Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken)

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1 Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh

2 Aufgabe der schließenden Statistik: Festlegung einer Entscheidung auf der Grundlage eines Stichprobenergebnisses Entscheidungsverfahren: Zu jedem möglichen Stichprobenergebnis wird die zugehörige Entscheidung bestimmt. Entscheidungsfunktion δ : X A X Stichprobenraum, A Aktionenraum (Menge der Entscheidungsmöglichkeiten) gesucht: beste Entscheidungsfunktion (benötigt wird dazu ein Bewertungskriterium s.u.) Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 2

3 Problem: X R n ist i.a. sehr umfangreich, d.h. es gibt sehr viele, teilweise auch wenig sinnvolle Entscheidungsfunktionen. Ansatz: Das Stichprobenergebnis enthält auch Informationen, die für die Entscheidung unwesentlich sind, z.b. die Reihenfolge der Messwerte bei einer Stichprobe mit Zurücklegen. Reduktion der Daten auf den für die Entscheidung wesentlichen Kern durch eine Auswertung des Stichprobenergebnisses (z.b. mit Methoden der deskriptiven Statistik) Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 3

4 Beispiele: 1. Kontrolle einer Warenpartie: Stichprobenergebnis (x 1, x 2,..., x n ) mit Auswertung: x i = { 0 i te Stichprobeneinheit ist gut 1 i te Stichprobeneinheit ist schlecht Anzahl schlechter Einheiten = n x i (Oder: Anzahl guter Teile, Stichprobenausschussanteil,...) Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 4

5 2. Justierung einer Maschine: x 1, x 2,..., x n Messwerte x i Stichprobenmittelwert 1 n ist Kandidat für ein sinnvolles Auswertungsverfahren. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 5

6 Stichprobenfunktion: X Stichprobenraum einer Stichprobe X 1, X 2,..., X n T : X R k heißt Stichprobenfunktion T (X 1, X 2,..., X n ) = T (X ) ist dann Zufallsvariable Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 6

7 Beispiele für Stichprobenfunktionen: 1. T (x 1, x 2,..., x n ) = x 3 bzw. x i für i {1, 2,..., n}. T erhält in der Regel nicht die gesamte Information der Stichprobe, da nur eines der Stichprobenergebnisse benutzt wird. 2.T (x 1,..., x n ) = (x (1),..., x (n) ), d.h. die Stichprobenergebnisse werden ihrer Größe nach geordnet (x (1),..., x (n) ist die geordnete Urliste zu x 1,..., x n ). T heißt Ordnungsstatistik und erhält bei einer Stichprobe mit Zurücklegen alle relevanten Informationen, da in diesem Fall die Reihenfolge der Ergebnisse keine Bedeutung hat. Aber: Keine Datenreduktion. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 7

8 3. T (x 1,..., x n ) = x z, x z Zentralwert (Median) von x 1, x 2,..., x n, heißt Stichprobenmedian(-zentralwert). 4.T (x 1,..., x n ) mit T (x 1,..., x n ) = 1 n x i heißt Stichprobenmittelwert. Beispiele 3 und 4 sind Kandidaten für Auswertungen bei Untersuchungen, die mit Lageparametern zu tun haben. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 8

9 5. T (x 1,..., x n ) mit T (x 1,..., x n ) = 1 n (x i x) 2, x = Stichprobenmittelwert, heißt Stichprobenvarianz. 6.T (x 1,..., x n ) T (x 1,..., x n ) = 1 n 1 (x i x) 2, x = Stichprobenmittelwert, heißt korrigierte Stichprobenvarianz. Beispiele 5 und 6 kommen bei Untersuchungen zu Streuungsparametern einer Verteilung in Betracht (aber auch die Stichprobenspannweite, die mittlere absolute Abweichung der Stichprobe, der Quartilsabstand der Stichprobe,...). Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 9

10 Frage: Welche Auswertungen sind sinnvoll? Welche Stichprobenfunktionen dürfen verwendet werden, ohne gute Entscheidungsverfahren auszuschließen? Antwort:T sollte alle entscheidungsrelevanten Informationen der Stichprobe über die Größe (Zustand) erhalten. Wie kann dies überprüft werden? Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 10

11 1. Kontrolle einer Warenpartie: Intuition: Anzahl der schlechten Teile in der Stichprobe enthält alle Informationen über den Ausschussanteil, d.h. zwei Stichprobenergebnisse x = (x 1,..., x n ) und x = (x 1,..., x n) mit übereinstimmender Anzahl schlechter Teile unterscheiden sich nicht bezüglich ihrer Information über den Ausschussanteil. Ist dies richtig? Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 11

12 Dazu: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Stichprobe X 1,..., X n auf Teilbereich mit k schlechten Teilen: T (X 1,..., X n ) = k Bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Bedingung: T (X 1,..., X n ) = k Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 12

13 ( ) P(X = x T (X ) = k) = P X 1 = x 1,..., X n = x n X i = k = = P(X 1 = x 1,..., X n = x n und 0 P( n X i = k) P(X 1=x 1,...,X n=x n) ( n k)p k (1 p) n k n x i k x i = k X i = k) Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 13

14 X 1, X 2,..., X n unabhängig: Dann P(X 1 = x 1,..., X n = x n ) = P(X 1 = x 1 ) P(X 2 = x 2 )... P(X n = x n ) Mit P(X i = 1) = p und P(X i = 0) = 1 p n P(X i = x i ) = p x i x i (1 p) n n Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 14

15 Damit: ( P X = x ) X i = k = = 0 p k (1 p) n k ( n k)p k (1 p) n k 0 1 ( n k) x i k x i = k x i k x i = k Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 15

16 Die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung hängt also nicht von p ab die Variation des Stichprobenergebnisses im Teilbereich mit T (X 1,..., X n ) = k ist also unbeeinflusst vom Ausschussanteil p und damit auch ohne Information über p. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 16

17 2. Fehleranzahlen Bei der Produktion von Teilen können ein oder mehrere Fehler entstehen (z.b. Lackierfehler an Automobilkarossen). Die Anzahl der Fehler an einer Produkteinheit entspreche einer Zufallsvariable Y. Y sei Poisson-verteilt mit Parameter λ, λ sei unbekannt. Durch eine Stichprobe soll Information über λ ermittelt werden. Stichprobenergebnis: x 1, x 2,..., x n (x i ganze Zahl 0) Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 17

18 Vermutung: Wesentliche Information über den Parameter λ des Stichprobenergebnisses ist die Gesamtzahl der Fehler (oder die durchschnittliche Fehlerzahl). Zugehörige Stichprobenfunktion ist: T (x 1,..., x n ) = n x i Überprüfung der Vermutung: Stichprobe mit Zurücklegen, d.h. X 1, X 2,..., X n unabhängig, identisch verteilt wie Y ( ) P X = x 1,..., X n = x n T (X 1,..., X n ) = X i = k =? Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 18

19 P ( X = x 1,..., X n = x n T (X 1,..., X n ) = ) X i = k = 0 P(X =x) P( n X i =k) x i k x i = k Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 19

20 mit P(X = x) = P(X 1 = x 1,..., X n = x n ) = P(X 1 = x 1 ) P(X 2 = x 2 )... P(X n = x n ) = λx 1 x 1! e λ... λxn x n! e λ = n ( λx i x i! e λ ) Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 20

21 X i ist Poisson-verteilt mit Parameter nλ: P( n Damit ist: X i = k) = (nλ)k k! e nλ P(X =x) P( n X i =k) = n ( λx i x i! e λ ) = (nλ) k e k! nλ = ( n n x i 1 x i! )λ e nλ (nλ) k k! e nλ n k k! 1 x i! Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 21

22 Die ( bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung P X 1 = x 1,..., X n = x n T (X 1,..., X n ) = n ) X i = k = n ist also unabhängig vom Parameter λ. Welche = k! n k 1 x i! spezielle Stichprobe mit (x 1, x 2,..., x n ) mit Gesamtfehlerzahl k vorliegt, liefert demnach keine Information über λ. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 22

23 Eine Stichprobenfunktion T enthält also die Information der Stichprobe über den Parameter der Verteilung, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit des Stichprobenvektors mit T (X ) = t als Bedingung nicht vom Parameter abhängt. T heißt dann suffizient bezüglich des Parameters. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 23

24 Definition: Sei Γ der Parameterraum zur Verteilungsannahme einer diskreten Zufallsvariablen Y. X = (X 1,..., X n ) sei eine Stichprobe zu Y mit Stichprobenraum X. Eine Stichprobenfunktion T : X R k heißt suffizient bzgl. γ Γ, wenn P γ (X = x T (X ) = t) für alle x X und t R k mit P γ (T (X ) = t) 0 von γ unabhängig ist, also allein von x und t abhängt. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 24

25 Folgerung: Wegen P γ (X = x) = P(X = x T (X ) = t)p γ (T (X ) = t) ist bei suffizientem T die Wahrscheinlichkeitsverteilung zerlegt in zwei Faktoren, von denen P(X = x T (X ) = t) nur von x (t ergibt sich aus T (x) = t) und P γ (T (X ) = t) von γ und t abhängt. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 25

26 Es gilt demnach mit P(X = x T (X ) = t) = h(x) und P γ (T (X ) = t) = g(t (x), γ) (*) P γ (X = x) = g(t (x), γ)h(x). Aus (*) folgt aber : P γ(x = x T (X ) = t) = = = Pγ(X = x, T (X ) = t) P γ(t (X ) = t) g(t (x), γ)h(x) = P γ(x = x) x X : T ( x)=t g(t (x), γ)h(x) g(t ( x), γ)h( x) = g(t, γ)h(x) g(t, γ)h( x) x X : T ( x)=t x X : T ( x)=t h(x) hängt nicht von γ ab h( x) x X : T ( x)=t Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 26

27 Im diskreten Fall ist eine Stichprobenfunktion genau dann suffizient bezüglich einem Parameter γ, wenn sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors entsprechend (*) in Faktoren zerlegen lässt. (Faktorisierungstheorem von Neyman). Beispiele: 1. Bernoulliverteilung: P(X 1 = x 1,..., X n = x n ) = P(X 1 = x 1 )... P(X n = x n ) x i n n x i = p (1 p) = g(t (x), p)h(x) mit h(x) = 1 Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 27

28 2. Poissonverteilung: P(X = x) = P(X 1 = x 1,..., X n = x n ) = P(X 1 = x 1 )... P(X n = x n ) = λx 1 x 1! e λ... λxn x n! e λ = n ( λx i = λ mit g(t (x), λ) = λ x i e nλ 1 x 1!x 2!... x n! x i e nλ, T (x) = n x i! e λ ) = g(t (x), λ)h(x) x i und h(x) = 1 x 1!x 2!... x n! Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 28

29 Im stetigen Fall sind die analogen Betrachtungen mit der Dichtefunktion durchzuführen. Beispiel: 1. Exponentialverteilung Sei Y exponentialverteilt mit Parameter λ > 0, X 1, X 2,..., X n eine einfache Stichprobe mit Zurücklegen zu Y. Dann gilt f X,λ (x 1,..., x n ) = n λe λx i = λ n e λ x i =... Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 29

30 mit g(t (x), λ) = λ n e λ = g( n x i, λ) h(x) x i, T (x) = x i und h(x) = 1. Zur Berechnung der bedingten Dichte unter der Bedingung T (X ) = n X i = t wird die Verteilung von benötigt. X i Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 30

31 Man erhält (s. Übungsaufgabe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie) die Erlang-Verteilung mit Stufenzahl n mit der Dichtefunktion λ n (n 1)! tn 1 e λt t 0 f (t) = 0 t < 0 Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 31

32 ... und damit die bedingte Dichte f (X,λ T (X )=t) (x) = = n λe λx i λ n (n 1)! tn 1 e λt λ n (n 1)! ( n = (n 1)! für x = (x 1,..., x n ) mit x i = t. λ n e λ x i x i ) n 1 e λ 1 ( n x i ) n 1 x i Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 32

33 Die Dichte lässt sich also analog in zwei Faktoren zerlegen und die bedingte Dichte ist unabhängig vom Parameter. Die Stichprobenfunktion T (x 1, x 2,..., x n ) = n ist also suffizient bezüglich λ. x i Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 33

34 2. Normalverteilung Sei Y N(µ, σ 2 )-verteilt, also mit der Dichte f Y,µ,σ 2(y) = 1 (y µ)2 e 2σ 2 2πσ 2 Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 34

35 Dann ist für eine Stichprobe X mit Zurücklegen: f X,µ,σ 2(x 1,..., x n ) = = = = n 1 (x 2πσ 2 e i µ) 2σ 2 1 (2πσ 2 ) n e 1 (2πσ 2 ) n e (2πσ 2 ) n e 2σ 2 2 (x i µ) 2 2σ 2 2σ 2 ( n xi 2 2µ n x i +nµ 2 ) xi 2 e µ σ 2 x i e nµ2 2σ 2 Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 35

36 Dieser Ausdruck hängt außer von den Parametern µ und σ 2 nur von xi 2 und n x i ab. Die zweidimensionale Stichprobenfunktion suffizient bezüglich (µ, σ 2 ). T (x 1,..., x n ) = ( n x i, xi 2) ist Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 36

37 In den Beispielen spielt die Exponentialfunktion eine wesentliche Rolle, da das Produkt von Exponentialfunktionen mit der Exponentialfunktion der Summe der Exponenten übereinstimmt: Folgerung: n e z i = e z i Immer wenn wir die Wahrscheinlichkeiten bzw. die Dichte der Zufallsvariablen als Exponentialfunktion schreiben können, haben wir gute Aussichten, eine suffiziente Statistik zu erhalten. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 37

38 Beispiele: 1. Poissonverteilung: P λ (Y = y) = λy y! e λ = e y ln λ 1 y! e λ Daraus folgt für eine einfache Stichprobe X = (X 1,..., X n ) mit Zurücklegen P λ (X = x) = = n ( λ x i ) x i! e λ = [ n ] ( 1 x i! ) e ln λ n x i e nλ ( ) 1 x i! ex i ln λ e λ Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 38

39 2. Normalverteilung: f µ,σ 2(y) = = 1 (y µ)2 e 2σ 2 = 2πσ 2 1 µ2 e 2σ 2 2πσ 2 1 y2 e 2σ 2 + µy σ 2 e µ2 2σ 2 2πσ 2 e y2 2σ 2 e 2µy 2σ 2 Daraus folgt für eine einfache Stichprobe X = (X 1,..., X n ) mit Zurücklegen f µ,σ 2(x) = n f µ,σ 2(x i ) = ( ) 1 µ2 n e 2σ 2 e 1 2σ 2 2πσ 2 xi 2 e µ σ 2 x i Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 39

40 Nennen wir den Parameter γ, so ist in beiden Beispielen die Wahrscheinlichkeit bzw. die Dichte von der Form (+) a(γ)h(y)e r b k (γ)τ k (y) k=1 Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 40

41 1. Poissonverteilung: r = 1 e λ 1 y! eylnλ a(γ)h(y)e b(γ)τ(y) mit a(γ) = e λ, h(y) = 1 y!, b(γ) = ln λ, τ(y) = y Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 41

42 2. Normalverteilung r = 2 a(γ)h(y)e b 1(γ)τ(y)+b 2 (γ)τ 2 (y) mit a(µ, σ 2 ) = 1 µ2 e 2σ 2, h(y) = 1 σ 2 2π, b 1 (µ, σ 2 ) = 1 2σ 2, τ 1 (y) = y 2, b 2 (µ, σ 2 ) = µ σ 2, τ 2 (y) = y. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 42

43 Aus der Darstellung (+) für die Wahrscheinlichkeit bzw. Dichte einer Zufallsvariablen ergibt sich unmittelbar für die Wahrscheinlichkeit bzw. Dichte einer Stichprobe mit Zurücklegen r [ n b k (γ)τ k (x i ) n ] r a(γ)h(x i )ek=1 = a(γ) n b k (γ) n τ k (x i ) h(x i ) ek=1 = g(t (x), γ) h(x) ( ) mit T (x) = τ 1 (x i ),..., τ r (x i ), r g(t (x), γ) = a(γ) n b k (γ) n τ k (x i ) n ek=1, h(x) = h(x i ) Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 43

44 Falls bei der Verteilung der Zufallsvariable Y eine Darstellung der Form (+) vorliegt, nennen wir die Verteilungsannahme der Zufallsvariable eine Exponentialfamilie. Exponentialfamilie: Y diskret Y stetig P γ (Y = y) = a(γ)h(y)e f Y,γ (y) = a(γ)h(y)e r b j (γ)τ j (y) j=1 r b j (γ)τ j (y) j=1 Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 44

45 Folgerung: T (x) = ( n τ 1 (x i ),..., τ r (x i )) ist suffiziente Stichprobenfunktion bezüglich γ. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 45

46 Beispiel: Gammaverteilung Dichte der Gammaverteilung ist { 1 f α,λ (y) = Γ(α) λα y α 1 e λy y 0 0 y < 0 Γ(α) ist dabei die Gammafunktion an der Stelle α; für eine natürliche Zahl n gilt Γ(n) = (n 1)! Hinweis: Für α = n erhalten wir also die Erlang-Verteilung mit Stufenzahl n. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 46

47 Mit gilt a(α, λ) = 1 Γ(α) λα, { 1 y 0 h(y) = 0 y < 0 b 1 (α, λ) = α 1, τ 1 (y) = ln(y), b 2 (α, λ) = λ, τ 2 (y) = y f α,λ (y) = a(α, λ)h(y)e b 1(α,λ)τ 1 (y)+b 2 (α,λ)τ 2 (y) Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 47

48 Damit ist T (x) = ( ln(x i ), x i ) suffizient bezüglich α und λ. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 48

49 Sei T eine suffiziente Stichprobenfunktion, so sollte die Entscheidung (Schlussfolgerung) aus dem Stichprobenergebnis nur vom Auswertungsergebnis bei T abhängen, d.h. sind x = (x 1,..., x n ) und x = ( x 1,..., x n ) zwei Stichprobenergebnisse mit T (x) = T ( x), so sollten die Entscheidungen bei x und x, übereinstimmen. Damit wird die Menge der möglichen Entscheidungsverfahren stark reduziert, falls eine geeignete suffiziente Statistik benutzt wird. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 49

50 x, x δ(x) = δ (T (x)) = δ (T (x )) X T T (x) = T (x ) X T δ δ A = δ(x ) δ = δ T Reduktion auf die wesentliche Information zur Entscheidungsfindung. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 50

51 Sei X T die Menge der möglichen Auswertungsergebnisse bei der Stichprobenfunktion T, also X T = {T (x) x X } so ist δ T : X T A eine Entscheidungsfunktion mit Benutzung von T, d.h. zum Stichprobenergebnis x wird zunächst die Auswertung T (x) berechnet und abhängig von diesem Auswertungsergebnis T (x) die Entscheidung δ T (T (x)) getroffen. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 51

52 Behauptung: Wird eine Stichprobenfunktion T aus einer Darstellung der Wahrscheinlichkeits - verteilung von Y als Exponentialfamilie gewonnen, so sind zwei Entscheidungsfunktionen mit Benutzung von T durch ihren Erwartungswert nahezu vollständig festgelegt. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 52

53 Beispiel-Poisson-Verteilung: T (x 1,..., x n ) = ist suffizient bezüglich dem Parameter λ > 0. Seien δ1 T und δt 2 zwei Entscheidungsfunktionen mit Benutzung von T. Erwartungswert von δi T ist x i E λ (δ T i (T (X ))) = = δi T (k)p λ (T (X ) = k) = δi T (k)p λ ( X j = k) k=0 k=0 δi T (k) (nλ)k e nλ k! k=0 j=1 Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 53

54 Stimmen die Erwartungswerte von δ 1 und δ 2 überein für alle λ > 0, so gilt 0 = E λ (δ T 1 (T (X ))) E λ (δ T 2 (T (X ))) = Da e nλ 0 ist, ist dies gleichwertig mit k=0 (δ1 T (k) δ2 T (k)) (nλ)k k! k=0 e nλ = e nλ (δ1 T (k) δ2 T (k)) (nλ)k k! k=0 (δ1 T (k) δ2 T (k)) (nλ)k = 0 für alle λ > 0 k! δ T 1 (k) = δ T 2 (k) für alle k. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 54

55 Eine Stichprobenfunktion T mit der Eigenschaft, dass je zwei Funktionen δ T 1 und δt 2 mit übereinstimmendem Erwartungswert auch selbst übereinstimmen, heißt vollständig. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 55

56 Definition: Sei X eine Stichprobe zu Y, X der Stichprobenraum. Y habe eine parametrische Verteilungsannahme mit Parameter γ aus dem Parameterraum Γ. Eine Stichprobenfunktion(Statistik) T heißt vollständig bezüglich γ, wenn für je zwei Funktionen δ T 1 und δt 2 aus folgt, dass gilt. E γ (δ1 T (T (X ))) = E γ(δ2 T (T (X ))) für alle γ Γ P γ (δ1 T (T (X )) = δt 2 (T (X ))) = 1 Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 56

57 Satz: Sei X eine Stichprobe zu Y, deren Verteilung sich als Exponentialfamilie schreiben lässt, d.h. es gilt Y diskret : P γ (Y = y) Y stetig : f Y,γ (y) } = a(γ)h(y)e dann ist ( T (x 1,..., x n ) = τ 1 (x i ),..., ) τ r (x i ) r b j (γ)τ j (y) j=1 eine suffiziente und vollständige Statistik bezüglich γ, wenn B = {(b 1 (γ),..., b r (γ)) γ Γ} R r einen offenen Quader im R r enthält. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 57

58 Folgerungen: Sei X 1, X 2,..., X n eine einfache Stichprobe mit Zurücklegen zu Y. Dann ist suffizient und vollständig,... T (x 1,..., x n ) = n x i Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 58

59 ... falls y a) Bernoulli-verteilt mit Parameter p [0, 1], (Übungsaufgabe: Man stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y als Exponentialfamilie dar.) b) binomialverteilt mit Parameter p [0, 1], c) Poisson-verteilt mit Parameter λ > 0, d) exponentialverteilt mit Parameter λ > 0. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 59

60 Beispiel-Normalverteilung: f µ,σ 2(y) = = 1 (y µ)2 e 2σ 2 = 2πσ 2 1 µ2 e 2σ 2 2πσ 2 1 y2 e 2σ 2 + µy σ 2 e µ2 2σ 2 2πσ 2 e y2 2σ 2 e 2µy 2σ 2 Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 60

61 1. µ und σ 2 unbekannt (und entscheidungsrelevant): a(µ, σ 2 ) = 1 µ2 e 2σ 2, h(y) = 1 σ 2 2π, b 1 (µ, σ 2 ) = 1 2σ 2, τ 1 (y) = y 2, b 2 (µ, σ 2 ) = µ σ 2, τ 2 (y) = y. ergibt eine Darstellung als Exponentialfamilie. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 61

62 T (x 1,..., x n ) = ( n x i, xi 2) ist eine suffiziente Statistik bezüglich (µ, σ 2 ). Sie ist auch vollständig bezüglich (µ, σ 2 ), da B = {( 1 2σ 2, µ σ 2 ) µ R, σ2 > 0} = {(β 1, β 2 ) β 1 < 0, β 2 R} = R R einen offenen Quader im R 2 enthält. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 62

63 2. µ unbekannt (und entscheidungsrelevant), σ 2 fest: Der Parameterraum ist jetzt Γ = R. Mit a(µ) = 1 µ2 e 2σ 2, h(y) = 1 σ 2 2π e y2 2σ 2, b(µ) = µ, τ σ 2 2 (y) = y erhalten wir eine Darstellung als Exponentialfamilie, so dass T (x 1,..., x n ) = n x i suffizient bezüglich µ ist. T ist auch vollständig, da B = { µ µ R} = R σ2 (enthält offenen Quader) Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 63

64 3. σ 2 unbekannt (und entscheidungsrelevant), µ fest: a(σ 2 ) = 1 σ 2, h(y) = 1 2π, b(σ 2 ) = 1 2σ 2, τ(y) = (y µ) 2 ergibt jetzt eine Darstellung als Exponentialfamilie für den Parameter σ 2. Wegen ist damit B = { 1 2σ 2 σ2 > 0} = {x R x < 0} T (x 1,..., x n ) = (x i µ) 2 suffizient und vollständig bezüglich σ 2. Kapitel IV - Stichprobenfunktionen (Statistiken) 64