-Noise Feld.

31 Bemerkung Einführung in Beispiele für Homogener Poisson-Punktprozess Inhomogener Poisson-Punktprozess Shot-Noise Felder Bemerkung: s wird als Impulsfunktion oder Dämpfungsfunktion bezeichnet. Die Dichte von Pflanzensamen kann als Shot-Noise Feld aufgefasst werden: S f = S f (y) = s(y x i, m(x i )) [x i ;m(x i )] M = [x i ;m(x i )] M m(x i )f ( y x i ) = [x i ;m(x i )] M m(x i )d( y x i )

32 Inhalt Einführung in Beispiele für Papier Modellierung 1 Einführung in Definition Markierte 2 Beispiele für Homogener Poisson-Punktprozess Inhomogener Poisson-Punktprozess Shot-Noise Felder 3 Papier Modellierung

33 Einführung in Beispiele für Papier Modellierung Modell Vorbemerkung: Papier besteht aus Fasern. Anhäufung von Fasern werden als Flocken bezeichnet. Y (x) = Y 1 (x) + Y 2 (x) : x R 2 reellwertiger stochastischer Prozess, der Deckfähigkeit (Lichtdurchlässigkeit) des Papiers simulieren soll. Y 1, Y 2 unabhängig.

34 Weißes Rauschen Einführung in Beispiele für Papier Modellierung Y 1 (x) Weißes Rauschen (unabhängige N(α, τ 2 ) verteilte Zufallsvariablen). α durchschnittliche Deckkraft ohne Flockenbildung. Weißes Rauschen [Sebastian Lochbrunner]

35 Einführung in Beispiele für Papier Modellierung Shot-Noise Y 2 (x) = β j f (x X j) Shot-Noise Feld. X j Punkte eines homogenen Poissonprozesses. f (x) beschreibt Oberflächenprofil einer Flocke. βf (0) durchschnittliche Deckkraft am Zentrum einer Flocke (konstante Markierungsfunktion m(x i )).

36 Shot-Noise Bild Einführung in Beispiele für Papier Modellierung Shot-Noise [Sebastian Lochbrunner]

37 Einführung in Beispiele für Papier Modellierung Vergleich zwischen Papier und Realisierung Realisierung (links), Papier (rechts) [Sebastian Lochbrunner]

38 Einführung in Beispiele für Mögliche Wahl von f Papier Modellierung f (x) = { (πσ 2 ) 1 für x σ 0 für x > σ, σ > 0 f (x) = t exp( s x ), t, s > 0

39 Einführung in Beispiele für Mögliche Wahl von f Papier Modellierung Matérn-Funktion: f (x) = ν2 1 ν πσ 2 Γ(ν + 1) ( ) x ν ( ) x σ/2 K ν ν σ/2, σ > 0 ν Bemerkung: K ν ist eine modifizierte Bessel-Funktion zweiter Ordnung. ν und σ sind Skalierungsparameter. ν bestimmt wie oft f differenzierbar ist und damit die Rauhigkeit des Papiers.

40 Einführung in Beispiele für Papier Modellierung Einfluss von ν auf Matérn-Funktion ν verschiebt Funktion und verkleinert Amplitude

41 Einführung in Beispiele für Papier Modellierung Einfluss von σ auf Matérn-Funktion σ staucht Funktion

42 Anhang Literatur Literatur V. Schmidt Räumliche Statistik Vorlesungsskript, Wintersemester 2007/08 J. Illian, A. Penttinen, H. Stoyan und D. Stoyan Statistical Analysis and Modelling of Spatial Point Patterns Wiley, 2008 J. Möller, R. Waagepeterson Statistical Inference and Simulation for Spatial Point Processes Chapman & Hall, 2003 D.J. Daley, D. Vere-Jones An Introduction to the Theory of Point Processes: Elementary Theory and Methods Springer, 2003 P.E. Brown, P.J. Diggle und R. Henderson A Non-Gaussian Spatial Process Model For Opacity Of Flocculated Paper Scandinavian Journal Of Statistics, 30: , 2003.