Bayesian analysis of spatial point processes in the neighbourhood of Voronoi. networks

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1 Bayesian analysis of spatial point processes in the neighbourhood of Voronoi networks Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Seminar: Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen - Zufa llige Netzwerke

2 Seite 2 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Inhaltsverzeichnis Wiederholung Voronoi- und Delaunay-Mosaike Bezeichnungen Modell Daten Konstruktion der Intensitätsfunktion Bayes Theorem Konstruktion des Mosaiks Simulationsbeispiel anhand von Dachsdaten Bewertung des Modells Literatur

3 Seite 3 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Motivation Abbildung: Dachs Abbildung: Latrinen Ziel des Vortrages Gegeben: Latrinen der Dachse in einem Gebiet Gesucht: Grenzen der Territorien der einzelnen Dachse

5 Seite 5 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Wiederholung Voronoi-Mosaik B R d beschränkt und konvex, d 2 y = {y i } B, homogener Poisson-Punktprozess, eingeschränkt auf B Voronoi-Zelle C (y i y) ist definiert durch C (y i y) = { s B : y i s y j s y j y }, y i y Voronoi-Mosaik wird mit V(y) bezeichnet Delaunay-Mosaik Das duale Mosaik zum Voronoi-Mosaik V(y) heißt Delaunay-Mosaik T (y).

6 Seite 6 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Wiederholung Voronoi-Mosaik B R d beschränkt und konvex, d 2 y = {y i } B, homogener Poisson-Punktprozess, eingeschränkt auf B Voronoi-Zelle C (y i y) ist definiert durch C (y i y) = { s B : y i s y j s y j y }, y i y Voronoi-Mosaik wird mit V(y) bezeichnet Delaunay-Mosaik Das duale Mosaik zum Voronoi-Mosaik V(y) heißt Delaunay-Mosaik T (y).

7 Seite 7 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Graphiken der beiden Mosaike Abbildung: Voronoi-Mosaik Abbildung: Delaunay-Mosaik

8 Seite 8 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Bezeichnungen Bedingungen an den Poisson -Punktprozess n(y) d, wobei n(y) die Anzahl der Nuklei angibt y ist in allgemeiner quadratischer Position, d.h. es liegen keine k + 1 Nuklei in einem k 1 dim. Unterraum des R d, k = 2... d und auf der Oberfläche einer Kugel liegen keine d + 2 Nuklei. weitere Bezeichnungen die Vereinigung aller Kanten E(y), wobei E(y) B die Länge aller Kanten L(y), wobei 0 < L(y) <

9 Seite 9 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Bezeichnungen Bedingungen an den Poisson -Punktprozess n(y) d, wobei n(y) die Anzahl der Nuklei angibt y ist in allgemeiner quadratischer Position, d.h. es liegen keine k + 1 Nuklei in einem k 1 dim. Unterraum des R d, k = 2... d und auf der Oberfläche einer Kugel liegen keine d + 2 Nuklei. weitere Bezeichnungen die Vereinigung aller Kanten E(y), wobei E(y) B die Länge aller Kanten L(y), wobei 0 < L(y) <

11 Seite 11 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Daten Erfassung der Daten im Modell x B = x B wobei x ein Poisson Prozess auf dem R d ist. Ziel Konstruktion der Intensitätsfunktion von x, so dass diese in der Umgebung einer Menge E R d hoch ist.

12 Seite 12 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Daten Erfassung der Daten im Modell x B = x B wobei x ein Poisson Prozess auf dem R d ist. Ziel Konstruktion der Intensitätsfunktion von x, so dass diese in der Umgebung einer Menge E R d hoch ist.

13 Seite 13 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion der Intensitätsfunktion x i = z i + ɛ i z = {z i } ist ein inhomogener Poisson Prozess mit Intensitätsmaß Λ(dz) = ρdz auf der Menge E für gegebenes y. ɛ i iid ZV, unabh von z und ɛ i N(0, σ 2 I d ) sind Störgrößen unter diesen Annahmen erhält man die Intensitätsfunktion χ E (x Λ, h) = h(x z)λ(dz) wobei h die Dichte von ɛ ist. E

14 Seite 14 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion der Intensitätsfunktion x i = z i + ɛ i z = {z i } ist ein inhomogener Poisson Prozess mit Intensitätsmaß Λ(dz) = ρdz auf der Menge E für gegebenes y. ɛ i iid ZV, unabh von z und ɛ i N(0, σ 2 I d ) sind Störgrößen unter diesen Annahmen erhält man die Intensitätsfunktion χ E (x Λ, h) = h(x z)λ(dz) wobei h die Dichte von ɛ ist. E

15 Seite 15 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Vereinfachung der Intensitätsfunktion χ E (x ρ, σ 2 ) = ρ x z 2 (2πσ 2 ) d/2 exp( E 2σ 2 )dz = (2πσ 2 ) (d 1)/2 ρ e E i(σ 2, e, x) wobei e E eine bel. Kante ist und dz das Hausdorff-Maß. Mit der orthogonalen Projektion p e auf e und dem Satz von Pythagoras folgt die letzte Gleichung.

16 Seite 16 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Abbildung: Plot der Intensitätsfunktion χ E (x ρ, σ 2 ) beschränkt auf B = [0, 10] 2, zu einem gegebenen Voronoi-Mosaik (erzeugt durch einen homogenen Poisson-Punktprozess mit Intensität λ = 0.16 auf B) mit σ = 0.4 und ρ = 2.

17 Seite 17 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Bayes Theorem wobei q(θ x 1,..., x n ) = L(θ x 1,..., x n )q(θ) f (x 1,..., x n ) q(θ x 1,..., x n ) die a-posteriori Dichte von θ, L(θ x 1,..., x n ) die Likelihood-Funktion, q(θ) die a-priori Dichte und f (x 1,..., x n ) = Θ L(θ x 1,..., x n )q(θ)dθ die Randdichte der Daten (x 1,..., x n ) ist.

18 Seite 18 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Bayes Theorem Im Folgenden betrachten wir nur Proportionalität (keine Gleichheit) f (x 1,..., x n ) ist im Bezug auf θ eine Konstante Damit erhalten wir die Vereinfachung der Bayes Formel zu q(θ x 1,..., x n ) L(θ x 1,..., x n )q(θ)

19 Seite 19 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion der Likelihood-Funktion Definition Die Menge aller lokal endlichen Punktkonfigurationen ist definiert durch N lf = { x R d : n(x B ) <, beschränkten B R d} die leere Punktkonfiguration wird mit bezeichnet. Die zugehörige σ-algebra N lf ist die kleinste σ-algebra von Teilmengen von N lf, so dass für jedes lokal endliche Zählmaß ϕ die Abbildung ϕ ϕ(b) messbar ist beschränkten B

20 Seite 20 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion der Likelihood-Funktion Definition Die Menge aller lokal endlichen Punktkonfigurationen ist definiert durch N lf = { x R d : n(x B ) <, beschränkten B R d} die leere Punktkonfiguration wird mit bezeichnet. Die zugehörige σ-algebra N lf ist die kleinste σ-algebra von Teilmengen von N lf, so dass für jedes lokal endliche Zählmaß ϕ die Abbildung ϕ ϕ(b) messbar ist beschränkten B

21 Seite 21 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion der Likelihood-Funktion Sei B N lf und B ein Fenster das B enthält x Poisson Prozess mit Intensitätsmaß µ 1 ( B) = B λ 1(x)dx Q Verteilung eines Poisson Prozesses mit Intensitätsmaß µ 2 ( B) = B λ 2(x)dx existiere die Dichte f von x bezüglich der Verteilung Q P(x B) = f ({x 1... x n })Q(d({x 1... x n })) = B exp( µ 2 ( B))... 1 B ({x 1... x n }) n! n=0 B B n f ({x 1... x n }) λ 2 (x i )dx 1... dx n i=1

22 Seite 22 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion der Likelihood-Funktion Es gelte, dass λ 1 (x i ) > 0 stets λ 2 (x i ) > 0 impliziert, dann erhalten wir die Dichte f (x) bezüglich des zweiten Poisson Prozesses f (x) = exp(µ 2 ( B) µ 1 ( B)) x i x λ 1 (x i ) λ 2 (x i ) (1) wobei i = 1,..., n und x = {x 1... x n }

23 Seite 23 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion der Likelihood-Funktion full Likelihood Die Dichte von x bezüglich eines Poisson Prozesses mit Intensitätsfunktion λ 2 (x i ). Mit (1) erhalten wir: l(ρ, σ 2, y x) = [ x i x χ E (x i ρ, σ 2 ) λ 2 (x i ) ] exp(µ( B) ρl(y)) Setze λ 2 (x i ) = 1 B. [ ] l(ρ, σ 2, y x) χ E (x i ρ, σ 2 ) exp( ρl(y)) x i x

24 Seite 24 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion der Likelihood-Funktion full Likelihood Die Dichte von x bezüglich eines Poisson Prozesses mit Intensitätsfunktion λ 2 (x i ). Mit (1) erhalten wir: l(ρ, σ 2, y x) = [ x i x χ E (x i ρ, σ 2 ) λ 2 (x i ) ] exp(µ( B) ρl(y)) Setze λ 2 (x i ) = 1 B. [ ] l(ρ, σ 2, y x) χ E (x i ρ, σ 2 ) exp( ρl(y)) x i x

25 Seite 25 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 a-priori Dichten Wir nehmen an, dass y ein homogener Poisson Prozess auf B ist mit Intensität λ und dass ρ, σ 2 und y unabhängig sind. Weiter sei: ρ U(0, ρ max ), ρ max > 0, d.h. ρ hat die Dichte f ρ (x) 1 [0 < x < ρ max ] σ U(0, σ max ), σ max > 0, d.h. σ 2 hat die Dichte f σ 2(x) 1 x 1 [0 < x < σ max] λ U(0, λ max ), λ max > 0, d.h. λ hat die Dichte f λ (x) 1 [0 < x < λ max ]

26 Seite 26 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 a-priori Dichten Die bedingte Dichte des Poisson Prozesses y auf B unter den Bedingungen λ und n(y) d ist gegeben durch: f λ (y n(y) d) = λ n(y) exp((1 λ) B ) 1 exp( λ B ) d 1 i=0 (λ B ) i /i!

27 Seite 27 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 a-posteriori Dichte Auf Grund der Unabhängigkeit von ρ, σ 2 und y gilt für die a-priori Dichte f ρ,σ 2,y = f ρ f σ 2f λ (y n(y) d) Das Theorem von Bayes liefert nun folgende a-posteriori Dichte f (ρ, σ 2, λ, y, x B c x B ) f ρ f σ 2f λ (y n(y) d)l(ρ, σ 2 y x)

28 Seite 28 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Markov-Ketten-Monte-Carlo Simulation Metropolis-Hastings Algorithmus Der Metropolis-Hastings Algorithmus ist ein Algorithmus zur Erzeugung einer Markov-Kette X n : 1. Schritt: Initialisiere X 0 und setze n = 0 2. Schritt: erzeuge einen Kandidaten Y mit vorgegebener Verteilung q( X n ) 3. Schritt: akzeptiere { Y mit Wahrscheinlichkeit } α(x n, Y ) = min 1, f (Y )q(xn Y ) f (X n)q(y X n) 4. Schritt: erzeuge eine ZV U U(0, 1): falls U α wird Y akzeptiert, d.h. setze X n+1 = Y ansonsten setze X n+1 = X n

32 Seite 32 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Updates der einzelnen Parameter Ein Zustand der Markov-Kette besteht aus dem Parameter-Tupel (ρ, σ 2, λ, y, x B c ) Um in den nächsten Zustand zu gelangen erfolgt für jeden Parameter einzeln ein Update. Auf die einzelnen Updates wollen wir an dieser Stelle nicht näher eingehen, mit einer Ausnahme:

33 Seite 33 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Updates für y Es gibt drei mögliche Updates für y: Vorschlag für die Geburt eines Punktes mit Geburtswahrscheinlichkeit q Vorschlag für den Tod eines Punktes mit Sterbewahrscheinlichkeit q Vorschlag für die Bewegung eines Punktes, d.h. Geburt und Tod gleichzeitig, mit Wahrscheinlichkeit 1 2q wobei 0 < q 0.5 beliebig aber fest vorgegeben.

34 Seite 34 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Vorschlag für die Geburt eines Punktes y y {ξ} Punkt ξ wird gleichverteilt auf B zu dem Poisson Prozess y hinzugefügt. Der neu entstandene Poisson Prozess wird mit Wahrscheinlichkeit min {1, H(y; ξ)} akzeptiert, wobei H(y; ξ) = λ B [ ] χ E(y {ξ}) (x i ρ, σ 2 ) n(y) + 1 χ E(y) (x i ρ, σ 2 exp(ρ(l(y) L(y {ξ}))) ) x i x

35 Seite 35 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Vorschlag für den Tod eines Punktes y y \ {η} Ein Punkt η wird gleichverteilt von y ausgewählt und gelöscht. Der neue entstandene Poisson { Prozess } wird mit 1 Wahrscheinlichkeit min 1, H(y\{η};η) akzeptiert.

36 Seite 36 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Vorschlag für die Bewegung eines Punktes y (y \ {η}) {ξ} η wird gleichverteilt aus y ausgewählt und durch ξ ersetzt, wobei ξ d-dim. normalverteilt um den erwarteten Punkt η. Die Akzeptanzwahrscheinlichkeit { des neuen } Poisson Prozesses ist 0, falls ξ / B und min sonst. 1, H(y\{ξ};η) H(y\{η};ξ)

37 Seite 37 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion des Voronoi-Mosaiks Der Einfachheit halber konstruieren wir ein Delaunay-Mosaik und erhalten damit auch das Voronoi-Mosaik

38 Seite 38 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion des Voronoi-Mosaiks Geburtsvorschlag eines Punktes Ein neuer Punkt ξ wird gleichverteilt in das Mosaik eingefügt Finde die Zelle, die ξ enthält

39 Seite 39 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion des Voronoi-Mosaiks Geburtsvorschlag eines Punktes Verbinde ξ mit allen Eckpunkten der Zelle, die ξ enthält

40 Seite 40 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion des Voronoi-Mosaiks Geburtsvorschlag eines Punktes Überprüfe, ob die drei neu entstandenen Zellen die Umkreiseigenschaft erfüllen Falls nicht alle drei Zellen diese erfüllen folgen Flip Operationen

41 Seite 41 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion des Voronoi-Mosaiks Geburtsvorschlag eines Punktes Durch Kanten-Flip Operationen entstehen zwei neue Zellen

42 Seite 42 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion des Voronoi-Mosaiks Geburtsvorschlag eines Punktes Überprüfe die neu entstandenen Zellen auf die Umkreiseigenschaft Ist diese nicht erfüllt folgen weitere Flip Operationen

43 Seite 43 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion des Voronoi-Mosaiks Todesvorschlag eines Punktes Ein Punkt η wird gleichverteilt aus den Nuklei gewählt und verworfen Jetzt folgen Kanten-Flip Operationen in umgekehrter Reihenfolge zum Geburts-Prozess

44 Seite 44 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Konstruktion des Voronoi-Mosaiks Todesvorschlag eines Punktes Überprüfe wiederum ob die Umkreiseigenschaft aller Zellen erfüllt ist Falls n(y \ {η}) < d wird das neue Mosaik nicht akzeptiert, d.h. das Mosaik bleibt unverändert

46 Seite 46 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Beispiel: Rekonstruktion von Dachsgebieten Tiergebiete werden oft durch Voronoi-Mosaike modelliert. Dieses Beispiel handelt von der Rekonstruierung der Dachsgebiete durch Latrinenpositionen unter der Annahme, dass die Dachse ihre Latrinen in der Nähe der Grenze ihres Gebietes bauen. Der Datensatz enthält 124 Latrinenorte, die in Vythan Woods, Oxford, UK beobachtet worden sind.

47 Seite 47 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 A-priori-Verteilung λ, ρ, σ 2 seien unabhängig und identisch verteilt. ρ U(0, 1000) σ U(0, 1000) λ U(0, 1000) Die Anzahl der generierten Punkte im Voronoi-Mosaik sei unbekannt, d.h. die Anzahl der Dachsgebiete ist unbekannt. B = [0, 10] 2

48 Seite 48 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Realisation des Voronoi Mosaiks nach verschiedenen Iterationsschritten Abbildung: Bild 1: a-posteriori-kanten-intensität mit den Dachsdaten. Bild 2: Voronoi-Mosaik nach Iterationsschritt Bild 3: Voronoi-Mosaik nach Iterationsschritt Bild 4: Voronoi-Mosaik nach Iterationsschritt

49 Seite 49 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Trace-plots Abbildung: Trace-plots von n(y), n(x), λ, ρ als Funktion der Iterationszahl.

50 Seite 50 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Vergleich der beobachteten Dachsdaten mit den realisierten Daten Abbildung: oben links: Dachsdaten. Restliche drei Bilder: Realisierung der Daten mit Hilfe der a-posteriori-verteilung

51 Seite 51 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Ripley s K-Funktion K : [0, ) [0, ) mit λk(r) = E [Φ(b(0, r)) \ {0} 0] wobei r 0, Φ Punktprozess falls Φ ein homogener Poisson-Prozess mit Intensität λ ist gilt: λk(r) = λπr 2

52 Seite 52 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 L-Funktion L : [0, ) [0, ) mit L(r) = K(r), r 0 falls Φ ein homogener Poisson-Prozess mit Intensität λ ist gilt: L(r) = r π

53 Seite 53 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Plot von ˆL(r) r Abbildung: Plot von ˆL(r) r als Funktion des Abstandes. Schwarze Linie: beobachtete Daten, gestrichelte Linie: Durchschnittswert von ˆL(r) r, blaue Linie: dazugehörige 2.5% Quantile, gepunktete Linie: Poisson-Fall.

54 Seite 54 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Fazit Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass unser Modell die Realität nicht vollständig erfasst. Die Abweichungen kommen daher, dass wir nur sehr wenig Informationen haben und vieles auf Annahmen aufbaut. Trotzdem wird dieses Modell auch in anderen Gebieten angewandt, z.b. in der Kosmologie, um die räumliche Verteilung der Galaxien zu untersuchen.

55 Seite 55 Punktprozesse in der Umgebung von Voronoi-Mosaiken Judith Schmidt und Bettina Hund 02 Juli 2008 Literatur O. Skare, J. Møller, E. Vedel Jensen: Bayesian analysis of spatial point processes in the neighbourhood of Voronoi networks J. Møller, R. Waagepetersen: Statistical Inference and Simulation for Spatial Point Processes Prof. Dr. V. Schmidt: Vorlesungsskript WS 2007/08 Räumliche Statistik W. Gilks, S. Richards, D. Spiegelhalter: Markov Chain Monte Carlo in Practice Internet: 04/seminar03 04/vortrag rt.pdf