Markierte Punktprozesse und abstrakte kollektive Modelle

Transkript

1 Festkolloquium 20 Jahre (neue) Versicherungsmathematik an der TU Dresden Markierte Punktprozesse und abstrakte kollektive Modelle Anke Todtermuschke 21. Oktober 2011

2 Gliederung 1 Modellierung einer Folge von Schäden durch einen markierten Punktprozess (MPP) 2 Der Zusammenhang zwischen einem abstrakten kollektiven Modell und einem markierten Punktprozess 3 Ein spezieller markierter Punktprozess 4 Zusammenfassung und Ausblick

3 Modellierung Schadenfolge Gliederung 1 Modellierung einer Folge von Schäden durch einen markierten Punktprozess (MPP) 2 Der Zusammenhang zwischen einem abstrakten kollektiven Modell und einem markierten Punktprozess 3 Ein spezieller markierter Punktprozess 4 Zusammenfassung und Ausblick

4 Modellierung Schadenfolge allgemeiner Hintergrund Versicherung besitzt Portfolio von Risiken Modellierung der eintretenden Schäden neben Schadeneintrittszeitpunkt besitzt jeder Schaden weitere Merkmale, z.b. Schadenhöhe oder Meldedauer Annahme, dass Schäden nacheinander eintreten, sonst Betrachtung von Schadenereignissen

5 Modellierung Schadenfolge Der einfache Punktprozess Es sei (Ω, F, P ) ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum. Definition Eine Folge {τ n } n N von R + -wertigen Zufallsvariablen heißt einfacher Punktprozess, wenn sie die folgenden drei Eigenschaften erfüllt: (1) P[{0 < τ 1 τ 2...}] = 1, (2) P[{τ n < τ n+1 } {τ n < }] = P[{τ n < }] für alle n N, (3) P[{ lim n τ n = }] = 1. Interpretation: Eintrittszeitpunkte der Schäden

6 Modellierung Schadenfolge abgeleitete Größen Zunächst definieren wir die Familie {η t } t R+ durch η t (ω) := χ {τj t}(ω) j=1 mit η t (ω) =, falls τ j t ist für unendlich viele j N. Des Weiteren leiten wir die Zufallsgröße η durch η(ω) := sup η n (ω) n N ab und nennen sie die Gesamtschadenzahl.

7 Modellierung Schadenfolge Der markierte Punktprozess Es sei E eine beliebige Menge. (E, E) sei ein Messraum mit E E Markenraum E \ E sei ein beliebiges Element irrelevante Marke Nun definieren wir den Messraum (E, E ) durch E := E { }, ( E := σ E { { } }).

8 Modellierung Schadenfolge Der markierte Punktprozess Definition {τ n } n N sei ein einfacher Punktprozess und {ζ n } n N eine Folge E -wertiger Zufallsgrößen. Die Folge der Zufallspaare {(τ n, ζ n )} n N heißt markierter Punktprozess mit dem Markenraum E, wenn folgende Eigenschaften für alle n N erfüllt sind: (1) P[{ζ n E} {τ n < }] = P[{τ n < }], (2) P[{ζ n = } {τ n = }] = P[{τ n = }]. Interpretation: Eintrittszeitpunkte und Merkmale der Schäden Idee: Einteilung der Schäden in Kategorien

9 Modellierung Schadenfolge Die Zerlegung des MPP Sei m N und die Familie {C i } i {1,...,m} B(R + ) E eine Zerlegung des Raumes R + E. Wir definieren nun für alle i {1,..., m} und alle j N 0 die Abbildung ν i j : Ω N 0 { }: ν i 0(ω) := 0, ν i j(ω) := inf { k N ν i j 1(ω) < k und (τ k, ζ k )(ω) C i } für j N (mit νj i(ω) =, wenn (τ k, ζ k )(ω) / C i für alle k N mit νj 1 i (ω) < k gilt).

10 Modellierung Schadenfolge Die Zerlegung des MPP Anschließend definiert man die Folge {(τ i j, ζi j )} j N durch: (τ i j, ζ i j)(ω) := { (τ k, ζ k )(ω) falls νj i (ω) = k mit k N, (, ) falls νj i(ω) = für ω Ω. Satz {(τ i j, ζi j )} j N ist ein MPP. Für beliebiges i {1,..., m} kann man analog zu erst die Familie {ηt} i t R+ und die Größe η i ableiten.

11 Zshg. zwischen AKM und MPP Gliederung 1 Modellierung einer Folge von Schäden durch einen markierten Punktprozess (MPP) 2 Der Zusammenhang zwischen einem abstrakten kollektiven Modell und einem markierten Punktprozess 3 Ein spezieller markierter Punktprozess 4 Zusammenfassung und Ausblick

12 Zshg. zwischen AKM und MPP Ein abstraktes kollektives Modell Es sei ein abstraktes kollektives Modell gegeben, wobei N, {(T j, Z j )} j N N eine diskrete Zufallsgröße mit Werten in N 0 sei, {(T j, Z j )} j N eine Folge von Zufallsgrößen mit Werten in R + E sei und für alle t R + die Gleichung P [{T = t}] = 0 gelte. D. h., die Folge {(T j, Z j )} j N ist i.i.d. und unabhängig von N.

13 Zshg. zwischen AKM und MPP Konstruktion der Folge {(T (j), Z (j) )} j N Es sollen jetzt die ersten N Paare der Folge {(T j, Z j )} j N nach der Größe der ersten Koordinate geordnet werden. Dazu definieren wir für jedes n N und i {1,..., n} die Zufallsvariable: R n i := inf{j {1,..., n} R n k j für alle k < i, T n:j = T i }. Wir konstruieren nun die Folge {(T (j), Z (j) )} j N : n χ {R n (T (j), Z (j) ) := k =j} (T k, Z k ) χ {N=n} j N, n=j k=1 (, ) j > N.

14 Zshg. zwischen AKM und MPP Zusammenhang zum MPP Satz {(T (j), Z (j) )} j N ist ein MPP. Leiten wir wie erst die Familie {N t } t R+ durch N t := j=1 χ {T(j) t} ab, dann gilt sup N n = N. n N

15 Zshg. zwischen AKM und MPP Zerlegung des AKM Die Familie {C i } i {1,...,m} B(R + ) E sei definiert wie erst. Zusatzannahme: Es gelte für alle i {1,..., m} P [{(T, Z) C i }] (0, 1). Für alle i {1,..., m} sei N N i := χ {(Tj,Z j ) C i }. j=1

16 Zshg. zwischen AKM und MPP Die Zerlegung des AKM Nun definieren wir für alle i {1,..., m} und alle j N 0 die Abbildung ν i;j : Ω N 0 { }: ν i;0 (ω) := 0, ν i;j (ω) := inf{k N ν i;j 1 (ω) < k und (T k, Z k )(ω) C i } für j N (mit ν i;j (ω) =, wenn (T k, Z k )(ω) / C i für alle k N mit ν i;j 1 (ω) < k gilt).

17 Zshg. zwischen AKM und MPP Die Zerlegung des AKM Wir definieren nun die Folge {(T i;j, Z i;j )} j N wie folgt. Sei (t, z) R + E beliebig gewählt. Für alle i {1,..., m}, j N und ω Ω sei { (T k, Z k )(ω) falls ν i;j (ω) = k mit k N, (T i;j, Z i;j )(ω) := (t, z) falls ν i;j (ω) =. Für alle i {1,..., m} und alle j N gilt: (T i;j, Z i;j ) ist eine Zufallsgröße mit Werten in R + E. P [{(T i;j, Z i;j ) C i }] = 1.

18 Zshg. zwischen AKM und MPP Eigenschaften der Zerlegung Satz Für jedes i {1,..., m} ist das Paar N i, {(T i;j, Z i;j )} j N ein abstraktes kollektives Modell mit P [{(T i;j, Z i;j ) D}] = P [{(T, Z) D} {(T, Z) C i }] für alle j N und D B(R + ) E.

19 Zshg. zwischen AKM und MPP Zusammenhang Idee: MPP {(T (j), Z (j) )} j N zerlegen ordnen abstraktes kollektives Modell N, {(T j, Z j )} j N zerlegen MPP {(T i (j), Zi (j) )} j N ordnen abstraktes kollektives Modell N i, {(T i;j, Z i;j )} j N

20 Ein spezieller MPP Gliederung 1 Modellierung einer Folge von Schäden durch einen markierten Punktprozess (MPP) 2 Der Zusammenhang zwischen einem abstrakten kollektiven Modell und einem markierten Punktprozess 3 Ein spezieller markierter Punktprozess 4 Zusammenfassung und Ausblick

21 Ein spezieller MPP verallgemeinerter inhomogener PP Definition Ein Schadenzahl-Prozess {N t } t R+ heißt verallgemeinerter inhomogener Poisson-Prozess, wenn für beliebiges n N und alle t 0, t 1,..., t n R + mit 0 = t 0 < t 1 <... < t n, sowie k 1,..., k n N 0 n P [ {N tj N tj 1 = k j }] = j=1 gilt, wobei R n j=1 ( e α µ[(t j 1,t j ]] α µ[(tj 1, t j ]] ) k j k j! dq(α) Q : B(R) [0, 1] eine beliebige Verteilung mit Q[(0, )] = 1 und α dq(α) < und R µ : B(R + ) [0, ] ein Maß mit der Eigenschaft, dass für alle s, t R + die Bedingungen µ[(s, t]] < und µ[{s}] = 0 erfüllt sind, sei.

22 Ein spezieller MPP verallgemeinerter inhomogener PP Spezialfälle: homogener PP mit Parameter λ (0, ) inhomogener PP mit Intensitätsfunktion λ : R + R + gemischter PP bzgl. der Verteilung Q µ Q λ λ δ 1 λ(r) dλ(r) λ δ1 Q

23 Ein spezieller MPP Modellannahmen Annahmen: 1 Es sei {N t } t R+ ein verallgemeinerter inhomogener Poisson-Prozess bzgl. einer Verteilung Q und mit einem endlichem Intensitätsmaß µ. Für alle n N und ω Ω sei T n (ω) definiert durch mit inf :=. T n (ω) := inf{t R + N t (ω) n} {T n } n N ist ein einfacher Punktprozess.

24 Ein spezieller MPP Die Modellannahmen 2 Weiterhin sei eine Folge von Zufallsgrößen {Zn} o n N mit Werten in E gegeben mit den Eigenschaften: (i) Die Folge sei σ ({T n } n N )-bedingt unabhängig. (ii) Für alle n N und alle B E gelte: P [{Zn o B} σ ({T n } n N )] = P [{Zn o B} σ(t n )]. (iii) Es existiere ein Markov-Kern K : R + E [0, 1], der für alle n N eine bedingte Verteilung von Zn o unter der Hypothese ist, dass T n = t ist. Für alle n N und ω Ω definieren wir Z n (ω) durch { Z o Z n (ω) := n(ω) falls T n (ω) <, falls T n (ω) =. {(T n, Z n )} n N ist ein MPP.

25 Ein spezieller MPP Die Zerlegung des speziellen MPP Idee: Ausnutzung des Zusammenhangs zwischen einem MPP und einem abstrakten kollektiven Modell. Problem: Existiert auf (Ω, F, P ) ein AKM, aus dem sich mittels der Konstruktion gerade der spezielle MPP herleiten lässt?

26 Ein spezieller MPP Die Zerlegung des speziellen MPP Ausweg: Konstruktion eines neuen Wahrscheinlichkeitsraumes (ˆΩ, ˆF, ˆP ) MPP {(T j, Z j)} j N zerlegen Kopie MPP {( ˆT (j), Ẑ(j))} j N ordnen zerlegen abstraktes kollektives Modell ˆN, {( ˆTj, Ẑj)} j N zerlegen MPP {(T i j, Z i j)} j N Kopie MPP {( ˆT i (j), Ẑi (j))} j N ordnen abstraktes kollektives Modell ˆNi, {( ˆT i;j, j N Ẑi;j)}

27 Ein spezieller MPP Die Zerlegung des speziellen MPP Ergebnisse: Die Verteilung der markierten Punktprozesse {(T i j, Zi j )} j N konnte bestimmt werden. Die aus den markierten Punktprozessen abgeleiteten Prozesse {Nt i } t R+ sind selbst verallgemeinerte inhomogene Poisson-Prozesse. Im Spezialfall, dass {N t } t R ein inhomogener Poisson-Prozess ist, sind auch die Prozesse {N i t } t R+ inhomogene Poisson-Prozesse.

28 Zusammenfassung und Ausblick Gliederung 1 Modellierung einer Folge von Schäden durch einen markierten Punktprozess (MPP) 2 Der Zusammenhang zwischen einem abstrakten kollektiven Modell und einem markierten Punktprozess 3 Ein spezieller markierter Punktprozess 4 Zusammenfassung und Ausblick

29 Zusammenfassung und Ausblick Schlussbemerkungen Modellierung von Schäden durch einen MPP Betrachtung des Zusammenhangs zwischen einem AKM und einem MPP Untersuchung der Zerlegung eines speziellen MPP s mittels dieses Zusammenhangs bisher keine Annahmen bzgl. der Struktur des Markenraums Untersuchung spezieller Strukturen Berücksichtigung von Abhängigkeiten zwischen den Merkmalen Funktioniert die Vorgehensweise auch unter anderen Verteilungsannahmen?

30 Schlussbemerkungen Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

31 Literatur Hess, K. Th.: Random Partitions of Samples. In: Dresdner Schriften zur Versicherungsmathematik 1/2000 Jacobsen, M., Point Process Theory and Applications - Marked Point and Piecewise Deterministic Processes. Boston - Basel - Berlin, Birkhäuser, 2006 Larsen, C.R.: An individual claims reserving model. In: ASTIN Bulletin 37 (2007), p Norberg, R.: Prediction of outstanding liabilities in non-life insurance. In: ASTIN Bulletin 23 (1993), p Norberg, R.: Prediction of outstanding liabilities II. In: ASTIN Bulletin 29 (1999), p.5-25 Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V. und Teugels, J.: Stochastic Processes for Insurance and Finance. Chichester - New York - Weinheim, Wiley, 1999 Schmidt, K.D.: Lectures on Risk Theory. Stuttgart, Teubner, 1996