1 Relevante Beispiele für Verteilungen auf R

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1 Prof. Dr. H. Zähle Vorlesung Sachversicherungsmathemati, Anlage 1 Universität des Saarlandes, SS Relevante Beispiele Verteilungen auf R Wir bezeichnen die Menge aller W-Maße auf (R, B(R)) mit M 1 (R). Für jedes B B(R) sei M 1 (B) ferner die Teilmenge aller µ M 1 (R) mit µ(b) = 1. Die Elemente von M 1 (B) nennen wir oft auch einfach Verteilungen auf B. Die zentralen Objete in der Sachversicherungsmathemati sind die Elemente von M 1 (N 0 ) und M 1 (R + ). Ein Element ν M 1 (N 0 ) ann z. B. als ein Modell die Anzahl der anfallenden Schäden in einem Versicherungsolletiv im Laufe eines VJ dienen. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Schadenzahlverteilung. Ein Element µ M 1 (R + ) bietet sich hingegen als ein Modell die Höhe der anfallenden Schäden (auf der reellen Geld-Sale ) an. Man spricht dann auch von Schadenhöhenverteilung. Jede Schadenzahlverteilung, also jedes ν M 1 (N 0 ), hat folgende Gestalt: ν(b) = p δ (B) B B(R) (1) mit p = ν({}) alle N. Wie gewöhnlich bezeichnet δ dabei das Dirac-Maß mit Atom. Eine Schadenhöhenverteilungen µ ist in der Regel stetig, d. h. die Verteilungsfuntion F µ von µ ist stetig. Meist geht man sogar davon aus, dass eine Schadenhöhenverteilung µ absolut stetig bzgl. des Lebesgue-Maßes ist, d. h. in Hinblic auf den Satz von Radon- Nyodym dass eine nicht-negative numerische Funtion f : (R, B(R)) (R +, B(R + )) derart existiert, dass µ(b) = f(x)dx B B(R). (2) B Natürlich önnen Versicherungsschäden eine negativen Werte annehmen, so dass wir uns oft auf den Fall f(x) = 0 alle x < 0 beschränen. Es sei daran erinnert, dass die Bedingung (2) stärer ist als die Forderung, dass µ eine stetige Verteilung repräsentiert. In der Tat gib es Verteilungen µ, deren Verteilungsfuntion stetig ist, die aber eine Darstellung der Art (2) existiert; siehe z. B. Abschnitt II.8.4 in [1]. Im Laufe unserer Untersuchungen werden wir es in erster Linie mit Verteilungen auf R der Gestalt (1) oder (2) zu tun beommen. In den Beispielen werden wir nun zunächst drei spezielle, praxisrelevante Verteilungen der Gestalt (1) disutieren. Im Anschluss daran geben wir eine Reihe von Beispielen praxisrelevante Verteilungen der Gestalt (2). Beispiel 1.1 (Binomialverteilung) Für jede n N und p [0, 1] nennt man das durch n ( ) n B n,p (B) := p (1 p) n δ (B), B B(R + ) 1

2 definierte W-Maß die Binomialverteilung zu den Parametern n und p. Ihr Träger ist gegeben durch die endliche Menge {0,..., n}. Die Binomialverteilung modelliert beanntlich die Anzahl der Erfolge von n unabhängigen Bernoulli-Experimenten mit Erfolgswahrscheinlicheit p. Erleidet jeder VN in einem Versicherungsolletiv der Größe n in einem bestimmten VJ unabhängig von allen anderen VN mit Wahrscheinlicheit p einen Schaden, dann ann B n,p also als ein geeignetes Modell die Anzahl aller Schäden im Kolletiv (auch Schadenzahl genannt) verwendet werden. Beispiel 1.2 (Poisson-Verteilung) Für jedes λ > 0 nennt man das durch Poiss λ (B) := λ! e λ δ (B), B B(R + ) definierte W-Maß die Poisson-Verteilung zum Parameter λ. Ihr Träger ist gegeben durch N 0. In Hinblic auf den Poisson schen Grenzwertsatz ann man Poiss λ als Approximation B n,pn betrachten, falls p n := λ/n lein ist. In Bemerung?? werden wir eine weitere Begründung geben, warum Poiss λ als ein Modell die Anzahl der Schäden in einem Kolletiv in Frage ommt. Beispiel 1.3 (Negative Binomialverteilung) Für jede ν (0, ) und p (0, 1) nennt man das durch ( ) ν + 1 NB ν,λ (B) := p (1 p) ν δ (B), B B(R + ) definierte W-Maß die Negative Binimialverteilung zu den Parametern ν und p, wobei der verallgemeinerte Binomialoeffizient ( α ) gegeben ist durch ( ) α := α(α 1) (α + 1), α R, N.! Die Negative Binomialverteilung ann als eine Mischung von Poisson-Verteilungen onstruiert werden. Beispiel 1.4 (Exponential-Verteilung) Für jedes λ > 0 nennt man das durch (2) charaterisierte W-Maß die Exponential-Verteilung Exp λ zum Parameter λ, falls f = f λ f λ (x) := λ e λx 1 [0, ) (x), x R. Die Lebesgue-Dichte f λ ist stets monoton fallend und es gilt offensichtlich f λ (0) = λ; siehe Abbildung 1. 2

3 Beispiel 1.5 (Pareto-Verteilung) Für jede α, σ > 0 nennt man das durch (2) charaterisierte W-Maß die Pareto-Verteilung P α,σ zu den Parametern α und σ, falls f = f α,σ f α,σ (x) := α σ ( x σ + 1 ) (α+1) 1[0, ) (x), x R. Der Parameter σ > 1 (σ < 1) strect (staucht) die Verteilungsfuntion von P α,1 parallel zur x-achse. Die Dichte f α,σ ist stets monoton fallend und es gilt f α,σ (0) = α/σ; siehe Abbildung lambda alpha / sigma 12 Abbildung 1: Dichten der Exponential- (lins) und der Pareto-Verteilung. Beispiel 1.6 (Gamma-Verteilung) Für jede α, β > 0 nennt man das durch (2) charaterisierte W-Maß die Gammaverteilung Γ α,β zu den Parametern α un β, falls f = f α,β f α,β (x) := βα Γ(α) xα 1 e βx 1 (0, ) (x), x R, wobei Γ(t) := 0 x t 1 e x dx, t > 0 die Gamma-Funtion bezeichnet. Es gilt Γ(1) = 1 und somit offensichtlich Γ 1,β = Exp β. Der Parameter β > 1 (β < 1) staucht (strect) die Verteilungsfuntion von Γ α,1 parallel zur x-achse. Der Parameter α bestimmt die Form der Dichte f α,β ; siehe Abbildung 2. Beispiel 1.7 (Weibull-Verteilung) Für jede c, τ > 0 nennt man das durch (2) charaterisierte W-Maß die Gammaverteilung W c,τ zu den Parametern c und τ, falls f = f c,τ f c,τ (x) := c τ x τ 1 e cxτ 1 (0, ) (x), x R. Es gilt offensichtlich W c,1 = Exp c. Für τ > 1 (τ < 1) fällt die Dichte f c,τ x schneller (langsamer) als jede Exponentialfuntion. Der Parameter τ bestimmt die Form der Dichte f c,τ ; siehe Abbildung 3. 3

4 alpha < 1 beta alpha = 1 (alpha 1) / beta alpha > 1 Abbildung 2: Dichte der Gamma-Verteilung α < 1, α = 1 und α > 1. tau < 1 c tau = 1 ((tau c) / (c*tau))^(1/tau) tau > 1 Abbildung 3: Dichte der Weibull-Verteilung τ < 1, τ = 1 und τ > 1. Beispiel 1.8 (Normalverteilung) Für jede µ, σ 2 > 0 nennt man das durch (2) charaterisierte W-Maß die Normalverteilung N µ,σ 2 zu den Parametern µ und σ 2, falls f = f µ,σ 2 1 (x µ)2 f µ,σ 2(x) := e 2σ 2, x R. 2πσ 2 Die Dichte f µ,σ 2 ist offensichtlich symmetrisch um µ; siehe Abbildung 4. Beispiel 1.9 (Log-Normalverteilung) Für jede µ, σ 2 > 0 nennt man das durch (2) charaterisierte W-Maß die Log-Normalverteilung LN µ,σ 2 zu den Parametern µ und σ 2, falls f = f µ,σ 2 f µ,σ 2(x) := 1 (log x µ)2 e 2σ 2 1 (0, ) (x), x R. 2πσx Der Logarithmus log X einer LN µ,σ 2-verteilten Zufallsvariable X ist normalverteilt zu den selben Parametern µ und σ 2. Die Dichte f µ,σ 2 fällt x langsamer als jede Exponentialfuntion, aber schneller als jede Potenz von x. Die Dichte f µ,σ 2 ist stets unimodal mit Modus e µ ; siehe Abbildung 4. 4

5 mu exp(mu) Abbildung 4: Dichten der Normal- (lins) und der Log-Normalverteilung (rechts). Literatur [1] Elstrodt, J. (1999) Maß- und Integrationstheorie. Springer-Verlag, Berlin. 5