Grundlagen der Versicherungsproduktion
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- Helga Kappel
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1 Grundlagen der Versicherungsproduktion Dr. Andrea Boos Bitte beachten Sie, dass dieser Foliensatz in keiner Weise den Besuch der Vorlesung ersetzen kann. Die Folien bilden das Gerüst für die Vorlesung und werden in den Veranstaltungen um wesentliche Inhalte und Beispiele ergänzt. Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 1
2 1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen 1.1. Stochastische Prozesse Charakteristika der Dienstleistung Versicherung: zeitraumbezogen (Zeit) und stochastisch (Zufall) Modellierung: dynamische und stochastische Beschreibungsmodelle Stochastische Prozesse Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 2
3 Denn: stochastische Prozesse modellieren stochastische Zeitabläufe. Beispiel: (endliche) Zeitreihe x 1 = x(t 1 ), x 2 = x(t 2 ),..., x n = x(t n ), wobei x i der Wert einer Zufallsgröße zum Zeitpunkt t i ist, also z.b.: Schadenzahl einer versicherungstechnischen Einheit in gleichlangen Beobachtungsintervallen oder Gesamtschadensumme eines Kollektivs zu bestimmten Zeitpunkten. Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 3
4 Abb. 1.1.: Zeitreihe N(t i ) t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 4
5 Zeitreihe (Abb. 1.1.) ist Beispiel für stochastischen Prozess {N(t i ) i} mit diskretem Zeitparameter t. Beispiel für einen stochastischen Prozess {X(t) t 0} mit stetigem Zeitparameter t: die Gesamtschadensumme eines Kollektivs im Zeitintervall [0,t] (Abb. 1.2.). Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 5
6 Abb. 1.2.: stochastischer Prozess X(t) t 1 t 2 t 3 t 4 t Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 6
7 Es sei N(t) die Anzahl der Schäden im Zeitintervall [0,t]. Dann geben die Realisationen des stochastischen Prozesses {N(t)t 0} eine Antwort auf die Frage: Wieviele Schäden sind im Zeitintervall [0,t] eingetreten? Die Realisationen des Schadenzahlprozesses können in Form von Punktprozessen bzw. Zählprozessen abgebildet werden. Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 7
8 Der Punktprozess bildet Eintrittszeitpunkte t i der zufälligen Ereignisse (Schäden) ab, der zugehörige Zählprozess gibt an, wieviele zufällige Ereignisse (Schäden) innerhalb eines bestimmten Zeitintervalles eingetreten sind. Der Zählprozess ist also die Summe der zufälligen Ereignisse eines Punktprozesses. Abb. 1.3.: Punktprozess n(t i ) 1 t 1 t 2 t 3 t 4 t Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 8
9 Abb. 1.4.: Zählprozess n(t i ) t 1 t 2 t 3 t 4 t Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 9
10 Charakteristika stochastischer Prozesse bzw. von Punkt- und Zählprozessen sind die Eigenschaften der Zuwächse eines Zählprozesses Für s < t ist N(t) N(s) die Anzahl der Schäden im Zeitintervall (s,t]. Insb.: N 1 = N(1) N(0), N 2 = N(2) N(1),... N 1, N 2, N 3,... modelliert die Schadenzahl eines Versicherungsnehmers oder eines Kollektivs im Jahr 1, 2, 3,... Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 10
11 Sind für alle disjunkten Zeitintervalle (t i-1,t i ], i = 1,..., n, die Zuwächse N(t i ) N(t i-1 ) stochastisch unabhängig, d.h. Schadenzahl im Jahr t i-1 beeinflusst Schadenzahl im Jahr t i nicht, dann ist dies ein Prozess mit Unabhängigen Zuwächsen Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen lassen epidemische Effekte (Wahrscheinlichkeitsansteckung) oder Lerneffekte ( aus Schaden wird man klug ) nicht zu. Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 11
12 Ist die Wahrscheinlichkeit von n Schäden in einem Zeitintervall nur abhängig von der Länge des Intervalls, nicht aber von dessen Lage auf der Zeitachse ( Stationarität in der Zeit ), d.h., ist die Eintrittswahrscheinlichkeit von Schäden im Sommer im Vergleich zum Winter gleich, dann ist dies ein Prozess mit stationären Zuwächsen (homogenen Zuwächsen) Gegenbeispiel: Wahrscheinlichkeit von Waldbränden oder die bei winterlichen Straßenverhältnissen höhere Unfallwahrscheinlichkeit Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 12
13 Die Zuwächse N(t + h) N(s + h) haben für alle h 0 die gleiche Verteilung wie N(t) N(s) für alle s t, d.h. h h ( ] ( ] s t s+h t+h Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 13
14 Ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem kleinen Zeitintervall mehr als ein Ereignis eintritt, klein im Vergleich zur Länge des betrachteten Zeitintervalls, d.h. es gibt keine Massenkarambolagen, also mehrere Schadenereignisse gleichzeitig, dann ist dies ein Regulärer Prozess Folge: Der zu einem regulären Prozess zugehörige Zählprozess ist eine Treppenfunktion mit Sprunghöhe 1 (vgl. Abb und 1.4.). Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 14
15 Sind in einem Zeitpunkt mehrere Ereignisse möglich, ist die Höhe der Treppenstufe im Zählprozess also nicht mehr notwendigerweise gleich 1, erhält man Modelle für die Schadensumme bzw. den Gesamtschaden in einem Kollektiv innerhalb bestimmter Zeitintervalle oder für das Phänomen der Massenkarambolage, das durch das zeitgleiche Eintreten mehrerer zufälliger Ereignisse (Schäden) charakterisiert ist. Modellierung: Verallgemeinerter Punktprozess Verallgemeinerter Zählprozess Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 15
16 Abb. 1.5.: Verallgemeinerter Punktprozess n(t i ) t 1 t 2 t 3 t 4 t Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 16
17 Abb. 1.6.: Verallgemeinerter Zählprozess n(t i ) t 1 t 2 t 3 t 4 t Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 17
18 1.2. Homogener Poisson-Prozess und gemsichter Poisson- Prozess Ein Zählprozess {N(t) t 0} heißt homogener Poisson-Prozess, wenn 1. N(0) = 0 2. N(t) besitzt unabhängige Zuwächse, 3. N(t) besitzt stationäre Zuwächse, 4. N(t) ist ein regulärer Prozess, 5. für alle t > 0 gilt: 0 < P(N(t) > 0) < 1. Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 18
19 Aus diesen Axiomen kann gefolgert werden, dass es eine Konstante > 0 gibt, mit P(N(t) n) e t ( t) n n! Die Anzahl der Schäden im Intervall [0,t] folgt somit einer Poisson- Verteilung: E(N(t)) = Var(N(t)) = t Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 19
20 Zu den Bedingungen 1. bis 5.: 1. Normierung 2. unabhängige Zuwächse, also keine Kettenreaktionen, 3. stationäre Zuwächse, also Ausschluss saisonaler Effekte, 4. regulärer Prozess, also Ausschluss multipler Ereignisse, 5. im Intervall [0,t] kann ein Schaden eintreten, muss aber nicht. Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 20
21 Gemischter Poisson-Prozess Erweiterung des homogenen Poisson-Prozesses: Heterogenitätsmodell oder Modell der schwankenden Grundwahrscheinlichkeiten homogene Kollektive sind durch für alle Risiken (versicherungstechnische Einheiten) identische Zufallsgesetzmäßigkeiten charakterisiert. Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 21
22 Jeder VN eines homogenen Kollektivs besitzt den gleichen Schadenerwartungswert, die gleiche Schadenvarianz usw.. Rechtfertigung homogener Kollektive: Die Kollektive werden auf der Basis objektiver, messbarer Kriterien, die ex ante bekannt sind also auf der Basis: objektiver Risikofaktoren bzw. Tarifvariablen, gebildet. Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 22
23 Subjektive Risikofaktoren, also solche Kriterien, die i.d.r. ex ante unbekannt sind, die meist nicht messbar sind, da an eine Person gebunden sind, bleiben bei dieser Form der Risikoklassifikation unberücksichtigt. Konsequenz: Die Kollektive sind nicht so homogen, wie unterstellt. Das Kollektiv ist relativ homogen bzgl. der objektiven Risikofaktoren. Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 23
24 Die individuellen Zufallsgesetzmäßigkeiten, der individuelle Schadenerwartungswert, die individuelle Schadenvarianz usw. sind nicht für alle Risiken des Kollektivs gleich, vielmehr rufen die unberücksichtigten Risikofaktoren eine beträchtliche Heterogenität in dem Kollektiv hervor. In einem homogenen Kollektiv ist die durchschnittliche Schadenzahl für alle Risiken des Kollektivs identisch. Liegt als Schadenzahlmodell der homogene Poisson-Prozess zugrunde, gilt für alle Risiken des homogenen Kollektivs pro Periode: E(N) = Var(N) =. Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 24
25 Um die durch subjektive Risikofaktoren hervorgerufene Heterogenität abzubilden, wird die durchschnittliche Schadenzahl als Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion U aufgefasst. Die Verteilungsfunktion U heißt: Strukturfunktion oder mischende Verteilung Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 25
26 1. Risiken eines homogenen Kollektivs sind identisch bzgl. der objektiven Risikofaktoren. Die vorhandene relative Homogenität wird durch eine für alle Risiken des Kollektivs identische Strukturfunktion modelliert. 2. Die durch subjektive Risikofaktoren hervorgerufene Heterogenität wird durch die für jedes Risiko unterschiedliche ex-post Ausprägung (Realisation) der Zufallsvariablen modelliert. spiegelt die individuelle Schadenneigung wieder. U(): Wählt man aus einem Kollektiv zufällig ein Risiko aus, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die individuelle Schadenneigung dieses Risikos kleiner oder gleich einem 0 ist, gerade gleich U( 0 ). Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 26
27 Für die Schadenzahlverteilung eines solchen Risikos gilt: P(N(t) n) 0 t n! n e t du( ) Falls U eine Dichte u besitzt: P(N(t) n) 0 t n! n e t u( ) d Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 27
28 Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 28 Ist die Strukturfunktion eine Gammaverteilung mit Dichte Dann gilt: 1 k c e k c ( 1 k) ) u( n k 1 k c k 0 n t n c t t t c c n 1 n k d e c (k) 1 n! t) ( e (t) p
29 Dies ist eine negative Binomialverteilung, mit E (N(t)) kt c Var(N(t)) kt c 1 t c Ein mit einer Gammaverteilung gemischter Poisson-Prozess heißt: Pólya-Prozess Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 29
30 1.3. Schadensummenverteilungen Exponentialverteilung nur ein Parameter, wenig flexibel, theoretisches Interesse (n-fache Faltung ist berechenbar, vgl. Kap Modelle des Gesamtschadens) f (x) 0 e x,, x x 0 0 F(x) 1 0 e x,, x x 0 0 E(X) 1 Var(X) 1 2 Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 30
31 Exponentialverteilung für = 2 Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 31
32 Logarithmische Normalverteilung Zufallsgröße X ist lognormalverteilt mit Parametern µ und σ 2, wenn die Zufallsvariable Y mit Y = logx normalverteilt mit Parametern µ und σ 2 ist. E(X) e E(Y) Var(X) e 2 2 e 2 1 Var(Y) 2 Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 32
33 Logarithmische Normalverteilung für verschiedene Parameter Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 33
34 Gammaverteilung hohe Flexibilität, 2 Parameter (a,b), für a = 1: Exponentialverteilung, häufige Anwendung z.b. als Strukturfunktion beim gemischten Poisson-Prozess (vgl. VT II, Kap und ) f (x) a b x (a) a1 e bx, x 0 E(X) a b und Var(X) a 2 b Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 34
35 Gammaverteilung für b = 1 und verschiedene a a = 1 a = 2 a = 5 a = 0,5 Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 35
36 Pareto-Verteilung logarithmische Form der Exponentialverteilung f (x) x 1 F(x) 1 x (x ) E(X) 1 Var(X) Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 36
37 Pareto-Verteilung für β = x 0 = 1000 und α = 3 Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 37
38 Betaverteilung Definitionsbereich: ]a,b[ mit Parametern p,q (p,q > 0). Sehr flexibel; Modell für Schadensatzverteilung, falls a = 0 und b = 1. Für a und b beliebig, ideal als Modell für den Gesamtschaden. f (x) 1 B(p, q) p1 x a b x pq1 b a q1 a x b; p,q,a,b 0 E(X) a p p q b a Var(X) b a 2 pq 2 p q p q 1 Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 38
39 Betaverteilung für verschiedene Verteilungsparameter Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 39
40 Normalverteilung: Gaußsche Glockenkurve. Normalverteilung hat zentrale Bedeutung als Schadensummen- und Gesamtschadenverteilung. (Zentraler Grenzwertsatz). Definitionsbereich: ]-,+ [ bzw. [0, + [. 2 Parameter: = E(S) und 2 = Var(S). Standardnormalverteilung: = 0 und = 1. Transformation u = (x-)/ führt jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung über. f (x) 1 2 e 2 x2 2 2 Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 40
41 Standardnormalverteilung Φ(0,1) Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 41
42 1.4. Gesamtschadenprozesse Möglichkeiten der Modellierung des Gesamtschadens bzw. der Gesamtentschädigung eines Versicherungsnehmers bzw. eines Kollektivs. 1. Diskrete Modellierung: S 1, S 2, S 3,..., S n Gesamtschaden im Jahr 1, 2, 3,..., n. Kritik: großer Informationsverlust bezüglich der Zusammensetzung des Gesamtschadens aus Schadenzahl und Einzelschadenhöhe. Darüber hinaus werden Schwankungen innerhalb einzelner Perioden nicht erfasst. Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 42
43 2. Zeitstetige Modellierung: S(t) Gesamtschaden im Zeitintervall [0,t] Zusammenhang zwischen diskreter und zeitstetiger Modellierung: Betrachte Zuwächse: S(t) S(t-1) = Gesamtschaden in der Periode t, d.h. aus zeitstetiger Modellierung folgt die diskrete Modellierung des Gesamtschadens. Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 43
44 3. zeitstetige Modellierung unter Berücksichtigung der Komponenten des Gesamtschadens, der Schadenzahl und der Schadensumme Es sei: N(t) Schadenzahlprozess X i Höhe des i-ten Schadens. Dann ist der Gesamtschaden S(t) die Summe der Einzelschäden X i: N(t) S(t) X i i0 Problem: doppelt stochastische Summe Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 44
45 Beachte: Schadenhöhe ist zeitunabhängig, d.h. z.b. inflations- oder trendbereinigt. Realisationen eines Gesamtschadenprozesses S(t) darstellbar als verallgemeinerte Punkt- und Zählprozesse. Stochastische Gesetzmäßigkeit von S(t)? Annahmen: 1. Schadenhöhe zeitunabhängig 2. Einzelschadenhöhen X i sind i.i.d. (identically, independent distributed), X ~ F 3. Schadenzahl N und Schadenhöhe X sind stochastisch unabhängig Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 45
46 P(S(t) 1000) =? Das Ereignis, dass die Gesamtschadensumme im Zeitintervall [0,t] kleiner gleich ist, kann auf verschiedene Weise eintreten: 1. im Zeitintervall [0,t] kein Schaden oder 2. im Zeitintervall [0,t] ein Schaden und die Schadenhöhe dieses Schadens ist kleiner gleich 1000 (x ) oder 3. im Zeitintervall [0,t] zwei Schäden und die Schadenhöhe dieser beiden Schäden ist kleiner gleich 1000 (x 1 + x ) oder Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 46
47 4. im Zeitintervall [0,t] drei Schäden und die Schadenhöhe dieser drei Schäden ist kleiner gleich 1000 (x 1 + x 2 + x ) oder 5. usw. P(S(t) x) = P(N(t) = 0) + P(N(t) = 1)P(X ) + P(N(t) = 2)P(X 1 + X ) + P(N(t) = 3)P(X 1 + X 2 + X ) +... entspricht und (stochastische Unabhängigkeit) + entspricht oder Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 47
48 P(S(t) x) n0 P(N(t) n) P n i0 X i x n P Xi x ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die i0 Gesamtschadensumme x ist, wenn die Anzahl der eingetretenen Schäden gleich n ist. Diese Wahrscheinlichkeit wird über die n-fache Faltung F* n (x) berechnet Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 48
49 P(S(t) x) n0 P(N(t) n) F* n (x) F* n (x) = F F F F F (n-mal) F G G(z x)df(x) F(z y)dg(y) f g z g(z x)f(x)dx f(z 0 z 0 y)g(y)dy Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 49
50 Beispiel: Berechnung der 2-fachen Faltung der Exponentialverteilung Dichte der Exponentialverteilung: f(x) = ae -ax f f z 0 ae a(zx) ae ax dx z 0 a 2 e 2 az z 2 az a e x a e z Die n-fache Faltung einer Verteilung ist nur in selten Fällen - wie z.b. bei der Exponentialverteilung - in einer geschlossenen Form, hier eine Gammaverteilung, darstellbar. az dx 0 Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 50
51 Verallgemeinerter Poisson-Prozess Gesamtschadenprozess, bei dem der Schadenzahlprozess ein Poisson-Prozess ist. P(S(t) x) mit P(N(t) n) n0 e P(N(t) t ( t) n! n n) F* n (x) Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 51
52 Gemischter verallgemeinerter Poisson-Prozess Gesamtschadenprozess, bei dem der Schadenzahlprozess ein gemischter Poisson-Prozess ist. P(S(t) x) n0 P(N(t) n) F* n (x) P(N(t) n) e t t 0 n! n du( ) Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 52
53 Kontrollfragen zu Schadenprozesse und Schadenverteilungen 1. Gegeben sei der folgende Punktprozess. Leiten Sie den assoziierten Zählprozess ab. Abb.1: Punktprozess f(t i ) t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 2. Erläutern Sie an mindestens zwei Beispielen, welche zufälligen Ereignisse durch den Punktprozess der Abbildung 1 modelliert werden können. 3. Beschreiben Sie die Eigenschaften des homogenen Poisson-Prozesses. 4. Erläutern Sie anhand von drei Beispielen, inwieweit der homogene Poisson-Prozess ein idealtypisches Abbild der Realität ist. 5. Beschreiben Sie das Konzept des gemischten Poisson-Prozesses. 6. Beschreiben Sie den Pólya-Prozess. 7. Was wird mit der Strukturfunktion modelliert? 8. Beschreiben Sie drei allgemeine Formen zur Modellierung des Gesamtschadens. Erläutern Sie die Vor- und Nachteile dieser Modelle. 9. Erklären Sie charakteristische Eigenschaften der Exponentialverteilung, der Pareto-Verteilung und der Gammaverteilung. 10. Beschreiben Sie die Komponenten des Gesamtschadenprozesses. Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 53
54 11. Beschreiben Sie den verallgemeinerten Poisson-Prozess. 12. Beschreiben Sie den gemischten verallgemeinerten Poisson-Prozess. Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 54
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